Литература и лекции / АлгебраГеометрия
.pdf+ ¸k¡1 |
¢ (ek¡1 ¢ ei) + ¸k ¢ (ek ¢ ei) = 0 () |
|
|||||||||||||||||
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
}ei) = 0 |
| |
|
{z |
|
} |
¸i = 0 : |
(26) |
|||
|
¸i |
|
{z(ei |
|
|
|
|||||||||||||
() |
|
|
=0 |
|
|
¢ |
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
||||
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
() |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
| |
|
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенство (26) справедливо для всякого i ( i = 1; 2; 3; : : : ; k ), òî åñòü, âñå коэффициенты нулевой линейной комбинации (25) равны нулю, следовательно, линейная комбинация (25) тривиальна.
Определение
Базис из n мерных векторов e1 ; e2 ; e3 ; : : : ; en называется ортонормиро-
ванным, если элементы этого базиса нормированы и попарно ортогональны.
Теорема о матрицах перехода между двумя ортонормированными базисами
Если базисы e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng è g = fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gng îáà ÿâ-
ляются ортонормированными, òî
(Se!g)¡1 = (Se!g)T ; (Sg!e)¡1 = (Sg!e)T :
Без доказательства. Определение
Пусть дана квадратная матрица |
a22 |
a23 |
: : : a2n 1 |
|
||||||
0 a21 |
|
|||||||||
a11 |
a12 |
a13 |
: : : a1n |
C |
|
|||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
. |
.. . |
C |
|
|
B . . . |
|
C |
: |
|||||||
A = B a31 |
a32 |
a33 |
: : : a3n |
C |
||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
Ba |
n1 |
a |
n2 |
a |
n3 |
: : : a |
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
nn C |
|
51
Если существует такое число ¸ и такой ненулевой n мерный вектор
0 x1 1 B C BB x2 CC
X = B x C;
BB 3 CC
B . C
@ A
xn
÷òî
A ¢ X = ¸ ¢ X ; |
(27) |
то число ¸ принято называть собственным числом матрицы A, а вектор X принято называть собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному числу ¸.
Замечания
1. Нулевой вектор X = (0; 0; 0; : : : ; 0) обращает уравнение (27) в верное равенство,
однако, нулевой вектор не пригоден в качестве собственного.
2. Если вектор X â (27) заменить на ¹¢X (ãäå ¹ любое число), равенство сохранит
силу. Принято говорить, что собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя. Из всего множества таких взаимно пропорциональных векторов
чаще всего выбирается один, нормированный вектор (jXj = 1).
3.Разным собственным числам соответствуют разные нормированные собственные векторы. Имеется в виду, что каждый из этих векторов не является линейной комбинацией остальных.
4.Одному собственному числу может соответствовать несколько разных нормированных собственных векторов.
Теорема
Собственные числа матрицы A являются корнями уравнения
det(A ¡ ¸E) = 0 ; |
(28) |
(E единичная матрица), а для каждого собственного числа ¸i |
собствен- |
52
ные векторы находятся, как решения однородной системы уравнений
(A ¡ ¸iE) ¢ X = 0 : |
(29) |
Доказательство теоремы несложно и предоставляется слушателям.
Замечание Уравнение (28), которое принято называть характеристическим, имеет вид
¯ |
a21 |
a22 |
¡ |
¸ |
a23 |
|
: : : |
|
a2n |
|
¯ |
|
|
||||
¯ |
a11 ¡ ¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
||
¯ |
a12 |
|
a13 |
|
: : : |
|
a1n |
|
¯ |
|
|
||||||
¯ |
a31 |
a32 |
|
a33 |
|
¸ |
: : : |
|
a3n |
|
¯ |
= 0 : |
(30) |
||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
. |
|
. |
|
|
. |
|
. |
.. |
|
|
. |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
a |
|
a |
|
|
a |
|
|
: : : |
a |
|
¡ |
¸ |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
n1 |
|
n2 |
|
|
n3 |
|
|
|
|
nn |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
Матрица, от которой бер¼тся определитель в (30), отличается от исходной матрицы A тем, что из каждого диагонального элемента матрицы вычитается искомое ¸.
Замечание
Уравнение (28), равно, как и (30), есть алгебраическое уравнение степени n относительно искомого ¸. Количество корней такого уравнения не превышает n. Некоторые из корней могут быть комплексными. При n > 4 уравнение, вообще говоря, может быть решено только численно.
Задача Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
A = µ |
7 |
¡4 |
¶: |
(31) |
¡4 |
1 |
Решение Строим уравнение
|
¯ |
¡ |
¡ |
¯ |
|
det A = |
¯ |
|
1¡4¸ |
¯ |
= (¸ ¡ 7)(¸ ¡ 1) ¡ 16 = ¸2 ¡ 8¸ ¡ 9 = 0 ; |
¯7 ¡4¸ |
¯ |
||||
|
¯ |
|
|
¯ |
|
53
из которого можно найти пару собственных чисел ¸1 = ¡1, ¸2 = 9.
Поскольку матрица имеет размер 2 £ 2, искомые векторы следует разыскивать
â âèäå |
|
X = µx2 |
¶: |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
1. ¸1 = ¡1 : Система уравнений (18) принимает вид |
|
|||||
½ |
¡ |
|
|
¯ |
|
|
8x1 ¡ 4x2 |
= 0 |
¯ |
: |
(32) |
||
|
4x1 + 2x2 |
= 0 |
¯ |
|||
|
|
|
|
¯ |
|
|
Второе уравнение пропорционально первому, и поэтому должно быть отброшено, так как не нес¼т новой информации после первого. Дефект системы равен единице, по-
этому в общем решении системы (32) должна присутствовать одна произвольная константа. Пусть C имя этой произвольной константы.
Åñëè x1 = C; то общее решение системы (32) имеет вид x1 = C; x2 = 2C;
позволяющий выписать собственный вектор |
¶ |
= C |
µ2 ¶ |
: |
|||||
X = |
µx2 |
¶ |
= |
µ |
2C |
||||
|
x1 |
|
|
|
C |
|
|
1 |
|
Во многих практически важных случаях собственный вектор нормируется, то есть, находится такое C; при котором норма (модуль) собственного вектора обраща-
ется в единицу. В данном случае |
¢ X = |
µ p25 ¶ |
: |
||
g1 = jXj |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
p |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначение g1 применено для нормированного собственного вектора, соответствующего числу ¸1 :
2. ¸2 = 9: Система уравнений (18) принимает вид
½ ¡4x1 |
¡ |
8x2 |
= 0 |
¯ |
: |
(33) |
¡ |
¡ |
|
|
¯ |
|
|
2x1 |
|
4x2 |
= 0 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
Второе уравнение пропорционально первому и поэтому отбрасывается. Общее решение системы (33) имеет вид x1 = ¡2C; x2 = C; позволяющий выписать собственный
вектор
54
X = |
µx2 ¶ |
= |
µ¡C |
¶ = C |
µ 1 ¶ |
: |
|
x1 |
|
2C |
|
¡2 |
|
Результатом нормировки будет |
¢ X = |
µ¡p15 |
5 ¶ |
: |
|||
g2 = jXj |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
||
1 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначение g2 применено для нормированного собственного вектора, соответствующего собственному числу ¸2 .
Замечание
Векторы g1; g2 ортогональны, g1 ¢ g2 = 0 ; и это не случайно.
Определение Квадратная матрица
A = faijgi=1;2; ::: ; n называется симметричной,
j=1;2; ::: ; n
|
åñëè aij |
= aji ; i = 1; 2; 3; : : : ; n ; |
j = 1; 2; 3; : : : ; n : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Примеры симметричных матриц: |
1 |
4 |
7 |
|
0 |
3 |
19 |
9 |
|
1 |
1 |
|
||||||
|
3 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
; B = 0 |
|
|
9 1; |
|
B |
11 |
¡3 |
4 |
6 |
C |
|
||||
A = |
|
¡ |
4 |
2 |
C = |
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
: |
||||
µ |
5 |
2 |
¶ |
|
|
8 C |
|
4 |
9 |
¡ |
8 |
9 |
|
|||||
|
¡ |
|
B |
7 |
9 |
|
B |
6 |
|
1 |
|
15 |
C |
|
||||
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
B |
|
9 |
C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
A |
|
Теорема о собственных числах и собственных векторах симметричной матрицы Пусть квадратная матрица A симметрична и состоит только из веществен-
ных элементов. Тогда:
1.Все собственные числа матрицы A вещественны.
2.Собственные векторы матрицы A; соответствующие разным собственным числам, попарно ортогональны.
Без доказательства.
55
Замечание Если собственное число простое (кратность равна единице), то дефект системы
уравнений (29) равен единице, и общее решение системы содержит одну произвольную
константу. Конкретное значание константе можно придать при нормировке вектора. Среди собственных чисел матрицы корней уравнения (28) могут быть крат-
íûå. Åñëè ¸i собственное число кратности ki > 1 ; то дефект системы уравнений (29) равен ki ; и общее решение системы содержит ki произвольных констант. Из
этого общего решения всегда можно (но всегда с трудозатратами) "сконструировать" ki попарно ортогональных (а следовательно, линейно независимых) нормированных
векторов, каждый из которых будет соответствовать собственному числу ¸i :
Таким образом, из собственных векторов квадратной матрицы порядка n можно "собрать" ортонормированный базис множества всех n¡мерных векторов.
Определение
Функция
f(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn) = a11x12 + a22x22 + a33x32 + : : : + annxn2 + |
|
+ 2 ¢ a12x1x2 + 2 ¢ a13x1x3 + 2 ¢ a14x1x4 + : : : + 2 ¢ a1nx1xn + |
|
+ 2 ¢ a23x2x3 + 2 ¢ a24x2x4 + : : : + 2 ¢ a2nx2xn + |
|
+ : : : + 2 ¢ an¡1;nxn¡1xn |
(34) |
(ãäå aij постоянные числа) называется квадратичной формой.
Каждое слагаемое квадратичной формы содержит либо квадрат одной из переменных, либо смешанное произведение первых степеней двух разных переменных.
56
Симметричная матрица |
0 a12 |
a22 |
a23 |
: : : a2n 1 |
|
|||||
|
|
|||||||||
A = |
|
a11 |
a12 |
a13 |
: : : a1n |
C |
(35) |
|||
B a13 |
a23 |
a33 |
: : : a3n |
|||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
. |
.. . |
C |
|
|
|
B . . . |
|
C |
|
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
Ba |
|
a |
a |
: : : a |
|
C |
|
||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B |
|
1n |
2n |
3n |
|
|
nn C |
|
называется матрицей квадратичной формы (34).
Замечание Квадратичная форма (34) может быть записана в виде
|
n |
n¡1 n |
|
|
Xi |
X X |
|
f(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn) = |
aiixi2 + 2 ¢ |
aijxixj |
(36) |
|
=1 |
i=1 j=i+1 |
|
Представление (36) менее наглядно (менее привычно), чем (34), но более компактно.
Замечание
Поскольку запись (x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn) есть "строчное" обозначение для n
мерного вектора 0 x1 1
B C
BB x2 CC
X = B x C;
BB 3 CC
B . C
@ A
xn
далее, для краткости, вместо записи f(x1 ; x2 ; x3 ; : : : ; xn) иногда будет применяться
f(X).
Теорема о матричной записи квадратичной формы Квадратичная форма может быть записана в виде
f(X) = XT ¢ A ¢ X : |
(37) |
Без доказательства.
57
Пример
f(x1; x2; x3) = 2x12 + 5x22 + 3x32 + 8x1x2 + 14x1x3 + 2x2x3 = |
1 = |
|||||||||||||
= ( x1 x2 x3 ) |
|
04 |
5 |
1 |
1 0x2 1 = ( x1 |
x2 x3 ) |
|
0 4x1 |
+ 5x2 |
+ x3 |
||||
|
¢ |
B |
2 |
4 |
7 |
|
x1 |
C |
|
¢ |
2x1 |
+ 4x2 |
+ 7x3 |
C |
|
7 |
1 |
3 C |
¢ Bx3 |
|
B 7x1 |
+ x2 + 3x3 |
|||||||
|
|
@ |
|
|
|
A |
@ |
A |
|
|
@ |
|
|
A |
=x1 ¢ (2x1 + 4x2 + 7x3) + x2 ¢ (4x1 + 5x2 + x3) + x3 ¢ (7x1 + x2 + 3x3) =
=2x21 + 4x1x2 + 7x1x3 + 4x2x1 + 5x22 + x2x3 + 7x3x1 + x3x2 + 3x23 =
=2x21 + 5x22 + 3x23 + 8x1x2 + 14x1x3 + 2x2x3 :
Замечание Формула (37) позволяет представить квадратичную форму не только с исполь-
зованием матрицы (35): Пригодна и любая другая матрица A0 = fa0ijgi=1;2; ::: ; n ; îò-
j=1;2; ::: ; n
вечающая требованию a0ij + a0ji = 2aij : Однако, ценность имеет именно симметричная матрица квадратичной формы.
Замечание
Пусть дан тривиальный базис e = fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng: Тогда для всякого n мерного вектора (столбца) X справедливо Xe = X; а значит, квадратичную форму f(X) = XT AX можно представить в виде f(Xe) = XeT AeXe в котором матрицу Ae = A будем называть матрицей квадратичной формы в простейшем базисе.
Теорема об изменении матрицы квадратичной формы при смене базиса.
Пусть даны n мерные векторы (столбцы) Xe è Xg , выражающие ко-
эффициенты разложения по базисам |
e |
= fe1 ; e2 ; e3 ; : : : ; eng è g = |
||||||||
fg1 ; g2 ; g3 ; : : : ; gng некоторого вектора X. |
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XeT Ae Xe = XgT Ag Xg ; |
|
(38) |
||||||||
где используется обозначение A |
g |
= ST |
|
A |
e |
S |
g!e |
; A |
g |
называется матрицей |
|
g!e |
|
|
|
|
квадратичной формы в базисе g.
58
Доказательство
XeT AeXe = (Sg!e Xg)T Ae (Sg!e Xg) = XgT SgT!e Ae Sg!e Xg = XgT (SgT!eAe |
Sg!e) Xg = |
|||||
= XgT Ag Xg : |
| |
|
{z |
|
|
} |
|
|
|
||||
|
|
=Ag |
Замечание Формула (38) поначалу позволяет перейти от матрицы квадратичной формы "в
чистом виде" (в тривиальном базисе e) к матрице квадратичной формы в произвольном базисе g.
При доказательстве (38) не использовалось то, что e является тривиальным базисом. Следовательно, далее формула (38) позволяет переходить от матрицы квадра-
тичной формы в одном произвольном базисе к матрице квадратичной формы в другом произвольном базисе.
Теорема о симметричной матрице в базисе из собственных векторов
1. Набор собственных чисел симметричной матрицы квадратичной формы Ae в одном базисе e не изменяется при переходе к симметричной матрице
квадратичной формы Ag , в другом базисе g .
2. Если базис g построен из собственных векторов симметричной матрицы
квадратичной формы, и все собственные числа матрицы ¸1 ; ¸2 ; ¸3 ; |
: : : ; |
||||||||||
¸n отличны друг от друга, то матрица Ag имеет диагональный вид, |
|
||||||||||
|
0 |
¸ |
0 |
0 |
: : : |
0 |
1 |
|
|
||
|
01 |
¸2 |
0 |
: : : |
0 |
|
|
||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
B |
|
|
. |
. |
.. |
. |
C |
|
|
|
Ag = |
B . . |
|
C |
: |
(39) |
||||||
B |
0 |
0 |
¸3 |
: : : |
0 |
C |
|||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
: : : |
¸ |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
n C |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
Без доказательства.
59
Замечание
Последующая часть документа содержит указания к исполнению типового рас- ч¼та. Типовой расч¼т состоит в построении кривой второго порядка в декартовой пря-
моугольной системе координат Ox1x2 по заданному уравнению этой кривой. Уравнение произвольной кривой второго порядка имеет вид
a11x12 + a22x22 + 2a12x1x2 + b1x1 + b2x2 + c = 0 ; |
(40) |
a11 ; a22 ; a12 ; b1 ; b2 ; c постоянные коэффициенты.
Перед решением демонстрационной задачи следует сформулировать ряд определений и замечаний.
Определение
Наклонной асимптотой по отношению к кривой x2 = f(x1) в направлении x1 ! +1 называется прямая x2 = ®©x1+¯© ; коэффициенты для которой находятся по формулам
® |
lim |
f(x1) |
; |
¯ |
© |
= |
lim |
(f(x |
) |
¡ |
® |
© |
x |
) : |
(41) |
|
|||||||||||||||
|
© = x1!+1 |
x1 |
|
|
x1!+1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
Если хотя бы один из пределов в (41) не существует или бесконечен, наклонной асимптоты в направлении x1 ! +1 íåò.
Наклонной асимптотой по отношению к кривой x2 = f(x1) в направлении x1 ! ¡1 называется прямая x2 = ®ªx1+¯ª ; коэффициенты для которой находятся по формулам
®ª = x1lim |
f(x1) |
; |
¯ª = x1lim (f(x1) ¡ ®ªx1) : |
(42) |
||
x |
|
|
||||
!¡1 |
|
1 |
|
|
!¡1 |
|
Если хотя бы один из пределов в (42) не существует или бесконечен, наклонной асимптоты в направлении x1 ! ¡1 íåò.
Замечания 1. Горизонтальная (в случае ®© = 0 или в случае ®ª = 0) асимптота рассмат-
ривается как частный случай наклонной асимптоты.
60