pdf.php@id=6180

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №7 Построение эмпирической функции распределения

7.1. Построение эмпирической функции распределения времени работы изделия до отказа

Предполагается, что известен закон распределения времени работы элемента до отказа

	(	)	1			,	(7.1)
F	t		= P T	t

где T1 − случайная наработка до первого отказа; F(t) – функция распределения времени работы до первого отказа.

Если функция F(t) задана в ступенчатом виде (рис. 7.1), то среднее время наработки до отказа определится по формуле

						(7.2)
T =	F (t		)− F (t	) t	i+1
1		i+1	i

i=0

или, если в виде ступенчатой функции задана вероятность безотказной работы P(t) = 1–F(t) (рис. 7.2), по формуле

T1* = P(ti )(ti+1 − ti ).	(7.3)

i=0

Винтервале ti ≤ t ≤ ti+1 для дискретного распределения интенсивность отказов λ(t) имеет вид

(t ) =	F (ti+1 )− F (ti )	.	(7.4)
	(ti+1 − ti )F (ti )

Пример 7.1. При испытаниях N = 35 элементов после каждого часа фиксировалось число произошедших отказов, и результаты этих испытаний сведены в таблице (табл. 7.1).

Решение. 1. Для этого случая эмпирическую функцию распределения можно вычислить по формуле

		1	i	(7.5)
	F (ti ) =		n(ti )
		N r =1

и записать в виде таблицы (табл. 7.2).

91

Рис. 7.1. График функции	Рис. 7.2. График вероятности
распределения времени работы	безотказной работы
до первого отказа

Таблица 7.1

Результаты испытаний

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	3	3	5	8	7	6	2	1	0

Таблица 7.2

Определение функции распределения F(ti)

ti	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
F(ti)	0	0,086	0,172	0,314	0,543	0,743	0,914	0,971	1,00	1,00

2.	Вероятность безотказной	работы определится как
Q = 1– P(t). Например, для t0 = 4 ч P(4)		= 1– F(4) = 1– 0,314 = 0,686.
3.	Вероятность отказа за время t0 = 4 ч Q(4) = F(4) = 0,314.
92

4. Вероятность безотказной работы в интервале времени от t = 2 ч до t = 6 ч при условии, что элемент проработал безотказно 2 ч, составляет

P(2;6) =	1	− F (6)	=	1	− 0,743	0,28.
	1	− F (2)		1	− 0,086

5. Вероятность отказа в интервале времени от t = 2 ч до t = 6 ч при условии, что элемент проработал безотказно 2 ч, составляет

Q(2;6) = 1 – P(2,6) = 1 – 0,28 = 0,72.

6. Среднее время до отказа находим по формулам (7.1) и (7.2) соответственно:

10

T1* = F (ti+1) − F (ti ) ti+1 = 2 0,086 + 3(0,172 − 0,086) +

i=0

+4(0,314 − 0,172) + 5(0,543 + 0,314) + 6(0,743 − 0,543) +

+7(0,914 − 0,743) + 8(0,971− 0,914) + 9(1− 0,971) 5,257 ч

10

T1* = t P(ti ) =1+1+ 0,914 + 0,828 + 0,686 +

i=0

+0,457 + 0,257 + 0,086 + 0,029 = 5,257 ч.

7. Интенсивность отказов (как функцию времени) удобнее всего вычислять в этом случае из данных испытаний по формуле

(ti	) =		n(ti )		,
			i−1
		N − n(ti		) (ti − ti−1 )
			i=1

в которой t0 = 0. Результаты вычислений сведены в таблицу (табл. 7.3).

Таблица 7.3

Результаты вычислений (ti )

ti	1	2	3	4	5	6	7	8	9
(ti ),	0	3/35 =	3/32 =	5/29 =	8/24 =	7/16 =	6/9 =	2/3 =	1,00
1/ч		= 0,086	= 0,095	= 0,172	= 0,333	= 0,437	= 0,667	= 0,667

93

7.2. Варианты заданий к практическому занятию № 7

1. В таблице для каждого варианта приведены результаты испытаний N изделий (количество изделий определяется по следу-

l

ющей формуле: N = n(ti ), l =[1,2,...,10]). Определить значения i=1

функции распределения времени работы изделия до отказа и значения интенсивности отказа для каждого интервала времени ti. Результаты расчета оформить в виде таблицы.

2.Определить среднее время работы изделий двумя способами (как указано в примере).

3.Рассчитать вероятность отказа и вероятность безотказной работы изделий в указанном интервале времени.

Вариант 1

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	2	4	6	7	5	4	1	1	0

Интервал: 4–6

Вариант 2

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	3	5	8	9	6	3	2	1	0

Интервал: 3–5

Вариант 3

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	1	2	2	3	3	2	2	1	0

Интервал: 2–7

Вариант 4

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	5	6	8	12	10	7	4	2	0

Интервал: 1–3

94

Вариант 5

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	2	5	7	9	7	3	1	1	0

Интервал: 1–8

Вариант 6

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	4	7	10	15	14	12	6	5	1

Интервал: 2–9

Вариант 7

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	4	5	8	10	9	8	7	5	3

Интервал: 1–5

Вариант 8

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	4	5	7	12	10	6	3	1	0

Интервал: 1–7

Вариант 9

Момент времени, ti,ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	1	2	3	3	2	2	1	1	0

Интервал: 4–8

Вариант 10

Момент времени, ti,ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	1	1	2	4	5	3	2	1	0

Интервал: 3–7

Вариант 11

Момент времени, ti,ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	3	7	12	18	17	12	10	7	5

Интервал: 5–8

95

Вариант 12

Момент времени, ti, ч	1	2	3		4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	1	4		10	12	15	16	12	10	7

Интервал: 6–9

Вариант 13

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	1	2	2	2	3	4	2	1	0

Интервал: 4–7

Вариант 14

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	1	2	6	9	5	3	2	1	0

Интервал: 5–8

Вариант 15

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	1	2	3	4	5	6	8	9	10

Интервал: 3–5

Вариант 16

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	5	10	10	15	18	14	12	8	5	3

Интервал: 2–7

Вариант 17

Момент времени, ti,ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	3	3	8	12	10	10	5	3	0

Интервал: 4–8

Вариант 18

Момент времени, ti,ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	4	6	8	10	9	7	5	3	0

Интервал: 3–7

96

Вариант 19

Момент времени, ti,ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	3	4	5	6	7	8	9	10	10

Интервал: 2–4

Вариант 20

Момент времени, ti,ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	3	3	5	8	7	6	2	1	0

Интервал: 2–5

Вариант 21

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	3	4	7	9	15	12	12	8	5

Интервал: 1–3

Вариант 22

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	2	4	5	6	5	3	2	1	0

Интервал: 4–9

Вариант 23

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	3	2	7	9	6	10	8	5	3

Интервал: 7–10

Вариант 24

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	6	4	6	9	8	1	10	9	5

Интервал: 8–10

Вариант 25

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	0	5	10	15	3	2	1	1	0

Интервал: 5–8

97

Вариант 26

Момент времени, ti, ч	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	3	10	12	14	5	5	3	1	0	0

Интервал: 3–5

Вариант 27

Момент времени, ti, ч	1	2		3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	1	5		5	7	7	9	5	3	1	0
Интервал: 5–7
			Вариант 28
Момент времени, ti, ч	1	2		3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	0	0		1	5	15	18	3	5	1	0
Интервал: 7–9
			Вариант 29
Момент времени, ti, ч	1	2		3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	5	6		7	6	3	2	1	1	0	0
Интервал: 1–3
			Вариант 30
Момент времени, ti, ч	1	2		3	4	5	6	7	8	9	10
Число отказов, n(ti)	1	3		5	7	6	4	2	1	1	0

Интервал: 5–8

98

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №8 Определение средней наработки изделия до отказа

по статистическим данным испытаний

8.1.Метод квантилей

Вслучае усеченной выборки, когда в результате испытаний

объектов получены r возрастающих значений наработки (r n) t1, t2, …, tr, а n – r объектов по истечении некоторого времени t0 tr

остались исправными, параметры T и можно оценить по методу квантилей следующим образом.

Считаем, что за время ti вероятность выхода из строя испытываемых N объектов составляет pi = i/N. Для этой вероятности по табл. 8.1 определяем квантили up и составляем r уравнений:

T + up1s	= t1,
T + up 2 s	= t2 ,	(8.1)
	,
.....................
T + upr s	= tr .

Полученную систему уравнений решаем по методу наименьших квадратов. Для чего умножим левую и правую части каждого из уравнений системы на up1, up2, … , upr соответственно и все r уравнений сложим. В результате получим первое так называемое нормальное уравнение

r	n
T upi	+ u2pi
i=1	i=1

n

= upi ti . (8.2)

i=1

Второе нормальное уравнение получим суммированием уравнений системы (8.1):

99

n

Tr + upi

i=1

n	(8.3)
= ti .

i=1

Уравнения (8.2) и (8.3) решаем относительно неизвестных T и и находим таким образом их оценки.

Точность полученных значений T и может быть оценена с помощью уравнений

2 (T )	2	f2 (k), 2 ( )	2	f3 (k),	(8.4)
	N		N

где k = (T – t0)/ ; f2 (k) и f3 (k) – вспомогательные функции, определяемые по табл. 8.2.

Пример 8.1. Испытания N = 100 образцов продолжались t0=500 ч. За время испытаний вышло из строя 5 (i = 1:5) ламп с наработкой до отказа в часах соответственно: t1 = 50, t2 = 150, t3 = 250, t4 = 300, t5 = 450. Определить среднюю наработку до отказа ламп и среднее квадратическое отклонение, полагая, что срок службы ламп подчиняется нормальному закону.

Решение. По формуле pi = i/N определим вероятности 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05, для которых по табл. 8.1 находим квантили:

up1 = −2,33; up2 = −2,05; up3 = −1,88; up4 = −1,75; up5 = −1,64.

Обращаем внимание, что в таблице представлены u1-p = –up, поэтому для p = 0,01 нужно брать 1 – 0,01 = 0,99 и для этого значения ир1 = –2,33 (в табл. 8.1 выделено жирным). Аналогично посту-

паем и для других значений pi. Составляем уравнения:

T – 2,33σ = 50;

T – 2,05σ = 150;

T – 1,88σ = 250;

T – 1,75σ = 300;

T – 1,64σ = 450.

100