Lecture_4
.pdfЛЕКЦИЯ 4
Отражение и преломление э/м волн
Прохождение э/м волны через границу двух сред анализируется на основе граничных условий для
векторов |
E |
и |
H , которые являются частью системы |
энергетических характеристик, связанных с амплитудами E и соотношения на границе раздела.
уравнений Максвелла. Кроме H , будут исследованы фазовые
Граничные условия:
E |
|
E |
|
|
, |
|
|
2 |
|
||
|
1 |
|
|
|
H 1
H 2
.
Рассмотрим случай плоских волн. Ось x направлена перпендикулярно границе раздела, а оси y и z лежат в плоскости раздела двух сред. Тогда
Ey |
Ey |
2 |
, |
H z |
H z |
2 |
при x = 0. |
1 |
|
|
1 |
|
|
Постановка общей задачи: вывод и анализ фазовых и амплитудных соотношений на границе раздела двух диэлектриков.
|
|
Нормальное падение э/м волны на границу раздела двух диэлектриков |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим две непроводящие среды с разными значениями |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
диэлектрической проницаемости 1 |
и 2. 1 = 2 = 1. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
В первой среде распространяются две волны – падающая и |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
отраженная (индекс r). Индекс d обозначает прошедшую |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
волну. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражения для плоскополяризованных волн – |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
падающей, отраженной и прошедшей. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
Ee |
i t kx |
, |
|
|
|
|
|
H |
|
|
E |
|
0 |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i t k |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
Re |
r |
, |
|
H |
|
|
|
E |
|
|
|
0 , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
1 |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
r |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
t k |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
De |
|
|
, |
H |
|
|
|
|
E |
|
|
|
0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
2 |
|
|
d |
|
|
d |
2 |
d |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Должно соблюдаться условие правого винта. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Запишем граничные условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
E E |
E |
, |
H H |
r |
H |
d |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x = 0 записанные граничные условия должны выполняться для любого момента времени t, то есть Rei 1t Dei 2t .
При произвольном t это условие выполняется лишь при 1 2 . Таким образом, доказано, что
(!) при отражении или преломлении света на границе раздела двух диэлектриков частота
не меняется.
Эта закономерность нарушается при очень сильных э/м волнах (предмет нелинейной оптики). Таким образом, можно не учитывать зависимость E и H от времени и записать граничные
условия для амплитуд напряженности электрического и магнитного полей:
E R D, H0 H0r H0d .
Выразим амплитуды напряженности магнитного поля через амплитуды напряженности электрического поля:
H |
0 |
n E, |
H |
0r |
n R, |
H |
0d |
n D. |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
Следовательно, имеем систему уравнений
E R D |
||
|
n |
|
E R |
2 |
|
n |
||
|
||
|
1 |
D
.
Получаем выражения для амплитуд отраженной и прошедшей волн при нормальном падении волны на границу раздела:
|
n n |
|
|
||
R |
1 |
2 |
E |
||
|
n n |
|
|
||
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
||
|
2n |
|
|
||
|
|
|
|||
D |
|
1 |
E |
||
n |
n |
|
|||
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
(4.1)
Проанализируем соотношения (4.1). |
|
|
|
|
|
|
||
1) |
Пусть n1 > n2. Знаки E и R совпадают, следовательно, на границе раздела векторы E |
и Er |
||||||
колеблются синфазно (как на рисунке), а векторы |
H |
и H |
r |
- в противофазе. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Пусть n1 < n2. Фаза вектора Er изменяется на по отношению к вектору |
E , а векторы |
H и |
|||||
H |
r |
на границе колеблются синфазно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(!!) При отражении света от оптически более плотной среды (n1 < n2) происходит потеря полуволны ( /2).
Амплитуда D прошедшей волны всегда совпадает по знаку с амплитудой E падающей волны, то
есть |
E |
всегда софазен вектору |
E . |
|
d |
|
|
Коэффициенты отражения и пропускания
Будем характеризовать процессы отражения и пропускания на границе двух сред при помощи
энергетических коэффициентов отражения
R |
* |
|
и пропускания
D |
* |
|
:
R |
* |
|
|
средний поток энергии отраженной волны средний поток энергии падающей волны
.
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Er Hr |
|
Er Hr |
|
|
|
|
R2 |
R 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||
* |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
c |
EH |
|
E2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|||||||
|
|
|
|
4 EH |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
E H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
||
* |
|
4 |
|
d |
|
E H |
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|||
D |
c |
|
|
|
EH |
|
|||
|
|
|
EH |
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
2 |
|
||
2 |
|
|
E2 |
||
1 |
|
|
.
С учетом соотношений (4.1) получаем следующие коэффициенты для нормального падения э/м волны на границу раздела:
|
|
n n |
|
2 |
|
||
* |
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
|
, |
|
R |
n |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
2 |
|
|
||
* |
|
|
4n n |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
. |
|
D |
n |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Если поглощение отсутствует, то При прохождении света из воздуха
* |
* |
96%. |
R |
4%, D |
R*
(n1
* |
1. |
D |
= 1) в стекло (n2 = 1.5):
(4.2)
(4.3)
Формулы Френеля
Рассмотрим вопрос об интенсивности отраженной и преломленной волны в зависимости от угла падения и показателя преломления. При выводе этих соотношений (формул Френеля)
можно не учитывать |
временной |
зависимости |
E |
и |
H и записывать |
граничные условия для |
проекций амплитуд векторов E и |
H . |
|
|
|
|
|
Представим |
неполяризованный свет |
|
как |
сумму двух |
м/х плоских волн, |
распространяющихся в одном направлении с одной фазовой скоростью, но поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Фазы этих колебаний не коррелируют между собой. Таким образом представляется хаотическая суперпозиция различных эллиптически поляризованных э/м волн.
Суммарную напряженность
перпендикулярные компоненты: |
E |
|
|
электрического поля
|
2 |
2 |
E|| |
E . |
E
можно разложить на две взаимно
Удобно выбрать следующие направления компонент |
E |
: |
E|| – эта компонента лежит в плоскости падения,
E |
– эта компонента перпендикулярна плоскости |
|
|
падения.
Формулы Френеля выведем отдельно для этих направлений колебаний.
1. Вектор E лежит в плоскости падения э/м волны.
Граничные условия для проекций амплитуд векторов
E
и H :
|
E cos R cos D cos , |
||||||||||||||||
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
H |
0 |
|
0r |
0d |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Перепишем второе уравнение как |
||||||||||||||||
|
n E |
|
n R |
n D |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 || |
|
|
|
1 |
|
|
|| |
2 |
|| |
|
|
|
|
|||
|
и используем закон преломления |
||||||||||||||||
|
sin |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
R |
D |
cos |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|
|| |
|
|
|| |
cos |
|
|||
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
E |
R |
D |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|| |
|
|| |
|
|
|| sin |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
R |
|
|
|
sin cos |
|
sin 2 |
|
|||||||||
|| |
|
|| |
|
|
|
|
. |
||||||||||
E |
R |
|
|
sin cos |
sin 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|| |
|
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После простых преобразований получаем первую формулу Френеля:
R |
|
tg |
|
|| |
|
||
E |
tg |
||
|
|||
|| |
|
|
Складывая уравнения системы (*), получим вторую формулу Френеля:
(*)
(4.4)
D |
|
2cos sin |
|
|| |
|
||
E |
sin cos |
||
|
|||
|| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
Вектор |
E |
перпендикулярен |
к |
плоскости |
|||||||||||||||||
падения э/м волны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Векторы |
E |
,R |
|
,D |
направлены |
перпендикулярно |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
плоскости чертежа от читателя. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для проекций амплитуд на оси: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
E |
|
|
R |
|
D |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
cos |
H |
|
|
cos H |
|
|
cos . |
|
||||||||||||
H |
0 |
0r |
0d |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Перепишем второе уравнение системы как |
|||||||||||||||||||||||
E R |
|
|
cos |
|
n2 |
|
D |
cos |
|
sin |
|
D . |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos n1 |
|
|
cos sin |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из системы уравнений получаем третью и четвертую формулы Френеля:
R E
D E
sin( ) sin( )
2sin cos sin( )
,
.
(4.6)
(4.7)
Отношения
R |
|
|
D |
|
R |
|
D |
|
|
, |
|
, |
|
|| |
, |
|| |
|
E |
|
E |
E |
|
E |
|||
|
|
|
|| |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|| |
называются коэффициентами Френеля.
Проанализируем полученные формулы Френеля.
Закон Брюстера. Угол Брюстера.
Рассмотрим случай, кода
|
R |
|
|
|
получаем, что |
|| |
0 |
|
|
E |
||||
|
|
|
||
|
|| |
|
|
|
|
|
2 |
||
|
R|| 0 .
. Тогда
tg( ) . Из формулы Френеля (4.4)
При этом R |
|
|
|
|
за исключением
0 , как видно тривиального
из (4.6). Коэффициент Френеля (4.6) никогда не обращается в ноль, случая n1 = n2. Таким образом,
если электрический вектор падающей волны лежит в плоскости падения, то при некотором угле падения отражение света исчезает (закон Брюстера).
Соответствующий угол падения Бр называется углом Брюстера.
Запишем закон преломления для случая, когда угол падения равен углу Брюстера:
sin |
Бр |
|
sin |
Бр |
tg |
|
n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
cos |
Бр |
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
sin |
Бр |
|
|
Бр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если неполяризованный свет падает под углом Брюстера, который определяется как
tg Бр n |
, |
|
(4.8) |
то составляющая с электрическим вектором |
E |
отражаться не будет. Отраженный свет |
|
|
|
|| |
|
окажется линейно поляризованным перпендикулярно к плоскости падения.
Прошедший свет поляризован в плоскости падения, но эта поляризация неполная. Увеличить степень поляризации прошедшего света может стопа Столетова (параллельно расположенные стеклянные пластинки). При этом значительно увеличивается и интенсивность отраженного света (при большом числе пластинок отражается почти половина падающего света), который при падении под углом Брюстера является полностью поляризованным.
При переходе света из воздуха в стекло tg Бр 1.5, |
570 . |
Скользящее падение:
|
|
|
R |
|
R |
|
|
(4.4),(4.6) |
|| |
|
|
||
2. |
E |
E |
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|| |
|
|
1
,
то есть отражение практически полное. Это объясняет яркое изображение противоположного берега водоема. При этом если попытаться рассмотреть свое изображение в направлении, перпендикулярном к поверхности воды, то мы увидим дно, а не свое лицо.
Понятие частичной поляризации
При частичной поляризации колебания вектора E в некотором направлении доминируют над колебаниями в других направлениях.
Другое определение:
Частично-поляризованный свет – это смесь естественного и плоскополяризованного излучения.
Степень поляризации:
I I|| 100%
I I||
(4.9)
Для неполяризованного (естественного света) = 0.
Анализ фазовых соотношений
Этот анализ проводится на основе формул Френеля, исходя из того, что изменение знака
амплитуды эквивалентно изменению фазы колебания на . |
|
|
|
|||||||
Из формул (4.5) и (4.7) следует, что |
D |
|| |
и |
E |
|| |
, как и |
D |
и |
E |
, всегда совпадают по знаку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, векторы
D||
и
E||
софазны, как и векторы
D
и
E
.
Таким образом, преломленная и падающая волна всегда софазны. (!)
При отражении от оптически более плотной среды (n1 < n2):
а) |
|
Бр |
. Фаза электрического вектора в отраженной волне меняется на , то есть происходит |
|
|
|
потеря полуволны.
б) Бр .
R
и R|| ведут себя по-разному, то есть
R|| софазен E|| , а векторы
R
и
E |
находятся в противофазе. |
Следовательно, при угле Брюстера скачком изменяется разность фаз между
Фазовое соотношение между отраженной и падающей волнами при n1 > n2:
Бр . |
R |
и E |
софазны, то есть потери полуволны при отражении нет. |
R||
и R .