Литература и лекции / MathAn20180303

Теорема о достаточном условии возрастания функции на открытом промежутке Пусть f : R ! R. Пусть:

1) f(x) дифференцируема на открытом промежутке (a; b);

2) f0(x) > 0, 8x 2 (a; b).

Тогда

f(x) " на промежутке (a; b).

Доказательство

Дифференцируемость функции f(x) в любой точке промежутка (a; b), согласно

теореме о достаточном условии непрерывности функции, означает и непрерывность функции в любой точке этого промежутка.

Возьм¼м любые два числа x1 2 (a; b), x2 2 (a; b), такие, что x1 < x2. На проме- жутке [x1; x2] для функции f(x) выполнены условия теоремы Лагранжа. Следователь-

íî,

9

c

2

(x

; x

)

такое, что

f0(c) = f(x2)¡f(x1)

f(x

)

¡

f(x

) = f0(c)

¢

(x

2

¡

x

).

1

2

x2¡x1 ,

èëè

2

1

1

Заметим, что c

2

(a; b), стало быть, f0(c) > 0 : Но тогда

x1 < x2 =) f(x2) ¡ f(x1) = f0(c) ¢ (x2

¡ x1) > 0 =) f(x1) < f(x2) :

Доказательство закончено.

|{z} |

{z

}

>0

>0

Замечание Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии убывания функции

на открытом промежутке слушателям предстоит самостоятельно.

Теорема о первом достаточном условии локального минимума функции в точке Пусть f : R ! R. Пусть:

1) f(x) дифференцируема на промежутке (x0 ¡ ±; x0 + ±) (òî åñòü, â ± окрестности точки x0);

2) f0(x0) = 0;

3) f0(x) < 0, 8x 2 (x0 ¡ ±; x0);

11

4) f0(x) > 0, 8x 2 (x0; x0 + ±).

Тогда

f(x) достигает локального минимума в точке x0.

Доказательство

Дифференцируемость функции f(x) во всех точках промежутка (a; b) означает и непрерывность е¼ во всех точках промежутка (a; b).

Рассмотрим произвольную точку x1 2 (x0 ¡±; x0) : По теореме Лагранжа суще-

ствует точка c

1

2

(x

; x

) такая, что

f0(c

) = f(x0)¡f(x1)

1

0

1

x0¡x1

, следовательно,

f(x0) ¡ f(x1) = f0(c1) ¢ (x0 ¡ x1) < 0 =) f(x1) > f(x0) ; 8x1 2 (x0 ¡ ±; x0) :

<0

>0

Рассмотрим

произвольную точку

x2 2 (x0; x0 + ±) : По теореме Лагранжа суще-

| {z } |

{z

}

ствует точка c

2

2

(x

; x

) такая, что

f0(c

) = f(x2)¡f(x0)

0

2

2

x2¡x0

, следовательно,

f(x2) ¡ f(x0) = f0(c2) ¢ (x2 ¡ x0) > 0 =) f(x2) > f(x0) ; 8x2 2 (x0; x0 + ±) :

>0

>0

}

Èç äâóõ

| {z } |

{z

f(x) > f(x0) ; 8 x 2 (x0 ¡±; x0 +±),

фиолетовых неравенств следует, что

x 6= x0 ; а это, по определению, и означает наличие минимума функции f(x) в точке

x = x0 :

Доказательство закончено.

Замечание Сформулировать и доказать теорему о первом достаточном условии существова-

ния локального максимума функции в точке слушателям предстоит самостоятельно.

Теорема Коши

Пусть f : R ! R; g : R ! R: Пусть функции f(x) ; g(x) :

1)непрерывны на замкнутом промежутке [a; b] ;

2)дифференцируемы на открытом промежутке (a; b) ;

12

	3)		g(b) 6= g(a) ;
	4)		на открытом промежутке (a; b)						нет точки, в которой производные
	f0(x) ; g0(x) обращались бы в ноль одновременно.
	Тогда				f(b) ¡ f(a)				f0(c)
	9	c	2	(a; b) такое, что				=
									g	(c) .
					g(b)	¡	g(a)
									0

Доказательство Рассмотрим вспомогательную функцию

'(x) = f(x) ¡ g(x) ¢ f(b) ¡ f(a) ; g(b) ¡ g(a)

которая:

1)непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] ;

2)дифференцируема на открытом промежутке (a; b) ; ïðè÷¼ì,

	'0(x) = f0(x)	¡	g0	(x)	f(b) ¡ f(a)			;
					¢ g(b)	¡	g(a)
3) '(a) = '(b) =	g(b)f(a) ¡ g(a)f(b)
	g(b) ¡ g(a) .

Таким образом, функция '(x) подчиняется условиям теоремы Ролля. Согласно этой теореме, существует такое c 2 (a; b) ; ÷òî '0(c) = 0 : Но тогда

'0(c) = f0(c) ¡ g0(c) ¢ f(b) ¡ f(a) = 0 ; g(b) ¡ g(a)

следовательно,

f0(c) = g0(c)

f(b) ¡ f(a)

;

f0(c)

=

f(b) ¡ f(a)

:

0

¢ g(b)

¡

g(a)

(c)

g(b)

¡

g(a)

g

Доказательство закончено.

Теорема

о первом правиле Лопиталя

Пусть f : R ! R; g : R ! R:

Пусть существует ± > 0

такое, что функции f(x) ; g(x) :

13

1)непрерывны на полуоткрытом промежутке [a; a + ±) ;

2)дифференцируемы на открытом промежутке (a; a + ±) ;

3)f(a) = g(a) = 0 ;

4)g0(x) =6 0 на открытом промежутке (a; a + ±) ;

5) существует и конечен предел

lim

f0(x)

= A .

g0(x)

x a+0

!

Тогда

существует, конечен и принимает такое же значение предел

lim

f(x)

= A .

x!a+0

g(x)

Замечание к формулировке теоремы

£

¤

отношения производных этих функций. Краткая запись

Предел отношения двух функций, дающий неопредел¼нность

00

; равен пределу

утверждения теоремы:

lim

f(x)

=

0

lim

f0(x)

:

·0¸

x!a+0

g(x)

= x!a+0 g0(x)

Доказательство Зададим произвольное " > 0 :

Нам нужно показать, что существует ±0 = ±0(") > 0 ; такое, что из неравенства

0 < b ¡ a < ±0(")

(2)

вытекает справедливость неравенства

¯

¯¯f(b)

¯g(b)

¯
¯	< " :	(3)
¡ A¯
¯

То, что привычное имя переменной x в определении предела заменено на b ; на сам факт существования предела не влияет.

	По условию теоремы	f0(x)
	lim			= A ;
		g0(x)
	x a+0
	!

значит, существует ±1 = ±1(") > 0 ; такое, что из неравенства 0 < x ¡ a < ±1(") ; èëè,

14

что то же самое, a < x < a + ±1(") ; вытекает справедливость неравенства

				¯g00(x)		¡ A¯	< " :		(4)
				¯	f (x)	¯
Пусть	±0	(") = min (±0	("); ±) ;	¯	тогда	из неравенства¯		a < x < a + ±0(")	и подавно
				¯		¯

вытекает справедливость неравенства (4).

Пусть число b подчиняется требованию 0 < b¡a < ±0(") ; или, что то же самое, a < b < a + ±0(") : Докажем, что отсюда вытекает верность неравенства (3).

Функции f(x)

è g(x) на промежутке [a; b]

удовлетворяют условиям теоремы

Коши. Согласно этой теореме,

=0

( )

0(

( ))

g(b) ¡ z}|{( )

f(b) ¡ f(a)

=

f(b)

=

f

0(c(b))

;

(5)

g a

g b

g

c b

|{z}

( )

b < a + ±0(") ;

a < c(b) <

=0

прич¼м, согласно этой же теореме, a < c b

< b ; íî

òàê ÷òî

a + ±0(") ; следовательно, для x = c(b) выполняется неравенство (4),

¯g00(c(b))

¡ A¯ < " ;

¯

f (c(b))

¯

откуда, согласно

,

¯

¯

(5)

¯

¯

¯g(b) ¡ A¯ < " :

¯

f(b)

¯

¯

¯

Доказательство закончено.

¯

¯

Доказательство для левостороннего предела

lim

f(x)

=

0

lim

f0(x)

0

g0(x)

x!a¡0

g(x)

·

¸ = x!a¡0

строится аналогично. Доказательство для обычного предела

x!a

g(x)

·

0

¸ = x!a

g0(x)

lim

f(x)

=

0

lim

f0(x)

рассматривается как совокупность доказательств для двух односторонних пределов.

15

Замечание

£

0

¤

дится продлять цепь замен функций на их производные:

Иногда для нахождения предела, дающего неопредел¼нность вида

0

, прихо-

x!0

x2

·0¸

x!0

(x2)0

x!0

2x

·

0

¸

lim

ex2 ¡ cos x

=

0

= lim

(ex2

¡ cos x)0

= lim

ex2

¢ 2x + sin x

=

0

=

= lim

(ex2 ¢ 2x + sin x)0

= lim

ex2 ¢ 2x ¢ 2x + ex2 ¢ 2 + cos x

=

0 + 2 + 1

=

3

:

2

2

x 0

(2x)0

x 0

2

!

!

Справедливости ради следует отметить, что данный предел до взятия вторых производных можно и не доводить. Действительно,

lim

ex2

2x + sin x

= lim

e

x

2

sin x

lim e

x

2

+

1

lim

sin x

= 1 +

1

=

3

:

¢

2x

+ 2x ¶

2 ¢

x

2

2

x!0

x!0

µ

= x!0

x!0

Теорема

о втором правиле Лопиталя

Пусть f : R ! R;

g : R ! R:

Пусть функции f(x), g(x):

1)непрерывны на открытом промежутке (a; b) ;

2)дифференцируемы на открытом промежутке (a; b) ;

3)

lim f(x) =

1

,

x

lim g(x) =

1

,

x

a+0

!

a+0

!

4)

g0(x) = 0

на открытом промежутке (a; b),

6

f0(x)

5)

существует и конечен предел

lim

= A .

x

a+0

g0

(x)

!

Тогда

существует, конечен и принимает такое же значение предел

lim

f(x)

= A .

x!a+0

g(x)

Замечание к формулировке теоремы

£ ¤

делу отношения производных этих функций. Краткая запись

Предел отношения двух функций, дающий неопредел¼нность

1

1 ; равен пре-

x!a+0

g(x)

h1i

x!a+0

g0(x)

утверждения теоремы:

lim

f(x)

=

1

=

lim

f0(x)

:

16

Доказательство

=

lim

g(x) =

0

lim

µg(x)

¶x

=

lim

¡(g(0 x))2

=

L = lim

f(x) =

h

i

1

1

0

g (x)

1

f(x)

·0¸ = x!a+0

µf(x)

¶x

¡(f(x))2

x!a+0

g(x)

1

x!a+0

x!a+0

1

1

0

f0(x)

=

lim

g0(x)

f(x)

2

lim

µg(x)

¶

2

= x!a+0

µg(x)¶

2

Ã

¢ µ

¶ ! = x!a+0

f(x)

lim

f(x)

=

x!a+0

f0(x)

g(x)

f0(x)

lim

f0(x)

g0(x)

g0(x)

= µx!a+0

g(x) ¶

=

x!a+0

L2

:

lim

f(x)

2

lim

f0(x)

lim

f0(x)

g0(x)

g0

(x)

x a+0

x a+0

!

!

Равенство первого и последнего выражений в этой цепи есть уравнение относительно исходного предела:

L

L2

L

lim

f(x)

= lim

f0(x)

:

f0(x) =)

=

lim

= x!a+0

g(x)

x!a+0

g0(x)

x

g0(x)

!

a+0

Доказательство закончено.

Определение

Пусть f : R ! R. Пусть n 2 N.

Говорят, что функция f(x) n раз дифференцируема в точке x0, åñëè â

этой точке существуют и конечны производные всех порядков начиная от первого и заканчивая n ì.

Говорят, что функция f(x) n раз дифференцируема на промежутке, если она n раз дифференцируема в каждой точке промежутка.

Определение

def

1! = 1,

17

def

2! = 1 ¢ 2 = 2,

def

3! = 1 ¢ 2 ¢ 3 = 6,

¢ ¢ ¢

def

n! = 1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ : : : ¢ n = (n ¡ 1)! ¢ n,

def

0! = 1.

Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа Пусть f : R ! R:

Пусть существует ± > 0 такое, что f(x)

(n + 1)

раз дифференцируема

на открытом промежутке (x0 ¡ ±; x0 + ±) :

Тогда

8x 2 (x0 ¡ ±; x0 + ±) ; x 6= x0 ;

9 c 2 (x0; x) (åñëè x > x0),

ëèáî 9 c 2 (x; x0) (åñëè x < x0)

такое, что

f(x) = f(x0) +

f0(x0)

(x ¡ x0)1

+

f00(x0)

(x ¡ x0)2 +

1!

2!

+ : : : +

f(n)(x0)

(x ¡ x0)n + Rn(x) ;

(6)

n!

ãäå Rn(x) т.н. остаточный член в форме Лагранжа,

f(n+1)(c)

Rn(x) =

(x ¡ x0)n+1:

(n + 1)!

Замечания к формулировке теоремы

Величина c зависит от x0 è îò x ;

поэтому иногда пишут c = c(x0; x) :

Поскольку 0! = 1 ;

(x ¡ x0)0 = 1 ;

f(0)(x0) = f(x0) ; формулу Тейлора иногда

пишут в св¼рнутом виде,

f(x) =

n f(k)(x0)

(x ¡ x0)k +

f(n+1)(c)

(x ¡ x0)n+1 :

(7)

=0

k!

(n + 1)!

Xk

|

}

=R{zn(x)

18

Равенство (7) равноценно соотношению

	n	f(k)(x0)			f(n+1)(c)
	Xk
		k!		(x ¡ x0)k = (n + 1)! (x ¡ x0)n+1 :			(8)
	Rn(x) = f(x) ¡
	=0

Доказательство

Зафиксируем величины x0 è x (временно будем считать их константами). Рассмотрим две вспомогательные функции новой переменной t ;

	n	f(k)(t)
	Xk		(x ¡ t)k;	g(t) = (x ¡ t)n+1:
		k!
	'(t) = f(x) ¡ f(t) ¡
	=1

С помощью (6), (7) можно убедиться в том, что '(x0) = Rn(x) ; '(x) = 0 : Кроме того, g(x) = 0 :

Найд¼м производную первой из вспомогательных функций. Это некоротко.

'0(t) = ¡f0(t) ¡ Ã

n

k)

!0

f( (t)

(x ¡ t)k

=

=1

k!

t

µf

Xk

n

+1)

k)

= ¡f0(t) ¡ k=1

(k k!

(t)(x ¡ t)k + f(k!(t) ¢ k ¢ (x ¡ t)k¡1 ¢ (¡1)¶ =

X

n

µ¡

f(k+1) t

f

(k) t)

(x ¡ t)k¡1¶ =

= ¡f0(t) + k=1

k! ( )(x ¡ t)k +

(k

(1)!

X

¡

(в разв¼рнутом виде)

=¡f0(t) +

+µ¡f(2)(t)(x ¡ t)1 + f(1)(t)(x ¡ t)0¶+ 1! 0!

+ µ¡	f	(3)		(2)			(x ¡ t)1¶+
		(t)	(x ¡ t)2 +		f	(t)
		2!				1!
+ µ¡f 3!(t)			(x ¡ t)3 +		f	2!(t)		(x ¡ t)2¶	+
		(4)			(3)
			+ ¢ ¢ ¢	+

19

+

µ¡(n

(1)!(x ¡ t)n¡1

+

(n ¡ 2)!

(x ¡ t)n¡2

¶+

f(n) t)

f(n 1)(t)

+ µ¡

¡

¡

¶

f(n+1) t

f(n) t)

( )

(x ¡ t)n +

(

(x ¡ t)n¡1

=

n!

(n 1)!

¡

= ¡f(n+1)(t)(x ¡ t)n : n!

Члены, выделенные одинаковыми цветами, взаимно уничтожаются.

Найд¼м производную второй из вспомогательных функций. Это коротко.

g0(t) = (n + 1) ¢ (x ¡ t)n ¢ (¡1):

Согласно теореме Коши, на промежутке с концами x0 ; x существует такое значение c; ÷òî

'(x) ¡ '(x0)

=

'0(c)

;

g(x) ¡ g(x0)

g0(c)

¡

f(n+1)(c)

¢ (x ¡ c)n

0

¡

R

(x)

n!

n

=

;

0 ¡ (x ¡ x0)

n+1

n

¡(n + 1) ¢ (x ¡ c)

Rn(x)

=

f(n+1)(c)

;

n+1

n! ¢ (n + 1)

(x ¡ x0)

f(n+1)(c)

¢ (x ¡ x0)n+1 :

Rn(x) =

(n + 1)!

Доказательство закончено.

Замечание Существуют вариант формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

n	f(k)(x0)
Xk			(x ¡ x0)k + o((x ¡ x0)n) ;	(9)
f(x) =	k!
=0

20