Литература и лекции / Алгебра20171011
.pdfЕдиничная матрица это квадратная матрица, диагональные элементы которой единицы, прочие элементы нули.
Обозначение для единичной матрицы: E . Физики предпочитают обозначение I .
Редкозаполненная матрица это квадратная матрица порядка n (ãäå n ;
как правило, велико, более тысячи), в которой отличны от нуля только диагональные элементы, а также некоторые другие элементы, количество
которых превосходит число n лишь в несколько раз (уж точно, не в сотни раз).
Замечание Если нулевая матрица сплошь состоит из нулей, то единичная матрица содержит
íå только единицы. Примеры единичных матриц: |
|
|
0 1 |
; |
||||||
E22 = |
1 |
0 |
; |
E33 |
= |
00 1 |
||||
µ |
|
|
¶ |
|
|
B |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 C |
|
|||
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
|
00 |
1 |
0 |
0 1 |
|
00 |
1 |
: : : |
0 1 |
|
|||
E44 |
= B |
1 |
0 |
0 |
0 |
; |
|
1 |
0 |
: : : |
0 |
C |
: |
0 |
0 |
1 |
0 C |
Enn = B . . ... |
. |
||||||||
|
B |
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
C |
|
B |
0 |
0 |
: : : |
|
C |
|
|
B |
1 C |
|
B |
1 C |
|
|||||||
|
@ |
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
Единичной матрица называется потому, что для любой матрицы Amn справедливо
равенство |
Amn ¢ Enn = Emm ¢ Amn = Amn : |
Ясно, что для любой матрицы Amn нулевая матрица подчиняется равенству
Amn + 0mn = 0mn + Amn = Amn :
11
Замечание
Операции сложения матриц, вычитания матриц, умножения матрицы на число и умножения матрицы на матрицу это т.н. бинарные операции, то есть они производятся над двумя объектами. Существуют и т.н. унарные операции, производимые над одним объектом. Следующая операция именно такова.
Определение
Операция транспонирования матрицы это операция замены строк матрицы е¼ столбцами (или наоборот).
Более формально:
åñëè
òî
Amn = faijgi=1;2; ::: ; m ;
j=1;2; ::: ; n
(AT )nm = fajig j=1;2; ::: ; n : i=1;2; ::: ; m
Верхний индекс T знак транспонирования.
Примеры |
A = |
|
3 2 7 ; |
AT = |
02 |
2 1 |
; |
|||||
|
µ |
4 |
|
2 |
|
6 |
¶ |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
B7 |
6 C |
|
||||||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
@ |
A |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
B = |
B C |
; |
|
BT = ( 4 3 9 5 ) : |
|
||||||
|
B |
9 C |
|
|
||||||||
|
|
B |
5 C |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
@ A |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание "Двойное" транспонирование возвращает матрице е¼ исходный вид:
(AT )T = A :
12
Теорема о транспонировании произведения матриц
(A ¢ B)T = BT ¢ AT :
Без доказательства.
Замечание
Кроме уже рассмотренных операций над матрицами, существуют функции от матриц. Простейшими являются функции, возвращающие число, зависящее от элементов матрицы. Первыми такими функциями будут определитель и ранг матрицы.
Определение
Определитель квадратной матрицы второго порядка есть число
A = |
µa21 |
a22 |
¶ |
|
a11 |
a12 |
|
a11a22 ¡ a12a21 :
Обозначение:
a11 |
a12 |
|
¯ |
a11 |
a12 |
¯ |
|
det A = jAj = det µa21 |
a22 |
¶ = |
¯ |
|
a22 |
¯ |
= a11a22 ¡ a12a21 : |
¯a21 |
¯ |
||||||
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
Определение |
|
|
|
Определитель квадратной матрицы третьего порядка A=0a21 |
a22 |
||
есть число |
a11 |
a12 |
|
Ba31 |
a32 |
||
|
|
@ |
|
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ¡ a13a22a31 ¡ a11a23a32 ¡ a12a21a33 :
Обозначение: |
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
¯ |
a11 |
j j |
|
|
|||||
det A = A = det |
0a21 |
a22 |
a23 |
1 |
= |
¯ |
|
¯a21 |
|||||||
|
@ |
|
|
A |
|
¯ |
|
|
Ba31 |
|
|
C |
|
¯ |
|
|
a32 |
a33 |
|
¯ |
|
||
|
|
¯a31 |
a12 |
a13 |
¯ |
|
a22 |
a23 |
¯ |
= |
¯ |
|||
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
a32 |
a33 |
¯ |
|
¯ |
|
(1)
a13 1 a23 CA a33
= +a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ¡ a13a22a31 ¡ a11a23a32 ¡ a12a21a33 : (2)
13
Ðèñ. 2
На Рис. 2 показаны шаблоны для сбора элементов матрицы, произведение которых в определителе бер¼тся со знаком "плюс" (левый шаблон) и со знаком "минус" (правый шаблон).
Замечание
Вертикальные линии в обозначении определителя к модулю отношения не имеют. Вместо слова "определитель" иногда применяется слово "детерминант".
Замечание |
|
|
|
|
¢ 2 = 2 слагаемых. |
|
Определитель |
2 го порядка содержит |
2! = 1 |
||||
Определитель |
3 ãî |
порядка |
содержит |
3! = 1 |
¢ 2 |
¢ 3 = 6 слагаемых. |
Определитель |
4 ãî |
порядка |
содержит |
4! = 1 |
¢ 2 |
¢ 3 ¢ 4 = 24 слагаемых. |
Определитель |
n го порядка |
содержит |
n! слагаемых. |
Ясно, что существует строгое определение определителя произвольного порядка, но его формулируют, как правило, для будущих профессионалов математиков. В данном материале будет сформулирован только практический способ вычисления определителя произвольного порядка.
Определение
Минор порядка k из элементов матрицы Am£n это определитель квадрат-
ной матрицы, элементы которой расположены на пересечении выбранных в этой матрице k строк и k столбцов.
Пример |
|
0 |
2 |
3 |
6 |
8 |
7 |
1 |
4 |
1 |
|
|
A = |
B |
4 |
1 |
5 |
7 |
3 |
6 |
9 |
|
: |
|
6 |
5 |
1 |
7 |
2 |
4 |
8 C |
||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
B |
5 |
2 |
8 |
9 |
4 |
3 |
|
C |
|
|
|
B |
|
|
6 C |
|
|||||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
14
Один из миноров порядка 2 состоит из элементов, стоящих на пересечении красных строк (второй и четв¼ртой) и çåë¼íûõ столбцов (второго и пятого):
|
|
¯ |
3 |
7 |
¯ |
|
M2 |
= |
¯ |
2 |
4 |
¯ |
= 3 ¢ 4 ¡ 7 ¢ 2 = ¡2: |
¯ |
¯ |
|||||
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
В рассмотренном примере взят лишь один из всех возможных миноров 2-го порядка для данной матрицы. На элементах данной матрицы можно построить 126 миноров 2-го порядка, 140 миноров 3-го порядка, 35 миноров 4-го порядка. Закономерен вопрос, как все эти миноры обозначить, и как все перебрать. Ответ прост: как правило, все перебирать и не нужно.
Определение
Минор Mij элемента aij квадратной матрицы An£n это определитель матрицы, которая получится из матрицы An£n удалением (выч¼ркивани- åì) èç íå¼ i й строки и j го столбца.
Алгебраическое дополнение Aij элемента aij квадратной матрицы опре- деляется формулой Aij = (¡1)i+j ¢ Mij :
Замечание
Обозначение для минора Mij из элементов квадратной матрицы использует не
один индекс (порядок минора), а два индекса (номера вычеркнутых строки и столбца). Путаница с обозначением для миноров, как правило, не возникает, поскольку "двухиндексный" минор применяется гораздо чаще.
Теорема о разложении определителя по строке или столбцу Для квадратной матрицы третьего порядка справедливы соотношения:
det A = a11A11 + a12A12 + a13A13 ; |
(3:1) |
det A = a21A21 + a22A22 + a23A23 ; |
(3:2) |
det A = a31A31 + a32A32 + a33A33 : |
(3:3) |
15
det A = a11A11 + a21A21 + a31A31 ; |
(3:4) |
det A = a12A12 + a22A22 + a32A32 ; |
(3:5) |
det A = a13A13 + a23A23 + a33A33 ; |
(3:6) |
Кроме того, следующие два соотношения справедливы при |
i 6= j: |
ai1Aj1 + ai2Aj2 + ai3Aj3 = 0 ; |
(3:7) |
a1iA1j + a2iA2j + a3iA3j = 0 ; |
(3:8) |
Без доказательства. Но следует заметить, что доказательство очень простое.
Замечание Принято говорить, что формула (3:1) да¼т разложение определителя по первой
строке, (3:2) по второй строке, (3:3) по третьей строке, (3:4) по первому столбцу, (3:5) по второму столбцу, (3:6) по третьему столбцу. Таким образом, вместе с формулой (2), имеется уже ñåìü способов вычисления определителя 3 го порядка.
Определение Символом Кронекера называется величина
±ij = ½ 0; |
i = j |
¯ |
: |
|
6 |
¯ |
|
1; |
i = j |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
Замечание
Формулы (3:1) (3:8) можно обобщить на случай квадратной матрицы An£n ïðî- извольного порядка n :
n |
|
Xj |
|
aijAkj = ±ik ¢ det A ; |
(4:1) |
=1 |
|
n |
|
Xi |
|
aijAik = ±jk ¢ det A : |
(4:2) |
=1 |
|
В частности, при n = 4, k = i, формула (4:1), принимающая вид |
|
det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3 + ai4Ai4 ; |
(5) |
16
да¼т способ вычислить определитель 4-го порядка разложением его по i й строке.
Величины Aij (i = 1; 2; 3; 4 ; j = 1; 2; 3; 4 ;) выражаются через определители 3 го порядка, вычислять которые мы уже умеем.
Теорема об определителе произведения матриц
det (A ¢ B) = det A ¢ det B :
Без доказательства.
Теорема
Определитель верхней треугольной матрицы равен произведению е¼ диагональных элементов.
Доказательство
Для случая n = 2 из формулы (1) следует, что
|
|
|
|
|
¯ |
a11 |
a12 |
¯ |
|
|
|
второе слагаемое â |
|
обращается в¯ |
íóëü, òàê êàê¯ |
|
|||||||
|
|
det A = |
¯ |
0 |
a22 |
¯ |
= a11a22 |
; |
|||
|
(1) |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
a21 = 0 : |
|
Для случая n = 3 из формулы (2) следует, что |
|
||||||||||
|
|
det A = |
¯ |
0 |
|
a22 |
a23 |
|
¯ |
= a11a22a33 ; |
|
|
|
|
¯ |
a11 |
|
a12 |
a13 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
0 |
|
0 |
a33 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
прочие пять слагаемых в (2) обращаются в нуль, так как в каждом из них имеется
нулевой сомножитель.
Для случая n = 4 из формулы (5) ïðè i = 4 следует, что
|
¯ |
0 |
a22 |
a23 |
a24 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
a11 |
a12 |
a13 |
a14 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A = |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
= a |
|
A |
|
+ a |
|
A |
|
+ a |
|
A |
|
+ a |
|
A |
|
= a |
|
A |
|
= |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
41 |
41 |
42 |
42 |
43 |
43 |
44 |
44 |
44 |
44 |
||||||||||||
|
¯ |
0 |
0 |
0 |
a44 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
¯ |
¯ |
|{z} |
|
|
|{z} |
|
|
|{z} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
¯ |
0 |
0 |
a33 |
a34 |
¯ |
=0 |
|
|
=0 |
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
= a44 |
¢ |
( |
|
1)4+4 |
¢ |
M44 = a44 |
¯ |
0 |
a22 |
a23 |
¯ |
= a44 |
¢ |
a11a22a33 : |
||
|
¡ |
|
|
|
|
¢ ¯ |
a11 |
a12 |
a13 |
¯ |
|
|
||||
|
|
=+1 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|||
|
|
| |
|
{z |
|
} |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
0 |
0 |
a33 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
Аналогично определитель верхней треугольной матрицы порядка n = 5 выражается через определитель верхней треугольной матрицы порядка n = 4 ; è òàê
далее.
Пример
¯ |
0 |
4 |
0 |
8 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
2 |
3 |
5 |
¡7 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¡ |
¡ |
¡ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
= 2 |
|
( |
|
4) |
|
( 3) |
|
6 = 144 : |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
¢ |
¡ |
¢ |
¢ |
||||||
¯ |
0 |
0 |
3 |
|
1 |
¯ |
|
|
|
¡ |
|
||||
¯ |
0 |
0 |
0 |
6 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание
Возникает естественный вопрос: а можно ли что-нибудь с матрицей сделать такое, чтобы определитель е¼ не изменился, а сама она стала верхней треугольной? Ответ на этот вопрос да¼т следующая теорема.
Теорема об элементарных преобразованиях строк определителя Пусть дана матрица An£n .
1.При умножении всех элементов одной из строк матрицы A на число ¸ определитель det A также умножается на число ¸ . Практическую ценность имеет только случай ¸ 6= 0 .
2.При обмене двух строк матрицы A местами знак определителя det A
меняется на противоположный.
3. Если ко всем элементами одной строки матрицы A прибавить соответ-
ствующие элементы другой строки, умноженные на некий общий множитель ¸ ; определитель det A не изменится.
Без доказательства.
18
Замечание
Пункт 1 Теоремы может быть истолкован так: общий множитель строки может быть вынесен за знак определителя.
Вс¼, что сказано в Теореме о строках, сохраняет силу и для столбцов. Замечание
Метод Гаусса позволяет преобразовать матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк. Считаем, что в матрице n строк и n столбцов.
Идея метода состоит в следующем.
Пусть i есть номер "текущей" строки. Поначалу i = 1 .
Øàã 1. Элемент aii делается равным единице. Проще всего этого достичь с помощью
Преобразования 1, но иногда есть смысл в использовании и двух других преобразований.
Øàã 2. Åñëè i < n ; элементы aki (k = i + 1; i + 2; : : : ; n) делаются равными нулю
с помощью Преобразования 3.
Øàã 3. Åñëè i < n ; òî i следует увеличить на единицу и вернуться к Øàãó 1. Íî åñëè i = n ; работа метода заканчивается, поскольку матрица уже стала верхней
треугольной.
Отметим, что метод Гаусса разъясн¼н здесь не полностью. То, о ч¼м рассказано, составляет лишь т.н. прямой ход метода Гаусса. Для вычисления определителя прямого хода вполне достаточно.
Замечание
При исполнении Øàãà 1 может оказаться, что aii = 0 . Тогда под этим элементом, в одном с ним столбце, следует найти ненулевой элемент, то есть, найти такое число k
(ãäå i < k · n), ÷òî aki 6= 0 ; затем обменять местами строки с номерами i è k (òî
есть, совершить Преобразование 2), и продолжить исполнение метода Гаусса. Но может оказаться и так, что
aii = ai+1;i = ai+2;i = : : : = ani = 0 ;
19
aii сделать равным единице методом Гаусса невозможно. Тогда вы-
числение определителя следует прекратить, поскольку для такого случая можно доказать, что определитель равен нулю.
Задача |
|
|
|
|
|
|
|
Методом Гаусса найти определитель матрицы |
6 |
1 |
: |
||||
|
A = |
0 |
2 |
3 |
|||
|
|
B |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
4 |
2 |
3 C |
|
||
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
Решение Элементарное преобразование • 3 применяется несколько раз для того, чтобы
свести матрицу к верхней треугольной. Каждый раз к элементам одной строки прибавляются соответствующие элементы другой, красной строки, умноженные на одно
è òî æå, бирюзовое число. |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
¯ |
= |
¯ |
2 3 |
|
6 |
¯ |
= |
||||||||||||||||
|
det A = |
¯ |
2 |
|
3 |
6 |
¯ |
= ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
3 4 5 |
¯ |
¯ |
3 + (¡1) ¢ 2 4 + (¡1) ¢ 3 5 + (¡1) ¢ 6 |
¯ |
|
|
¯ |
1 1 ¡1 |
¯ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
4 2 3 |
¯ |
¯ |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
¯ |
|
|
¯ |
4 2 3 |
¯ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|
|||||||||||||
|
|
|
1 1 |
¯ |
1 |
|
|
|
¯ |
¯ |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯1 1 |
|
1¯ |
|
|||||||||||||
|
|
¯ |
|
|
¯ |
¡ |
|
¯ |
|
¯ |
¯ |
¯ |
¡ ¢ |
|
|
¡ ¢ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¯ |
¯ |
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
¡ |
¯ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ ¢ ¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
||||||||||||
|
|
¯ |
4 2 3 |
|
¯ |
|
¯ |
4 + ( 4) 1 2 + ( 4) 1 3 + ( 4) ( 1) |
¯ |
|
|
¯ |
0 |
|
|
2 |
|
7 |
¯ |
|
||||||||||||||||||
|
|
¯ |
|
¯ |
|
¯ |
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|||||||||||||||||||||||
= |
¯ |
2 3 6 |
|
¯ |
= |
¯ |
2 + ( 2) 1 3 + ( 2) 1 6 + ( 2) ( 1) |
¯ |
= ¯ |
0 1 |
|
8 |
¯ |
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
¯ |
1 |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¡ ¢ |
|
1 |
¡ ¢ |
|
1 |
|
|
¡ ¢ ¡ |
¯ |
1 |
¯ |
|
|
¡ |
|
|
¯ |
|
||||||||
|
|
1¯ |
|
¡ |
1¯ |
|
¯ |
|
1 |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
1 1 |
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||||||||
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
= ¯ |
|
|
¡¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
||||
= |
0 1 |
|
8 |
¯ |
= |
¯ |
0 |
|
|
1 |
|
|
8 |
|
0 1 8 |
|
¯ = 1 |
¢ |
1 |
¢ |
23 = 23 : |
|||||||||||||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
¯ |
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¢ |
¡ |
|
¢ |
|
|
|
¢ |
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
0 + 2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
¯0 |
|
2 7 ¯ |
|
¯ |
|
2 + 2 1 7 + 2 8 ¯ |
¯0 0 23 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Первым шагом организована единица на первой позиции в первой строке. Заметим, что эту единицу можно было получить и иным способом вынесением "общего" множителя "3" за знак определителя (элементарное преобразование • 1). Но после такого действия первая строка содержала бы числа ( 1 43 53 ), и далее пришлось
бы работать с дробными числами, что менее приятно (в силу большей вероятности ошибки).
20