- •Теория очередей
- •5.1. Характеристики линейных систем ожидания
- •Разнообразие моделей очередей
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Формулы для модели очередей в – многоканальной, также называемой m/m/s
- •Формулы для модели очередей с – c постоянным временем обслуживания, называемой также m/d/1
- •Пример 4
- •Формулы и обозначения для модели очередей d – с ограниченным размером источника
- •Обобщение
Формулы для модели очередей с – c постоянным временем обслуживания, называемой также m/d/1
Пример 4
Компания, собирающая и перерабатывающая алюминиевые банки и стеклянные бутылки в Нью-Йорке, имеет грузовые автомобили, привозящие эти материалы для переработки, которые ожидают разгрузки в среднем по 15 минут. Затраты водителя и автомобиля в очереди составляют $ 60 / ч. Новый автоматический разгрузчик может быть закуплен, чтобы процесс разгрузки выполнялся по правилу 12 автомобилей в час (т. е. 5 мин. на автомобиль). Грузовые автомобили появляются согласно распределению Пуассона со средней восемь автомобилей в час. Если использовать новый разгрузчик, его затраты на амортизацию составляют $ 3 на разгрузку. Фирма наняла на лето студента колледжа, который провел следующий анализ изменения затрат и выгод от покупки разгрузчика.
Существующие затраты ожидания на один рейс: (1/4 ч ожидания) ($ 60 / ч затрат) = $ 15 / рейс.
Новая система: l = 8 грузовиков / ч поступающих, т = 12 грузовиков / ч обслуживаемых.
Затраты ожидания на один рейс с новым разгрузчиком: (1 / 12 ч очереди) ($ 60 / ч затрат) = $ 5 / рейс.
Экономия с новым оборудованием: $ 15 (существующая система) – $ 5 (новая система) = $ 10 / рейс.
Затраты на амортизацию нового оборудования = $ 3 / рейс.
Чистая экономия = $ 7 / рейс.
Модель D. Модель с ограниченным источником. Когда имеется ограниченный источник потенциальных клиентов для центра обслуживания, нам необходима другая модель очередей. Эта модель будет использована, если, например, нужно ремонтировать оборудование, имея только пять машин; если вы ответственны за обслуживание в полете 10 самолетов или если вы работаете в отделении госпиталя, рассчитанном на 20 коек. Модель с ограниченным источником имеет дело с некоторым числом объектов, требующих внимания.
Содержание этой модели отличается от трех ранее описанных моделей очередей тем, что теперь существует связь между длиной очереди и правилом появления заявки.
Проиллюстрируем экстремальную ситуацию, когда предприятие имеет пять машин и все пять сломались и ожидают ремонта. В общем, чем длиннее очередь в модели ожидания с ограниченным источником, тем меньше прибытий клиентов или машин.
Заметим, что формулы для модели с ограниченным источником используют другие переменные по сравнению с моделями А, В и С. Для простоты, чтобы можно было использовать калькулятор, определяются переменные D и F. Причем D представляет вероятность того, что машина, нуждающаяся в ремонте, будет ожидать в очереди; F означает коэффициент эффективности времени ожидания. Заметим, что D и F необходимы для расчетов больше, чем другие конечные формулы модели.
Формулы и обозначения для модели очередей d – с ограниченным размером источника
D – вероятность того, что единица будет ожидать в очереди;
F – коэффициент эффективности;
Н – среднее число обслуженных единиц;
J – среднее число обрабатываемых единиц;
L – среднее число единиц, ожидающих обслуживания;
М – число каналов обслуживания;
N – число потенциальных клиентов;
Т – среднее время обслуживания;
U – среднее время между единицами, поступающими на обслуживание;
W – среднее время ожидания в очереди единицы;
X – сервисный показатель.
Для расчета мы выполняем четыре шага.
1. Рассчитываем Х (сервисный показатель, где ).
2. Находим X и соответствующее М (где М – число каналов обслуживания).
3. Устанавливаем соответственно D и F.
4. Рассчитываем L, W, J, H или что-либо другое, необходимое для измерения работы системы обслуживания.
ПРИМЕР 5
Раисе определялось, что каждый из пяти лазерных компьютерных принтером в департаменте энергетики (DOE) требует ремонта после примерно 20 часов работы. Поломки определяю]с» распределением Пуассона. Один техник может отремонтировать принтер м среднем за два часа и соответствии с экспоненциальным распределением. Поломка принтера обходится и $ 120 / 4, техникам платят $ 25 / 4. Должен ли департамент энергетики принять второго техника?
Предположим, второй техник может чинить принтер в среднем за два часа. Считаем, что ограниченный источник равен пяти принтерам, чтобы сравнить затраты одного или двух техников:
2) тогда = 2 / 22 = .091 (округляем до .090);
Этот анализ показал, что, имея только одного техника на дежурстве, мы получим малую экономию в размере нескольких долларов в час ($ 105.20 – 101.80 = $ 3.40).
Заключительная таблица очередей для n = 5
X |
M |
D |
F |
X |
M |
D |
F |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
.012 |
1 |
.048 |
.999 |
.270 |
3 |
.064 |
.994 |
.019 |
1 |
.076 |
.998 |
|
2 |
.323 |
.944 |
.025 |
1 |
.100 |
.997 |
|
1 |
.827 |
.677 |
.030 |
1 |
.120 |
.996 |
.280 |
3 |
.071 |
.993 |
.034 |
1 |
.135 |
.995 |
|
2 |
.342 |
.938 |
.036 |
1 |
.143 |
.994 |
|
1 |
.842 |
.661 |
.040 |
1 |
.159 |
.993 |
.290 |
4 |
.007 |
.999 |
.042 |
1 |
.167 |
.992 |
|
3 |
.079 |
.992 |
.044 |
1 |
.175 |
.991 |
|
2 |
.362 |
.932 |
.046 |
1 |
.183 |
.990 |
|
1 |
.856 |
.644 |
.050 |
1 |
.198 |
.989 |
.300 |
4 |
.008 |
.999 |
.052 |
1 |
.206 |
.988 |
|
3 |
.086 |
.990 |
.054 |
1 |
.214 |
.987 |
|
2 |
.382 |
.926 |
.056 |
2 |
.018 |
.999 |
|
1 |
.869 |
.628 |
|
1 |
.222 |
.985 |
.310 |
4 |
.009 |
.999 |
.058 |
2 |
.019 |
.999 |
|
3 |
.094 |
.989 |
|
1 |
.229 |
.984 |
|
2 |
.402 |
.919 |
.060 |
2 |
.020 |
.999 |
|
1 |
.881 |
.613 |
|
1 |
.237 |
.983 |
.320 |
4 |
.010 |
.999 |
.062 |
2 |
.022 |
.999 |
|
3 |
.103 |
.968 |
|
1 |
-245 |
.982 |
|
2 |
.422 |
.912 |
.064 |
2 |
.023 |
.999 |
|
1 |
.892 |
.597 |
|
1 |
.253 |
.981 |
.330 |
4 |
.012 |
.999 |
.066 |
2 |
.024 |
.999 |
|
3 |
.112 |
.966 |
|
1 |
.260 |
.979 |
|
2 |
.442 |
.904 |
Продолжение заключительной таблицы очередей для n = 5
X |
M |
D |
F |
X |
M |
D |
F |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
.068 |
2 |
.026 |
.999 |
|
1 |
.902 |
.583 |
|
1 |
.268 |
.978 |
.340 |
4 |
.013 |
.999 |
.070 |
2 |
.027 |
.999 |
|
3 |
.121 |
.985 |
|
1 |
.275 |
.977 |
|
2 |
.462 |
.896 |
.075 |
2 |
.031 |
.999 |
|
1 |
.911 |
.569 |
|
1 |
.294 |
.973 |
.360 |
4 |
.017 |
.998 |
.080 |
2 |
.035 |
.996 |
|
3 |
.141 |
.981 |
|
1 |
.313 |
.969 |
|
2 |
.501 |
.880 |
.085 |
2 |
.040 |
.998 |
|
1 |
.927 |
.542 |
|
1 |
.332 |
.965 |
.380 |
4 |
.021 |
.998 |
.090 |
2 |
.044 |
.996 |
|
3 |
.163 |
.976 |
|
1 |
.350 |
.960 |
|
2 |
.540 |
.863 |
.095 |
2 |
.049 |
.997 |
|
1 |
.941 |
.516 |
|
1 |
.368 |
.955 |
.400 |
4 |
.026 |
.977 |
.100 |
2 |
.054 |
.997 |
|
3 |
.186 |
.972 |
|
1 |
.386 |
.950 |
|
2 |
.579 |
.645 |
.105 |
2 |
.059 |
.997 |
|
1 |
.952 |
.493 |
|
1 |
.404 |
.945 |
.420 |
4 |
.031 |
.997 |
.110 |
2 |
.065 |
.996 |
|
3 |
.211 |
.956 |
|
1 |
.421 |
.939 |
|
2 |
.616 |
.826 |
.115 |
2 |
.071 |
.995 |
|
1 |
.961 |
.471 |
|
1 |
.439 |
.933 |
.440 |
4 |
.037 |
.996 |
.120 |
2 |
.076 |
.995 |
|
3 |
.238 |
.960 |
|
1 |
.456 |
.927 |
|
2 |
.652 |
.807 |
.125 |
2 |
.082 |
.994 |
|
1 |
.969 |
.451 |
|
1 |
.473 |
.920 |
.460 |
4 |
.045 |
.995 |
.130 |
2 |
.089 |
.933 |
|
3 |
.266 |
.953 |
|
1 |
489 |
.914 |
|
2 |
.686 |
.787 |
.135 |
2 |
.095 |
.993 |
|
1 |
.975 |
.432 |
|
1 |
505 |
.907 |
.480 |
4 |
.053 |
.994 |
.140 |
2 |
102 |
.992 |
|
3 |
.296 |
.945 |
|
1 |
521 |
.900 |
|
2 |
.719 |
.767 |
.145 |
3 |
011 |
.999 |
|
1 |
.980 |
.415 |
|
2 |
109 |
.991 |
.500 |
4 |
.063 |
.992 |
|
1 |
537 |
.892 |
|
3 |
.327 |
.936 |
.150 |
3 |
012 |
.999 |
|
2 |
.750 |
.748 |
|
2 |
115 |
.990 |
|
1 |
.985 |
.399 |
|
1 |
.553 |
.885 |
.520 |
4 |
.073 |
.991 |
.155 |
3 |
.013 |
.999 |
|
3 |
.359 |
.927 |
|
2 |
.123 |
.989 |
|
2 |
.779 |
.728 |
|
1 |
.568 |
.877 |
|
1 |
.988 |
.384 |
.160 |
3 |
015 |
.999 |
.540 |
4 |
.085 |
.989 |
|
2 |
.130 |
.968 |
|
3 |
.392 |
.917 |
|
1 |
582 |
.869 |
|
2 |
.806 |
.708 |
.165 |
3 |
.016 |
.999 |
|
1 |
.991 |
.370 |
Продолжение заключительной таблицы очередей для n = 5
X |
M |
D |
F |
X |
M |
D |
F |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
2 |
137 |
.987 |
.560 |
4 |
.098 |
.986 |
|
1 |
.597 |
.861 |
|
3 |
.426 |
.906 |
.170 |
3 |
017 |
.999 |
|
2 |
.831 |
.689 |
|
2 |
.145 |
.985 |
|
1 |
.993 |
.357 |
|
1 |
.611 |
.853 |
.580 |
4 |
.113 |
.984 |
.180 |
3 |
.021 |
.999 |
|
3 |
.461 |
.895 |
|
2 |
.161 |
.983 |
|
2 |
.854 |
.670 |
|
1 |
.638 |
.836 |
|
1 |
.994 |
.345 |
.190 |
3 |
024 |
.996 |
.600 |
4 |
.130 |
.981 |
|
2 |
.117 |
.980 |
|
3 |
.497 |
.883 |
|
1 |
.665 |
.819 |
|
2 |
.875 |
.852 |
.200 |
3 |
028 |
.996 |
|
1 |
.996 |
.333 |
|
2 |
194 |
.976 |
.650 |
4 |
.179 |
.972 |
|
1 |
.689 |
.801 |
|
3 |
.588 |
.850 |
.210 |
3 |
032 |
.998 |
|
2 |
.918 |
.608 |
|
2 |
.211 |
.973 |
|
1 |
.998 |
.308 |
|
1 |
.713 |
.783 |
.700 |
4 |
.240 |
.960 |
.220 |
3 |
.036 |
.997 |
|
3 |
.678 |
.815 |
|
2 |
229 |
.969 |
|
2 |
.950 |
.568 |
|
1 |
.735 |
.765 |
|
1 |
.998 |
.286 |
.230 |
3 |
041 |
.997 |
.750 |
4 |
.316 |
.944 |
|
2 |
.247 |
.965 |
|
3 |
.763 |
.777 |
|
1 |
.756 |
.747 |
|
2 |
.972 |
.532 |
.240 |
3 |
046 |
.996 |
.800 |
4 |
.410 |
.924 |
|
2 |
.265 |
.960 |
|
3 |
.841 |
.739 |
|
1 |
.775 |
.730 |
|
2 |
.987 |
.500 |
.250 |
3 |
.052 |
.995 |
.850 |
4 |
.522 |
.900 |
|
2 |
.284 |
.955 |
|
3 |
.907 |
.702 |
|
1 |
.794 |
.712 |
|
2 |
.995 |
.470 |
.260 |
3 |
.058 |
.944 |
.900 |
4 |
.656 |
.871 |
|
2 |
.303 |
.950 |
|
3 |
.957 |
.666 |
|
1 |
.811 |
.695 |
|
2 |
.998 |
.444 |
|
|
|
|
.950 |
4 |
.815 |
.838 |
|
|
|
|
|
3 |
.969 |
.631 |
Многие практические проблемы теории очередей, которые встречаются в производственных и операционных сервисных системах, имеют характеристики такие, как в четырех математических моделях, описанных ранее. Часто тем не менее в анализе проявляются вариации этих специфических случаев. Время обслуживания в мастерской ремонта автомобилей, например, следует тенденции нормального закона распределения вероятности, а не экспоненциального. Система регистрации колледжа, при которой одни студенты-старшекурсники имеют приоритет в выборе курсов и часов занятий по отношению ко всем другим студентам, может пользоваться примитивным приоритетом, определяющим дисциплину очереди (такую, как FIFO). Система медицинского отбора в армию – пример многофазной системы, более сложной, чем однофазная модель, обсуждаемая в этой главе. Новобранцу измеряют давление на одном аппарате, проверяют зрение на другом, снимают психиатрические показания на третьем и осматривают на четвертом. На каждой фазе новобранец должен занять другую очередь и ожидать в ней.
Модели применительно к этим случаям развивают операционные исследования. Вычисления на основе математических формул носят более комплексный характер по сравнению с теми, которые рассматривались в этой главе. Многие реальные приложения очередей являются комплексом аналитических моделей. Ряд проблем математически не описывается. Там, где это возможно, аналитически обычно используют имитационное компьютерное моделирование.