Приложение а

1 Решение стационарного уравнения Шрёдингера

Чтобы решить уравнение (7) необходимо найти все такие значения функции , при которых бы выполнялось данное равенство. Для начала сделаем пару изменений. Преобразуем уравнение (7) к виду:

Хотелось бы упростить уравнение (7.1) преобразовав его часть к более простому виду. Это можно сделать.

Выражение является действием оператора потенциальной энергии на пси-функцию, результатом чего будет некоторая функция , вид которой определяется как функцией , так и оператором . В целом вид оператора неизвестен, поэтому нельзя сказать об каком-нибудь аналитическом виде функции f тем более, что и сам вид функции также неизвестен. Необходимо привлечь дополнительные сведения об операторе потенциальной энергии. Сама по себе потенциальная энергия W является функцией координаты r и времени t . Поэтому её оператор будет действовать на любую другую функцию, как умножение на данную функцию. Получается, что . Тогда выражение можно свести к виду:

Т.о., уравнение (7.1) с учётом (7.2) можно преобразовать к виду:

Получается, что нам необходимо решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка с переменные коэффициентами, в котором первая производная равна нулю .

Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения (7.3) второго порядка, соответствующего общему виду:

где y — неизвестная функция от аргумента x, называется такая функция, что:

где C₁, C₂ — произвольные постоянные, которая при любом фиксированном наборе этих постоянных определяет решение уравнения (7.4).

Заметим также, что решение (7.3) упроститься, если его расписать для каждой из трёх областей нашей задачи (рисунок 1). В области 1 ; в области 2 ; в области 3 .

Т.о., исходное уравнение (7.3) выливается в систему из трёх однородных (линейных) обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:

Каждое из этих уравнений системы будет подчиняться общему виду общего решения:

где C₁, C₂ — некоторые константы; y — искомая функция; p₁, p₂ — корни характеристического уравнения, которое, для уравнений второго порядка, имеет общий вид:

где λ — неизвестное уравнения (7.8); p, q — коэффициенты перед искомыми функциями: p перед первой производной искомой функции (в нашем случае она равна нулю), а q перед самой искомой функцией. Найдём эти корни характеристического уравнения для уравнений нашей системы (7.6). Для начала приведём эти уравнения к необходимому виду. Домножим каждое из уравнений системы (7.6) на множитель , получим:

Составим характеристические уравнения для наших уравнений:

Из каждого из которых следует, что:

Заметив, что каждое из полученных решений, отличается друг от друга только в индексе потенциальной энергии, поэтому уравнения (7.11) можно компактно записать как:

Полученные решения подставляем в адаптированную форму записи общего решения (7.7) для каждого из уравнений в (7.6), получим (запишем также компактно):

где ; для E_j, при всех j, будет , поэтому:

Т.о., мы получили общее решение уравнения Шрёдингера для трёх областей.