Литература и лекции / АлгебраГеометрия

то соотношения (50) (51) равносильны матричным соотношениям

Xg = Ph!g + Xh ; Xh = Pg!h + Xg :

(54)

Задача Построить кривую второго порядка, заданную уравнением

p			p
7 x12 + x22 ¡ 8 x1x2 + 22 5 x1 ¡ 10			5 x2 + 71 = 0 :			(55)

Решение Уравнение второго порядка ((40) в общем виде, (55) в данном случае) должно

быть преобразовано (пут¼м смены системы координат) к каноническому виду кривойк виду (43), èëè (44), èëè (45), èëè (46).

При первом, предварительном подходе, будет построено "ленивое" решение задачи. Потребуется обращение к сайту wolframalpha.com. Такое решение не годится для написания полного и правильного отч¼та о работе. Оно лишь поможет легко и быстро изобразить кривую и "на глазок" оценить е¼ разновидность.

Поставить сайту задачу о нахождении решения уравнения (44) относительно x2 следует с помощью команды

Solve[7*x1^2+x2^2-8*x1*x2+22* Sqrt[5]*x1-10*Sqrt[5]*x2+71 == 0, x2]

Ответ будет показан в виде

p q p p q p

ffx2 ! 5 5 + 4 x1 ¡ 3 6 + 2 5 x1 + x12g; fx2 ! 5 5 + 4 x1 + 3 6 + 2 5 x1 + x12gg (56)

Разумеется, ответ можно было получить и "вручную", поскольку (55) åñòü êâàä-

ратное уравнение относительно x2 : Но сейчас речь ид¼т о "ленивом" решении.

На основе такого ответа можно отдать команду на построение одной линии гра-

ôèêà

Plot[{5*Sqrt[5]+4*x1 -3*Sqrt[6+2*Sqrt[5]*x1+x1^2]},{x1,-6,2}]

либо обеих линий

Plot[{5*Sqrt[5]+4*x1 -3*Sqrt[6+2*Sqrt[5]*x1+x1^2], 5*Sqrt[5]+4*x1 +3*Sqrt[6+2*Sqrt[5]*x1+x1^2]},{x1,-6,2}] :

71

Ðèñ. 14

Текст команды получается длинным (103 символа), поэтому в командной строке на Рис. 14 он виден лишь частично.

Показанные на Рис. 14 кривые являются, судя по всему, ветвями гиперболы. У гиперболы, в отличие от параболы и эллипса, есть асимптоты, то есть прямые, к которым ветви гиперболы "прижимаются" вдали от начала координат.

Разумеется, рисунок наподобие Рис. 14 может быть получен и за сч¼т более простой команды

Plot[7*x1^2+x2^2-8*x1*x2+22* Sqrt[5]*x1-10*Sqrt[5]*x2+71 == 0, {x1,-6,2}, {x2,-25,30}] ;

ïðè÷¼ì, wolframalpha.com даже подскажет, что изображена гипербола. Однако, такой подход не позволяет определить уравнения асимптот гиперболы.

Коэффициенты для двух уравнений асимптот верхней (на Рис. 14 фиолетовой) ветви гиперболы находятся из результата (45) по формулам (41) (42):

© = x

+

5p

q

=

5

+ 4x1

+ 3

6 + 2p

5

x1 + x12

®

lim

x1

1! 1

1 +

1!

=

= x1!+1

à x1

+ 4 + x1 q6 + 2 5

lim

5p

5

3

p

x

x

2

72

0

5p

1 = 7 ;

+

u

6p

+

2p

+

=

lim

5

4

+ 3

5

5

1

B

!0

|{z}

!

0

!0

C

x1

+

@

x1

u

x1

|{z}A

!

1 B

|{z}

!4

u

1

|{z}

!1

C

t

|{z}

2

1¶

©

= x1

!+1

p

1

p

1

1 ¡

©

µ5 5 + 4

+ 3q6 + 2 5

¯

lim

x

x

+ x

® x

= x1

!+1 µ5 5 + 4

1 + 3q

¡ 7

1¶

=

6 + 2 5

1

+

1

lim

p

x

p

x

x2

x

= 5p

+

6 + 2p

x

x2

5

lim

3

1 +

x

=

x1!+1

µ q

5

1

¡ 3 1¶

µq

¶ ¢ µq

+ x1

¶

=

6 + 2p

x1 + x12

¡ x1

6 + 2p

x1 + x12

= 5p

+ 3

5

5

5

lim

¢x1!+1

q6 + 2p

x1 + x12 + x1

5

= 5p

6 + 2p

x1 + x12 ¡ x12

+ 3

5

5

lim

=

¢x1!+1 q6 + 2p

x1 + x12 + x1

5

0

¢ 6 + 2p

x1

1

= 5p

5

+ 3

x1

5

lim

=

1

¡

¢

¢x1

+

1

! 1 B

C

¢

6 + 2p

x1 + x12

5

+ x1

Bx1

µq

C

@

¶A

p

0

x1

+ 2p5

1

+ 3 ¢x1!+1 B

6

C

5

1

¢

6 + 2p

x1 + x12

5

+ 1

x2

B

C

= 5

lim

Br

1

¡

¢

C

=

@

A

6

+ 2p

p

p

5

p

p

x1

0 + 2 5

5 + 3 ¢x1!+1

= 5

¢ p0 + 0 + 1 + 1

p

= 5

lim

5 + 3

= 8 5 ;

6

2

5

s

+

+ 1 + 1

x12

x1

p

®ª = 1 ;

¯ª = 2 5 :

Подробности вычисления пределов в направлении x1 ! ¡1 здесь не приводятся, чтобы рассуждение не стало слишком громоздким. Важно отметить лишь, что в

73

направлении x1 ! ¡1 переменная x1 отрицательна, поэтому

1	1
	= ¡s		:
x1		x12

Коэффициенты для двух уравнений асимптот нижней (на Рис. 14 синей) ветви гиперболы также находятся из результата (45) по формулам (30) (31):

p			p
®© = 7 ¯© = 8 5 ; ®ª = 1 ;			¯ª = 2 5 :

Таким образом, асимптоты синей ветви совпадают (с инверсией направлений +1 è ¡1 ) с асимптотами фиолетовой ветви. В общем, асимптот только две.

Теперь есть данные для постановки добросовестной команды на построение графика гиперболы вместе с двумя е¼ асимптотами:

Plot[{5*Sqrt[5]+4*x1 -3*Sqrt[6+2*Sqrt[5]*x1+x1^2] ; 5*Sqrt[5]+4*x1 +3*Sqrt[6+2*Sqrt[5]*x1+x1^2] ;

7*x1+8*Sqrt[5] ; x1+2*Sqrt[5]},{x1,-6,2}] :

Разумеется, текст команды должен быть вмещ¼н в одну оранжевую рамку, второй рамки у wolframalpha.com нет. Результат исполнения команды:

Ðèñ. 15

"Ленивая" команда на построение графика гиперболы вместе с асимптотами имеет вид:

Plot[ { 7*x1^2+x2^2-8*x1*x2+2*Sqrt[5]*(11*x1-5*x2)+71 == 0,

x2 == x1+2*Sqrt[5], x2 == 7*x1+8*Sqrt[5]} ; { x1,-8,4 } , { x2,-4,8 } ] :

74

Результат исполнения команды:

Ðèñ. 16

На этом завершается первый, "игровой" этап решения задачи. Второй этап, который начинается теперь, требует применения знаний линейной алгебры.

Каждой точке M; имеющей координаты (x1 ; x2) в двумерной декартовой прямоугольной системе координат Ox1x2 ; можно поставить в соответствие вектор X =

OM = (x1 ; x2) :

Рассмотрим простейший базис e = fe1 ; e2g; e1 = (1; 0), e2 = (0; 1): Пусть столбец разложения вектора X по такому базису имеет вид Xe = (x1e ; x2e): Поскольку базис e простейший, x1e = x1 ; x2e = x2 : Тогда поставленную задачу можно пе-

рефразировать так: требуется найти множество векторов Xe = (x1e ; x2e) ;					которые
подчиняются уравнению F (x1e ; x2e) = 0 ; ãäå
F (x1e ; x2e) = 7 x12e + x22e ¡ 8 x1ex2e + 22 p		x1e ¡ 10 p		x2e + 71 :
	5		5		(57)

Первые три слагаемых в (57) представляют квадратичную форму с матрицей

75

(31) на странице 53:

Ae = µ

7

¡4

¶:

¡4

1

Собственные числа и нормированные собственные векторы этой матрицы

¸1 = ¡1;

g1 = µ p25

¶;

¸2 = 9;

g2 = µ¡p15

¶

1

2

p

5

p

5

уже найдены. Набор векторов

g = fg1 ; g2g

образует базис, столбцы этого базиса,

будучи составлены вместе, образуют матрицу перехода

Sg!e =

µ p25

¡p15

¶

:

1

2

p

5

p

5

Пусть Xg = (x1g ; x2g) есть столбец разложения вектора X по базису g: Тогда,

по теореме о назначении матрицы перехода,

Xe = Sg!e ¢ Xg ;

x1g ¡ 2x2g

1

2

µx2e ¶ µ p

¶

¢ µx2g ¶

p5

5

p5

x1e

p5

p5

x1g

@

A

=

2

¡1

=

p5

:

(58)

0

2x1g + x2g

1

Èç (58) следует, что

2x1g + x2g

¯

>

x

2x

2g

8x1e

=

1g p¡

¯:

5

(59)

>x2e =

¯

<

p

¯

5

¯

Подставляя

â

,

>

¯

:

¯

получаем

¯

(59)

(57)

>

1g p¡5

1gp5

2g ¶

F (x1e ; x2e) = F µ

2g

;

=

x

2x

2x

+ x

x

2x

2

2x

+ x

x

2x

2x

+ x

= 7 ¢ µ

1g p¡

2g

¶ + µ

2g

¶ ¡ 8 ¢

1g p¡

1gp

2g

¢

1gp

2g

+

5

5

5

5

+ 22 p

x1g

¡ 2x2g

10 p

2x1g

+ x2g

5

5

+ 71 =

¢

p5

¡

¢

p5

= 7x21g ¡ 28x1gx2g + 28x22g + 4x21g + 4x1gx2g + x22g ¡ 16x21g ¡ 8x1gx2g + 32x2gx1g + 16x22g + 5

+ 22x1g ¡ 44x2g ¡ 20x1g ¡ 10x2g + 71 =

76

Og2 :

образует такой

= ¡x12g + 9 x22g + 2 x1g ¡ 54 x2g + 71 :	(60)
Èç (60) видно, что квадратичная форма не содержит смешанного произведе-
íèÿ x1gx2g (члены с x1gx2g взаимно уничтожились), коэффициент при x12g	åñòü ñîá-
ственное число ¸1 = ¡1 ; коэффициент при x22g есть собственное число	¸2 = 9 :

Полученные упрощения предсказаны Теоремой о симметричной матрице в базисе из собственных векторов.

Вектор g1 образует угол ° = arctan 2 ñ îñüþ Ox1e вектор g2

æå óãîë ñ îñüþ Ox2e ; следовательно, переход от (57) ê (60) означает переход к новой системе координат Og1g2 ; которая пов¼рнута на угол ° = arctan 2 относительно старой системы координат Oe1e2 :

Цепь выкладок (60) должна быть продолжена:

F (x1e ; x2e) = ¡x21g + 2x1g + 9x22g ¡ 54x2g + 71 =

=¡(x21g ¡ 2x1g) + (9x22g ¡ 54x2g) + 71 = ¡(x21g ¡ 2x1g) + 9 ¢ (x22g ¡ 6x2g) + 71 =

=¡((x21g ¡ 2x1g + 1) ¡ 1) + 9 ¢ ((x22g ¡ 6x2g + 9) ¡ 9) + 71 =

= ¡(x12g ¡ 2x1g + 1) + 1 + 9 ¢ (x22g ¡ 6x2g + 9) ¡ 81 + 71 =
= ¡(x1g ¡ 1)2 + 9 ¢ (x2g ¡ 3)2 ¡ 9 = 0 :	(61)

Таким образом, сложное исходное уравнение кривой второго порядка свелось к более простому уравнению в переменных x1g ; x2g

¡

(x

1g ¡

1)2 + 9

¢

(x

2g ¡

3)2

= 9

() ¡

(x1g ¡ 1)2

+

(x2g ¡ 3)2

= 1 :

32

12

Введ¼м следующие, самые новые переменные x1h ; x2h :

½x1h = x1g ¡ 1 ¯¯¯¯: x2h = x2g ¡ 3

(62)

(63)

Согласно (51) (52), переход к таким переменным означает, что самая новая система координат Ox1hx2h получена параллельным переносом относительно системы Og1g2 на одну единицу вдоль оси Og1 и на три единицы вдоль оси

77

	Уравнение кривой в самой новой системе координат Ox1hx2h						принимает пре-
	дельно простой вид	x12h		x22h
	¡		+			= 1 ;	(64)
		32			12

совпадающий с видом (46).

Ðèñ. 17

78

Пришло время назвать этапы построения графика кривой, заданной уравнением (55).

1. Строится, первая, исходная, (на Рис. 17 синяя) система координат Ox1ex2e ; â
которой координатные оси направлены вдоль базисных ортов
e1 = µ0 ¶;	e2 = µ1 ¶:
1	0

2. Строится вторая, промежуточная, (на Рис. 17 фиолетовая) система координат Ox1gx2g ; в которой координатные оси направлены вдоль базисных ортов

g1	=	µ p25 ¶;			g2	=	µ¡p15		¶:
		1					2
		p	5				p	5

Следует напомнить, что векторы g1 è g2 являются нормированными собственными векторами матрицы квадратичной формы. Переход от системы Ox1ex2e к системе Ox1gx2g означает поворот на угол ° = arctan 2 ¼ 630:4349 : Важно правильно построить направляющие базисные орты g1 ; g2 ; а значение угла ° само по себе не столь существенно.

3. Строится третья, итоговая, (на Рис. 17 бирюзовая) система координат Ox1hx2h ;

координатные оси которой смещены параллельным переносом относительно осей промежуточной системы. Точка Oh центр третьей системы имеет (согласно (63)) во

второй системе координаты c1 = 1 ; c2 = 3 :

4. Уравнение (64) имеет тот же вид, что и уравнение (46), поэтому гипербола строится по образу и подобию Рис. 11. Из (64) ясно, что a = 3 ; b = 1 : Это означает, что в центре системы координат Ox1hx2h следует построить прямоугольник размерами 6 £ 2 , стороны которого задаются уравнениями x1h = §3 ; x2h = §1 : Íà Ðèñ. 17

прямоугольник показан æ¼ëòûì цветом. Прямые, лежащие вдоль диагоналей ж¼лтого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы.

79