Литература и лекции / MathAn20180303
.pdfи в форме Коши
f(x) = |
n |
f(k)(x0) |
(x |
x )k + |
f(n+1)(x0 + µ ¢ (x ¡ x0)) |
(1 |
|
µ)n(x |
x )n+1; (10) |
|
|
|
|
||||||
|
Xk |
¡ 0 |
n! |
¡ |
|
¡ 0 |
|||
|
=0 |
k! |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå 0 < µ < 1 :
Замечание
Частный случай формулы Тейлора при x0 = 0 носит название формулы Макло-
ðåíà: |
Xk |
f(k)(0) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
¢ xk + o(xn): |
|
||
|
f(x) = |
|
|
(11) |
|
|
k! |
||||
|
=0 |
|
|
|
|
Важное практическое значение имеют формулы Маклорена для элементарных функций:
ex = exp(x) = 1 + x + |
x2 |
+ |
x3 |
+ |
|
x4 |
+ : : : + |
|
|
xn |
|
+ o(xn) ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
3! |
|
4! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x3 |
|
x5 |
|
|
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n¡1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
sin(x) = x ¡ |
|
|
+ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
+ : : : + (¡1)n¡1 ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
+ o(x2n) ; |
|||||||||||||||||||||||||||
3! |
|
|
5! |
7! |
|
(2n |
¡ |
1)! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
+ (¡1)n ¢ |
|
x2n |
|
|
+ o(x2n+1) ; |
|
||||||||||||||||||||||||
cos(x) = 1 ¡ |
|
|
+ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
+ : : : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
4! |
6! |
(2n)! |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 + x)m = 1 + m |
¢ |
x + |
m(m ¡ 1) |
|
¢ |
x2 + |
m(m ¡ 1)(m ¡ 2) |
¢ |
x3 |
+ : : : + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|||||||||
+ |
m(m ¡ 1)(m ¡ 2) : : : (m ¡ n + 1) |
¢ |
xn + o(xn) : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
xn |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||
ln(1 + x) = x ¡ |
|
|
|
+ |
|
¡ |
|
|
+ : : : + (¡1) |
¢ |
|
+ o(x |
) ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
3 |
4 |
n |
|
|
|
Замечание Члены, предшествующие остаточному члену, логично называть главными.
Каждый из главных членов можно вычислить точно, тогда как в остаточном члене присутсвует значение c , найти которое точно не представляется возможным.
Самое интересное, что искать его и не нужно.
21
На практике формулы Маклорена (и Тейлора) применяются с сохранением "нужного" количества главных членов и с отбрасыванием остаточного члена. Что такое "нужное" количество, станет ясным после изучения темы "степенные ряды".
Рассмотрим функции
|
x3 |
|
x3 |
x5 |
|
x3 |
x5 |
x7 |
||||||
f2(x) = x ¡ |
|
; |
f3(x) = x ¡ |
|
+ |
|
; |
f4(x) = x ¡ |
|
+ |
|
¡ |
|
; |
6 |
6 |
120 |
6 |
120 |
5040 |
где индекс k функции fk(x) есть количество взятых из формулы Маклорена для f(x) = sin x главных членов. Изобразим на Рис. 3 графики функций y = fk(x) совместно с графиком функции y = sin x :
Ðèñ. 3
Графики показывают, что сумма главных членов формулы Маклорена тем точ- нее представляет функцию sin x, чем больше слагаемых сохранено в этой сумме.
Определение выпуклости функции (классическое) Пусть f : R ! R:
Функция f(x) выпукла вверх на промежутке (a; b) ; åñëè 8x1; x2 2 (a; b) ; 8¸ 2 (0; 1) можно доказать справедливость неравенства
f(¸x1 + (1 ¡ ¸)x2) > ¸f(x1) + (1 ¡ ¸)f(x2) : |
(12) |
Функция f(x) выпукла âíèç на промежутке (a; b) ; åñëè 8x1; x2 2 (a; b) ; 8¸ 2 (0; 1) можно доказать справедливость неравенства
22
f(¸x1 + (1 ¡ ¸)x2) < ¸f(x1) + (1 ¡ ¸)f(x2) : |
(13) |
Замечание Если параметр ¸ пробегает все вещественные значения от 0 äî 1 ; то выражение
¸x1 + (1 ¡ ¸)x2 в левой части (11) è (12) пробегает все значения от x1 äî x2 : Это означает, что точка с координатами (¸x1+(1¡¸)x2; f(¸x1+(1¡¸)x2)) ; при изменении ¸ îò 0 äî 1 ; перемещается ("скользит") вдоль графика функции y = f(x) (Ðèñ. 4).
Если параметр ¸ пробегает все вещественные значения от 0 äî 1 ; то выражение ¸f(x1) + (1 ¡ ¸)f(x2) в правой части (11) è (12) пробегает все значения от f(x1) äî
f(x2) :
Это означает, что точка с координатами (¸x1 + (1 ¡ ¸)x2; ¸f(x1) + (1 ¡ ¸)f(x2)) ; при изменении ¸ îò 0 äî 1, перемещается ("скользит") вдоль отрезка прямой, соединяющего точки с координатами (x1; f(x1)) ; (x2; f(x2)) (Ðèñ. 4).
Геометрический смысл (Рис. 4(а)) выпуклости вверх на промежутке (a; b) таков: линия графика функции y = f(x) на промежутке (x1; x2) проходит строго âûøå хорды, соединяющей точки (x1; f(x1)) ; (x2; f(x2)) ; прич¼м, это справедливо
8x1; x2 2 (a; b) :
Геометрический смысл (Рис. 4(б)) выпуклости âíèç на промежутке (a; b) таков: линия графика функции y = f(x) на промежутке (x1; x2) проходит строго íèæå хорды, соединяющей точки (x1; f(x1)) ; (x2; f(x2)) ; прич¼м, это справедливо
8x1; x2 2 (a; b) :
23
(à) |
(á) |
|
Ðèñ. 4 |
Слушателям следует обратить внимание на то, что здесь не используется понятие "выпуклость" (без указания, куда именно) и понятие "вогнутость". Таким понятиям в сети Интернет даются, порой, прямо противоположные толкования, а нам это ни к чему.
Замечание Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение прямой, проходящей
через точки (x1; y1), (x2; y2), имеет вид (x ¡ x1)=(x2 ¡ x1) = (y ¡ y1)=(y2 ¡ y1), èëè y = (y2 ¢ (x ¡ x1) ¡ y1 ¢ (x ¡ x2)=(x2 ¡ x1). Применительно к Рис. 4 это уравнение принимает вид y = L(x), ãäå
L(x) = f(x2) ¢ (x ¡ x1) ¡ f(x1) ¢ (x ¡ x2) : x2 ¡ x1
Определение выпуклости функции (альтернативное) Пусть f : R ! R.
Функция f(x) выпукла вверх на промежутке (a; b), åñëè 8x1; x2 2 (a; b), 8x 2 (x1; x2) можно доказать справедливость неравенства
24
f(x) ¡ L(x) > 0 ; |
(14) |
означающего, что график функции f(x) на промежутке (x1; x2) всюду âûøå графика функции L(x).
Функция f(x) выпукла âíèç на промежутке (a; b), åñëè 8x1; x2 |
2 (a; b), |
8x 2 (x1; x2) можно доказать справедливость неравенства |
|
f(x) ¡ L(x) < 0 ; |
(15) |
означающего, что график функции f(x) на промежутке (x1; x2) всюду íèæå графика функции L(x).
Замечание Можно строго доказать (но мы делать этого не будем), что классическое и аль-
тернативное определения выпуклости вверх / âíèç эквивалентны. Альтернативное определение облегчает доказательство следующей теоремы.
Теорема о достаточном условии выпуклости вверх / âíèç
Пусть f : R ! R. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема во всех точках промежутка (a; b).
Тогда
åñëè f00(x) < 0, 8x 2 (a; b), òî f(x) выпукла вверх на промежутке (a; b); åñëè f00(x) > 0, 8x 2 (a; b), òî f(x) выпукла âíèç на промежутке (a; b).
Доказательство будет построено только для случая выпуклости вверх è äëÿ x1 < x2 .
Пусть f00(x) < 0, 8x 2 (a; b).
Возьм¼м произвольные x1, x2 такие, что a < x1 < x2 < b. Пусть x 2 (x1; x2). Нужно доказать неравенство (11), òî åñòü f(x) ¡ L(x) > 0. Èòàê,
f(x) |
|
L(x) = f(x) |
x2 ¡ x1 |
|
f(x2) ¢ (x ¡ x1) ¡ f(x1) ¢ (x ¡ x2) |
= |
¡ |
¢ x2 ¡ x1 |
¡ |
|
|||
|
|
x2 ¡ x1 |
25
|
= f(x) |
¢ |
|
(x ¡ x1) ¡ (x ¡ x2) |
¡ |
|
f(x2) ¢ (x ¡ x1) ¡ f(x1) ¢ (x ¡ x2) |
= |
|
|
||||
|
x2 ¡ x1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ x1 |
|
|||||||
= |
(f(x) ¢ (x ¡ x1) ¡ f(x2) ¢ (x ¡ x1)) ¡ (f(x) ¢ (x ¡ x2) ¡ f(x1) ¢ (x ¡ x2)) |
= |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ x1 |
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
(x ¡ x1) (f(x) ¡ f(x2)) ¡ (x ¡ x2) (f(x) ¡ f(x1)) |
= |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ x1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
(x2 ¡ x) (f(x) ¡ f(x1)) ¡ (x ¡ x1) (f(x2) ¡ f(x)) |
: |
(16) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ x1 |
|
|
|
|
|
|
По теореме Лагранжа существует c1 2 (x1; x) такое, что
f(x) ¡ f(x1) = f0(c1) ¢ (x ¡ x1) :
По теореме Лагранжа существует c2 2 (x; x2) такое, что
f(x2) ¡ f(x) = f0(c2) ¢ (x2 ¡ x) :
Продолжим цепь преобразований (16):
|
|
f(x) |
¡ |
L(x) = (x2 ¡ x) (f(x) ¡ f(x1)) ¡ (x ¡ x1) (f(x2) ¡ f(x)) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
(x2 ¡ x) ¢ f0(c1) ¢ (x ¡ x1) ¡ (x ¡ x1) ¢ f0(c2) ¢ (x2 ¡ x) |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
(x ¡ x1)(x2 |
¡ x) |
|
¢ |
(f0(c |
) |
|
¡ |
|
f0(c |
)) = |
¡ |
(x ¡ x1)(x2 ¡ x) |
|
¢ |
(f0(c |
) |
¡ |
f0 |
(c |
)) : (17) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 ¡ x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ x1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Очевидно, что c1 < c2. По теореме Лагранжа существует c0 2 (c1; c2) такое, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0(c2) ¡ f0(c1) = f00(c0) ¢ (c2 ¡ c1) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Продолжим цепь преобразований (16) (17): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f(x) |
¡ |
L(x) = |
¡ |
(x ¡ x1)(x2 |
¡ x) |
¢ |
(f0(c |
) |
¡ |
|
f0(c |
)) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ¡ x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
¢ |
|
|
2 ¡ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
}|(x2{ zx1)}| { ¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
(x ¡ x1) ¢ (x2 |
¡ x) |
f00(c |
) |
|
(c |
{z |
c |
) > 0 : |
|
|
|
|
|
|
(18) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
| {z } |
|
| |
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
<0 |
|
|
|
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
Доказательство закончено.
Определение
Пусть f : R ! R.
Пусть функция f(x) непрерывна и дифференцируема в точке x0.
Пусть 9 ± > 0 такое, что функция f(x) имеет одно направление выпуклости 8 x 2 (x0 ¡ ±; x0), и прямо противоположное направление выпуклости
8 x 2 (x0; x0 + ±).
Тогда точка x0 называется точкой перегиба.
Теорема о стабилизации знака
Пусть F : R ! R. Пусть lim F (x) = A :
x!x0
Пусть A > 0 : Тогда 9 ±1 > 0 такое, что F (x) > 0 ; 8x 2 (x0 ¡±1 ; x0 +±1) : Пусть A < 0 : Тогда 9 ±1 > 0 такое, что F (x) < 0 ; 8x 2 (x0 ¡±1 ; x0 +±1) :
Доказательство да¼тся только для случая A > 0 :
По определению предела, равенство lim F (x) = A означает, что 8" > 0
x!x0
9 ±(") > 0 такое, что из неравенства jx ¡ x0j < ±(") можно доказать справедливость неравенства jF (x) ¡ Aj < " :
В частности, при " = A=2 > 0 ; |
9 ±1 = ±(A=2) > 0 такое, что |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
||
jx ¡ x0j < ±1 |
=) jF (x) ¡ Aj < |
|
; |
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
или, что то же самое, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
A |
|
|
||||
x 2 (x0 ¡ ±1 ; x0 + ±1) |
=) ¡ |
|
< F (x) ¡ A < |
|
|
: |
(19) |
|||||
2 |
2 |
|||||||||||
Ко все частям неравенства (19) прибавим число A : |
|
|
|
|
|
|||||||
x 2 (x0 ¡ ±1 ; x0 + ±1) =) ¡ |
A |
+ A < F (x) < |
A |
|
+ A ; |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
2 |
|
|
27
|
|
|
x 2 (x0 ¡ ±1 ; x0 + ±1) =) 0 < |
A |
< F (x) : |
(20) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
||||
Следование (20) доказывает утверждение теоремы. |
|
|
||||||
Теорема |
о необходимом условии перегиба |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть f : R ! R. Пусть: |
|
|
|
|
|
||
1) |
9 |
± > 0 такое, что f(x) дважды дифференцируема 8 x 2 (x0 ¡±; x0 + ±); |
||||||
2) |
f |
00(x) непрерывна в точке x0 ; |
|
|
|
|
|
|
3) |
f |
(x) имеет перегиб в точке x0 . |
|
|
|
|
|
Тогда f00(x0) = 0.
Доказательство вед¼тся методом от противного.
Предположим, что f00(x0) 6= 0. Пусть, например, f00(x0) > 0. Функция f00(x) непрерывна в точке x0 , следовательно, lim f00(x) = f00(x0) > 0 : Тогда, по теореме о стабилизации знака, 9 ±1 > 0 такое, что
f00(x) > 0; 8x 2 (x0 ¡ ±1; x0 + ±1) : |
(21) |
Наличие перегиба в точке x0 означает, что выпуклость функции f(x) слева и справа от x0 прямо противоположна.
Вместе с этим, существование второй производной в окрестности (x0 ¡ ±; x0 + ±)
означает, по теореме о достаточном условии выпуклости, что эта вторая производная имеет противоположные знаки слева и справа от x0 : Но тогда становится невозмож-
ной предусмотренная в (21) положительность f00(x) слева и справа от x0 : Полученное противоречие отвергает возможность неравенства f00(x0) > 0 : Àíà-
логично доказывается и невозможность неравенства f00(x0) < 0 :
Доказательство закончено.
Теорема о достаточном условии перегиба Пусть f : R ! R. Пусть:
28
1) |
9 ± > 0 такое, что f(x) дважды дифференцируема 8 x 2 (x0 ¡±; x0 + ±); |
||
2) |
f00(x) |
< |
0, 8x 2 (x0 ¡ ±; x0) è f00(x) > 0, 8x 2 (x0; x0 + ±) , ëèáî, |
наоборот, |
f |
00(x) > 0, 8x 2 (x0 ¡ ±; x0) è f00(x) < 0, 8x 2 (x0; x0 + ±) (òî |
есть, вторая производная меняет знак при переходе через точку x0) Тогда в точке x0 функция f(x) имеет перегиб.
Доказательство предоставляется слушателям.
Теорема о втором достаточном условии локального минимума функции в точке
Пусть f : R ! R. Пусть: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) f(x) дважды дифференцируема на промежутке (x0 ¡±; x0 +±) |
(òî åñòü, |
||||||||||||||||||||||||||||
â |
± окрестности точки x0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2) |
|
f0(x0) = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) f00(x) > 0, 8x 2 (x0 ¡ ±; x0 + ±). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f(x) достигает локального минимума в точке x0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
2 (x0 ¡ ±; x0) . По теореме Лагранжа, 9 c1 |
2 (x1; x0) |
|||||||||||||||||||||
Возьм¼м произвольное x1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
такое, что f0(x0) ¡ f0(x1) = f00(c1)(x0 ¡ x1). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
f0(x0) ¡ f0(x1) = f00(c1) ¢ (x0 ¡ x1) =) ¡f0(x1) > 0 =) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
>0 |
|
|
}x |
|
|
|
|
|
|
|
|
| {z } |
=) |
|
|f{z0 x} |
<| {z; |
|
1 2 ( |
x |
0 ¡ |
±; x |
0) |
: |
|
(20) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
( 1) |
0 |
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||
Возьм¼м произвольное x2 |
2 (x0; x0 + ±) . По теореме Лагранжа, 9 c2 |
2 (x0; x2) |
|||||||||||||||||||||||||||
такое, что f0(x2) ¡ f0(x0) = f00(c2)(x2 ¡ x0). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
f0(x2) ¡ f0(x0) = f00(c2) ¢ (x2 ¡ x0) =) |
f0(x2) > 0 ; |
8x2 2 (x0; x0 + ±) : |
(21) |
||||||||||||||||||||||||||
|
=0 |
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
| |
{z |
|
} |
| |
{z |
} |
| |
|
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратимся к теореме о первом достаточном условии локального минимума в точ-
29
ке. Все четыре условия теоремы выполнены, в частности, третье и четв¼ртое условия соблюдены в силу (17) è (18).
Доказательство закончено.
Замечание Сформулировать и доказать теорему о втором достаточном условии существова-
ния локального максимума функции в точке слушателям предстоит самостоятельно.
30