- •1. Определение предела последовательности. Подпоследовательность. Частичный предел.
- •2. Критерий Коши. Свойство сходящихся последовательностей. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
- •3. Определение предела функции. Теорема о пределе промежуточной функции. Первый замечательный предел.
- •4. Бесконечно малые функции. Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.
- •5. Теорема о пределе произведения бесконечно малой и ограниченной функции.
- •6. Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей
- •7. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентность бесконечно малых. Основные эквивалентности.
- •8. Теорема о разности эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене эквивалентности в пределе отношения.
- •9. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических действий о непрерывности сложной функции.
- •10. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций непрерывных на отрезке.
- •1 1. Точки разрыва и их классификация.
- •12. Производная, ее геометрический и механический смысл.
- •13.Теорема о связи непрерывности и дифференцируемости.
- •14. Арифметические действия с производными.
- •15. Таблица производных.
- •16. Производные сложной и обратной функции.
- •17. Дифференциал, его связь с производной, геометрический смысл, инвариантность.
- •18. Теорема Ролля, её геометрический смысл.
- •19. Теорема Лагранджа, ее геометрический смысл. Теорема Коши.
- •20. Правило Лопиталя. Первое правило Лопиталя
- •Второе правило Лопиталя
- •21. Многочлен Тейлора, формула Тейлора.
- •22. Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и Лагранжа.
- •23. Локальный экстремум функции одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума.
- •24. Геометрический смысл второй производной. Точки перегиба.
- •25. Асимптоты графика функции. Существование наклонной асимптоты. Виды асимптот:
- •Нахождение наклонной асимптоты
- •26. Частные производные функции нескольких переменных. Теорема о равенстве смешанных производных.
- •Теорема 1(для функции двух переменных)
- •Теорема 2(обобщение)
- •27. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал.
- •Геометрический смысл дифференциала
- •28. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
20. Правило Лопиталя. Первое правило Лопиталя
Рассмотрим функции , которые бесконечно малЫ в некоторой точке . Если существует предел их отношений , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.
Примечание: предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.
Второе правило Лопиталя
Брат-2 борется с двумя спящими восьмёрками . Аналогично:
Если существует предел отношения бесконечно больших в точке функций: , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.
Примечание: предел должен существовать
Опять же, в различных практических примерах значение может быть разным, в том числе, бесконечным. Важно, чтобы была неопределённость .
<Вернуться назад>
21. Многочлен Тейлора, формула Тейлора.
Рассмотрим многочлен -й степени
Его можно представить в виде суммы степеней , взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем его раз по переменной , а затем найдем значения многочлена и его производных в точке :
Таким образом, получаем, что
Полученное выражение называется формулой Маклорена для многочлена степени .
Рассуждая аналогично, можно разложить многочлен по степеням разности , где - любое число. В этом случае будем иметь:
Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена в окрестности точки .
Пример
Задание. Разложить в ряд Тейлора функцию в точке .
Решение. Найдем производные:
Итак, , , . Значение функции в точке
Таким образом,
Ответ.
Для произвольной функции , не являющейся многочленом, формула Тейлора в окрестности некоторой точки принимает вид:
Последнее слагаемое называется остаточным членом в форме Пеано.
Замечание
Формула Маклорена является частным случаем формулы Тейлора при .
<Вернуться назад>
22. Остаточный член формулы Тейлора в формах Пеано и Лагранжа.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Пусть функция f: [a, b] → R имеет в точке x0 производную n-го порядка. Тогда при x → x0
Если x0 = a или x0 = b, то под производными понимаются соответствующие односторонние производные.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид
<Вернуться назад>
23. Локальный экстремум функции одного переменного. Необходимое и достаточное условия экстремума.
Определение
Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: .
Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности .
Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.
Замечание
Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.
Теорема
(Необходимое условие экстремума)
Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю, либо не существует.
Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.
Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует.
Замечание
Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.
Теорема
(Первое достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
функция непрерывна в окрестности точки ;
или не существует;
производная при переходе через точку меняет свой знак.
Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет.
Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
найти производную ;
найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;
исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
найти значение функции в экстремальных точках.
Пример
Задание. Исследовать функцию на экстремум.
Решение. Находим производную заданной функции:
Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение :
Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку . Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):
Так как при переходе через точку производная сменила свой знак с "-" на "+", то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем .
Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале производная , то на этом интервале функция является убывающей; на интервале производная , значит заданная функция возрастает на нем.
Ответ.
Теорема
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть для функции выполнены следующие условия:
она непрерывна в окрестности точки ;
первая производная в точке ;
в точке .
Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум.
<Вернуться назад>