Литература и лекции / Алгебра20171011

Ðèñ. 3

Определение СЛАУ (6) (èëè (7)) называется совместной, если она имеет решение.

СЛАУ называется íåсовместной, åñëè îíà íå имеет решения.

Пример

Система уравнений	½	2x1 + 3x2 = 6 ¯
		2x1 + 3x2	= 5	¯
				¯
				¯

несовместна, поскольку первое и второе уравнения явно противоречат друг другу.

Система уравнений	8	3x1 + 4x2 + 6x3 = 3	¯	(9)
	>	2x1 + 3x2 + 4x3 = 2	¯
	<	4x1 + 7x2 + 8x3 = 5	¯
			¯
	>		¯
			¯
	:		¯

также несовместна, но противоречие "зарыто" несколько глубже и в глаза не бросается. Если первое уравнение в (9) умножить на 5, второе уравнение умножить на (¡2),

и полученные уравнения сложить, получится уравнение 4x1 + 7x2 + 8x3 = 4, которое противоречит третьему уравнению в (9).

Определение расширенной матрицы

Пусть дана СЛАУ, состоящая из m уравнений относительно n неизвестных

31

>

a11x1 + a12x2 + a13x3 + : : : + a1nxn

>

>

>

a21x1 + a22x2 + a23x3 + : : : + a2nxn

8

>

<

>

a

31

x

+ a

32

x

+ a

33

x

+ : : : + a

x

n

>

1

2

3

3n

>
>
> a x + a x + a: : : x + : : : + a x
>
>
>
:
> m1 1 m2 2 m3 3	mn n

=b1

=b2

=b3

=bm

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯¯ : (10)

¯

¯

¯

¯

¯

Тогда матрица		a11	a12	a13
		B	a22	a23
		0 a21
		B
		B . . .
	A	= B a31	a32	a33
		B
		B
		B
	@
		am1	am2	am3

: : :		a2n		¯	b1		1
: : : a1n				¯	b1
: : :		a3n		¯	b3		C
				¯
				¯			C
.	..		.	¯	.		C
				¯			C
				¯			C
: : :		a		¯ b			C
				¯			A
				¯		m C
				¯
			mn ¯

называется расширенной матрицей СЛАУ.

Теорема Кронекера Капелли СЛАУ (10) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффици-

ентов левых частей (главной матрицы системы) равен рангу расширенной матрицы.

Без доказательства.

Определение метода Гаусса решения СЛАУ

Алгоритм Гаусса решения СЛАУ представляет собой цепь элементарных преобразований строк расширенной матрицы системы. Каждое элементарное преобразование строки означает равносильное преобразование СЛАУ.

Целью преобразований является построение единичной матрицы слева от вертикальной черты и одновременное вычисление ранга матрицы A

и ранга матрицы A.

Алгоритм содержит два крупных этапа прямой ход è обратный ход.

32

Далее будет рассмотрен только случай "хорошей" расширенной матрицы, то есть такой, что число строк в ней совпадает с рангом и с числом столбцов главной матрицы, а также с рангом расширенной матрицы.

При совершении прямого хода создаются единицы на главной диагонали главной матрицы системы и нули в столбцах под этими единицами.

При совершении обратного хода создаются нули в столбцах над "диагональными" единицами.

Прямой ход.

Пусть i есть номер "текущей" строки. Поначалу i = 1.

Øàã 1: Элемент aii делается (элементарными преобразованиями

строк) равным единице.

При решении задач в тетради или на доске для этого, чаще всего, к строке с номером i прибавляется какая-нибудь k я строка (где k > i),

умноженная на "подходящее число" (Элементарное Преобразование 3). При решении задачи на компьютере (а если i = m; то и при решении

в тетради) i я строка умножается на число a1

ii (Элементарное Преобразование 1). Если aii = 0 , то среди строк, расположенных ниже "текущей",

разыскивается такая k я строка (k > i), в которой aki 6= 0, и эта строка обменивается местами с i й строкой (Элементарное Преобразование 2).

После такого обмена домножение i й строки на число a1

ii становится воз-

можным.

Åñëè aki = 0, 8k ¸ i; òî i й столбец матрицы объявляется проблем-

íûì, и разговор о такой ситуации будет вестись позже.

Øàã 2. Элементы aki (для каждого k такого, что i < k · n) äåëà-

ются (с помощью Элементарного Преобразования 3) равными нулю. Для этого к строке с номером k прибавляется строка с номером i, умноженная

на общий множитель (¡aki).

Øàã 3. Åñëè i < n, òî i следует увеличить на единицу и вернуться

33

ê Øàãó 1. Íî åñëè i = n, прямой ход метода Гаусса заканчивается.

Обратный ход.

Пусть i есть номер "текущей" строки. Поначалу i = n.

Øàã 4. Элементы aki (для каждого k такого, что 1 · k < i) äåëà-

ются (с помощью Элементарного Преобразования 3) равными нулю. Для этого к строке с номером k прибавляется строка с номером i , умноженная

на общий множитель (¡aki).

Øàã 5. Åñëè i > 2, òî i следует уменьшить на единицу и вернуться к Øàãó 4. Íî åñëè i = 2, обратный ход метода Гаусса заканчивается.

По завершении работы метода Гаусса слева от вертикальной черты располагается единичная матрица, а справа от черты столбец, дающий решение СЛАУ.

Базисный минор "хорошей" расширенной матрицы равен единице, поскольку бер¼тся от единичной матрицы.

Замечание

Если расширенная матрица не является "хорошей", то ранг главной матрицы меньше числа е¼ столбцов. В таком случае СЛАУ либо несовместна, либо имеет бесконечное множество решений.

Каждый раз, когда в расширенной матрице появляется возможность выполнить Элементарные Преобразования 4 или 5, их следует безотлагательно выполнять, уменьшая тем самым число строк матрицы.

Если возникает ситуация, когда число строк в главной матрице можно было бы уменьшить (Элементарными Преобразованиями 4 или 5), а в расширенной матрице этого сделать нельзя, это означает неравенство ранга главной матрицы и ранга расширенной матрицы, то есть, по теореме Кронекера Капелли, означает несовместность СЛАУ.

Далее можно обсуждать только совместные СЛАУ.

Пусть r есть ранг главной и расширенной матриц, а n есть число искомых

34

неизвестных (число столбцов главной матрицы).

В простейшем (для совместной СЛАУ) случае, методом Гаусса можно создать единичную матрицу из первых r столбцов главной матрицы. В результате расширен-

ная матрица обретает вид

		B	1	0	0	: : : 0 a1;r+1 a1;r+2
			0	1	0	: : : 0		a2;r+1 a2;r+2
		0
		B				.	.. . .				.
A =		B . . .
		B	0	0	1	: : : 0		a3;r+1		a3;r+2
		B
		@
		B	0	0	0	: : : 1		a	r;r+1	a	r;r+2
		B

: : :		a2n		¯ b1		1
: : :		a1n		¯	b1
				¯		C
				¯
.	.. .			¯		C
				¯ .		C	;
: : : a3n				¯ b3		C
				¯		C
				¯		A
				¯		C
: : :		a		¯
			rn	¯	r	C

означающий СЛАУ

>	x1	+ a1;r+1
>
>
>		+ a2;r+1
>
8 x2
<
> x		+ a	3;r+1
>	3
>
>
>
>
>
:		+ a
> x			r;r+1
>	r

xr+1 xr+1 xr+1

xr+1

+ a1;r+2xr+2 + : : : + a1nxn = + a2;r+2xr+2 + : : : + a2nxn = + a3;r+2xr+2 + : : : + a3nxn =

: : :

+ ar;r+2xr+2 + : : : + arnxn =

¯

b1 ¯¯

¯

b2 ¯¯

b3 ¯¯¯: (11)

¯

¯

¯

br ¯

Теперь, если положить

8 xr+2

=

C2

¯

>

xr+1

=

C1

¯

>

¯

>

¯

>

>

¯

<

: : :

> x

¯

=

C

¯

;

(12)

>

r+3

3

¯

>

x

=

C

¡

¯

>

¯

>

¯

>

произвольные>

константы, то систему

можно будет

ãäå

C1

; C2; C3; : : : ; Cn¡r

>

¯

(11)

:

n

n

r

¯

>

переписать в виде

= b2

¡ a2;r+1C1

¡ a2;r+2C2

¡

: : :

¡ a2nCn¡r

¯

8 x2

x1

= b1

¡

a1;r+1C1

¡

a1;r+2C2

¡

¡

¡

¯

>

¯

>

¡

>

¡

¡

¡

¡

¯

>

>

¯

<

> x

= b

a

C

a

C

: : :

a

C

¯

:

(13)

>

3

3

3;r+1 1

3;r+2 2

3n n r

¯

> x

= b

a

C

a

C

: : : a C

¡

¯

>

: : :

¯

>

¯

>

¯

>

:

¡

¡

¡

¡

¯

>

r

r

r;r+1 1

r;r+2

2

rn

n r

>

35

Набор соотношений (12) (13) да¼т так называемое общее решение ÑËÀÓ.

Теорема об общем решении системы линейных алгебраических уравнений

Пусть набор чисел x˜1 ; x˜2 ; x˜3 ; : : : ; x˜n удовлетворяет СЛАУ (10). Пусть набор соотношений (12) (13) получен из СЛАУ (10) методом Гаусса.

Тогда существует такой набор чисел ˜	˜	˜	˜
C1	; C2	; C3	; : : : ; Cn¡r ; ÷òî ïðè ïîä-

становке в (12) (13) вместо произвольных констант C1 ; C2 ; C3 ; : : : ; Cn он порождает в левых частях (13) è (12) набор чисел x˜1 ; x˜2 ; x˜3 ; : : : ; x˜n :

Без доказательства. Замечание

Набор чисел x˜1 ; x˜2 ; x˜3 ; : : : ; x˜n ; удовлетворяющий СЛАУ (10), принято на-

зывать частным решением ÑËÀÓ.

Теорема об общем решении СЛАУ утверждает, казалось бы, простую истину: всякое частное решение есть частный случай общего решения.

Замечание В случае, когда для совместной СЛАУ методом Гаусса нельзя создать единичную

матрицу из первых r столбцов главной матрицы (то есть, невозможно собрать базисный минор из первых r столбцов), е¼ можно создать из каких-то других r столбцов.

В частности, проблемный столбец (который ме уда¼тся превратить в столбец с одной единицей и нулями во всех остальных местах) не должен входить в базисный минор.

Ýòè r базисных столбцов совсем не обязательно будут начинаться первым столбцом и совсем не обязательно будут следовать подряд.

Определение

Пусть r есть ранг главной и расширенной матриц, а n есть число искомых неизвестных (число столбцов главной матрицы) СЛАУ (10).

Тогда число d = n ¡ r принято называть дефектом ÑËÀÓ.

36

Замечание

Дефект системы уравнений это количество произвольных констант в е¼ общем решении.

При решении практических задач, порождающих системы уравнений, решение, в большинстве случаев, должно быть единственным. Дефект системы уравнений это количество "недостающих" условий в постановке практической задачи.

При решении практических задач бывает методически выгодно сначала построить общее решение "неполной" системы, и только затем применять к нему дополни-

тельные условия. Таким образом, неравенство d > 0 вовсе не означает некорректность постановки практической задачи.

Определение

СЛАУ, состоящая из m уравнений относительно n неизвестных, и имею-

щая все нулевые правые части,					¯
8	a21x1 + a22x2 + a23x3 + : : : + a2nxn = 0
>	a11x1 + a12x2 + a13x3 + : : : + a1nxn = 0				¯
>					¯
>					¯
>
>					¯
<			: : :
>					¯
	a x + a x + a x + : : : + a x = 0				¯	;
>	31 1	32 2	33 3	3n n	¯
> a x + a x + a x + : : : + a x = 0					¯
>					¯
>					¯
>
>					¯
>
:		m2 2	m3 3	mn n	¯
> m1 1

называется однородной. Если в правой части хотя бы одного из уравнений присутствует ненулевое значение, СЛАУ называется íåоднородной.

Замечание

Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку т.н. тривиальное (нулевое) решение x1 = x2 = x3 = : : : = xn = 0 у такой системы всегда есть.

Теорема о пространстве однородной системы линейных алгебраических уравнений

Множество решений однородной СЛАУ есть линейное пространство размерности d , ãäå d есть дефект СЛАУ.

37

Без доказательства.

Для доказательства теоремы следовало бы, среди прочего, убедиться в том, что:

1.Сумма двух решений однородной СЛАУ является решением однородной СЛАУ.

2.Решение однородной СЛАУ, умноженное на любое число, является решением однородной СЛАУ.

Теорема о необходимом и достаточном условии линейнй зависимости элементов линейного пространства

Для того, чтобы элементы линейного пространства y1 ; y2 ; y3 ; : : : ; yk áû-

ли линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них выражался линейной комбинацией остальных.

Доказательство будет дано позже (для векторов).

Замечание

Среди линейно независимых элементов нет нулевого элемента. Действительно, если в наборе имеется нулевой элемент, то он может быть выражен тривиальной линейной комбинацией остальных элементов набора, а это, по предыдущей Теореме, озна- чает линейную зависимость элементов набора.

Замечание

Напомним, что на странице 4 дано определение базиса линейного пространства. Для удобства и краткости совокупность всех элементов базиса часто обознача-

ется одной буквой:

e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng:

Теорема

Åñëè e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng базис линейного пространства E,	è åñëè
g = fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gmg ещ¼ один базис линейного пространства	E,
òî m = n .

38

Без доказательства.

Теорема о единственности разложения по базису

Åñëè e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng базис линейного пространства E, è åñëè

одновременно

y = ®1e1 + ®2e2 + ®3e3 + : : : + ®nen ; y = ¯1e1 + ¯2e2 + ¯3e3 + : : : + ¯nen ;

òî		®1		= ¯1
	>
	>		3		3
	>
	>	®2		= ¯2
	8
	>
	<
	>®		n	= ¯		n
	>
	>
	>	®: : :		= ¯
	>
	>
	>
	:

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯¯ :

¯

¯

¯

¯

Доказательство Вычтем равенство

y = ¯1e1 + ¯2e2 + ¯3e3 + : : : + ¯nen

из равенства

y = ®1e1 + ®2e2 + ®3e3 + : : : + ®nen :

Получим:

0 = (®1e1 + ®2e2 + ®3e3 + : : : + ®nen) ¡ (¯1e1 + ¯2e2 + ¯3e3 + : : : + ¯nen) ;
0 = (®1e1 ¡ ¯1e1) + (®2e2 ¡ ¯2e2) + (®3e3 ¡ ¯3e3) + : : : + (®nen ¡ ¯nen) ;
(®1 ¡ ¯1) e1 + (®2 ¡ ¯2) e2 + (®3 ¡ ¯3) e3 + : : : + (®n ¡ ¯n) en = 0 :	(14)

Элементы e1 ; e2 ; e3 ; : : : ; en линейно независимы (по определению базиса), следовательно, из равенства нулю их линейной комбинации (14) неминуемо следует равенство

39

нулю всех коэффициентов линейной комбинации (14), òî åñòü

	8	®2		¡		¯2	= 0				¯
	>	®1		¡		¯1	= 0				¯
	>	®				¯	= 0				¯ ;
	>	3				3					¯
	>			¡
	>										¯
	>
	<										¯
	>	n				n					¯
											¯
	>			¡							¯
	>	: : :
а это и означает	>										¯
	>		®1			= ¯1
	:										¯
	>	®				¯	= 0
	8		®2			= ¯2				¯
	>									¯
	>		®		3	= ¯		3		¯	:
	>									¯
	>
	>									¯
	>
	<		: : :							¯
										¯
	>				n					¯
									n ¯
	>									¯
	>
Доказательство закончено.	>									¯
	>
	:					= ¯				¯
	>®

Замечание Иногда, для экономии бумаги, в учебниках и сборниках задач многомерные век-

торы записываются не в виде столбцов, а "в одну строчку":					1
x1	y1			0 z2
	0y2	1		z1
X = µx2 ¶ = (x1; x2); Y =			= (y1	; y2; y3); Z = B .	C	= (z1; z2; : : : ; zn):
	By3	C		B	C
	@	A		Bzn C
				B	C
				@	A

Путаница таких "векторов" с матрицей строкой не возникает, поскольку в матрице строке нет запятых.

Определение

Множество всех n¡мерных векторов называется n¡мерным векторным пространством.

Замечание

n¡мерное векторное пространство является линейным пространством, поскольку сумма двух n¡мерных векторов есть n¡мерный вектор, и произведение n¡мерного

40