Литература и лекции / Series

Пример 11 Доказать, что Гармонический Ряд

X+1 1

n=1 n расходится.

Решение Рассмотрим несобственный интеграл 1 го рода

Z

x

¢ = b!+1 Z

x b!+1 Ã

¯1!

b!+1

¡

1

+1

1

b

¯

b

1

1

dx = lim ln x

=

lim

(ln b

0) = + :

dx lim

¯

¯

Интеграл расходится, следовательно, по интегральному признаку Коши, ряд также расходится.

Пример 12

+1 1

X

Доказать, что числовой ряд n=1

np

сходится, если p > 1 (òî åñòü, p ¡ 1 > 0).

Решение

Рассмотрим несобственный интеграл 1 го рода

¢ b!+1

¡xp¡1

¯1

Z

xp

b!+1

Z

xp

b!+1

¡(p 1) xp¡1

¯1 = p 1

¶

+1

1

b

¡

¢

¯

b

¡

¯

b

1

dx =

lim

dx

= lim

1

lim

1

=

¯

¯

¯

¯

=

1

lim

1

+ 1

=

1

01

lim

1

1

=

1

:

p ¡ 1

µ¡bp¡1

p ¡ 1

p ¡ 1

¢ b!+1

¶

¢ B

¡ b!+1 bp¡1 C

B

=0

C

@

|

{z

}A

Интеграл при p ¡ 1 > 0 сходится, следовательно, по интегральному признаку Коши, ряд также сходится.

Пример 13 Доказать, что числовой ряд

X+1 1

n=1 np ðàñходится, если p < 1 (òî åñòü, 1 ¡ p > 0).

Решение Рассмотрим несобственный интеграл 1 го рода

11

Z+1

dx = lim

xp b!+1

1

1 = 1 ¡ p

Z

b

µ

¶

¯

b

¯

1

dx =

¡

1

¢

¡

b

lim

=

lim

=

1

x1¡p

¯

¯

xp

b!+1

¡

(p 1) xp¡1

¯1

1 p

¢ b!+1

1

¯

¢ b!+1 ¡

¡

¢

1 ¡ p

¢ Bb!+1

¡

C

1

1

B

C

lim b1¡p

1 =

0 lim b1¡p

11

= +

:

@|

{z

}

A

=+1

Интеграл при p ¡ 1 < 0 сходится, следовательно, по интегральному признаку Коши, ряд также сходится.

Пример 14 Найти сумму числового ряда

+1	1
X		с погрешностью не более " = 10¡5.
n=1	n3

Решение Ряд сходится в соответствии с результатом Примера 12. Представим искомую

сумму ряда в виде

+1

N

+1

1

1

1

X

X

n X

3

=

3 +

3 :

(5)

n=1

n

n=1

n

=N+1

n

Нами введено обозначение

|

}

={zN

R

+1

1

n X

RN =

3 ;

=N+1

n

величину RN принято называть остатком ряда ("хвостом"). Если при вычислении суммы ряда (5) остаток ряда отбросить (что всегда и делается), то будет допущена погрешность, равная этому остатку. Найти точно величину RN не получится, но воз- можно обеспечить, чтобы она была меньше " (то есть, гарантировать неравенство

RN < ").

12

Рассмотрим интеграл

Z

Z

b

µ

¶

b

µ

¶

+1

dx

lim

lim

1

= lim

1

1

1 : (6)

dx

¯

x3 =b!+1 x3

=b!+1 ¡

2x2

¯

b!+1 ¡2b2 + 2

N2

= 2N2

N

¯N

¢

N

¯

Взглянем на этот же интеграл чуть с другой стороны. Воспользуемся свойством аддитивности интеграла:

Z

x3 =

Z

x3 ¢ dx +

Z

x3 ¢ dx +

Z

x3 ¢ dx + Z

x3 ¢ dx + : : : =

+1

N+1

N+2

N+3

N+4

dx

1

1

1

1

N

N

¸|{z}

N+1

¸|{z}

N+2

¸|{z}(

N+3

¸|{z}

1

1

1

1

Z

(N+1)3

Z

(N+2)3

Z

N+3)3

Z

(N+4)3

=

x3 ¢ dx +

x3

¢ dx +

x3

¢ dx +

x3 ¢ dx + : : : >

N+1

N+2

N+3

N+4

1

1

1

1

N

N+1

N+2

N+1

|

{z

}

|

} |

{z

} |

{z

}

¢

1

(N{z

¢

¢

¢

>

1

>

1

1

>

1

1

>

1

1

(N+1)

+2)

(N+3)

(N+4)

1

1

1

1

+1

1

n X

>

(N + 1)

3

+

(N + 2)

3 +

3 +

(N + 4)

3 + : : : =

3 = RN :

(N + 2)

=N+1

n

Таким образом, из (6) è (7) имеем

1

RN < 2N2 :

Решим относительно N неравенство

1

() N2 >

1

1

1

< "

() N >

p

() N >

p

= 223:607 :

2N2

2"

2"

2 ¢ 10¡5

(7)

(8)

(9)

Таким образом, при N = 224 будет выполнено требование (9), а значит, и требование RN < ", и в результате сумма

X224 1

n=1 n3 = 1:2020469826 ;

вычисленная в wolframalpha.com с помощью команды Sum[1/n^3, fn, 1, 224g], è íà

13

самом деле будет отличаться менее, чем на " = 10¡5 от более точной суммы

X+1 1

n=1 n3 = 1:2020569032 ;

вычисленной с помощью команды Sum[1/n^3, fn, 1, In nityg].

Знакопеременными принято называть числовые ряды, слагаемые которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Нулевые слагаемые также допускаются.

Определение

		+1	+1
	Знакопеременный числовой ряд	X
		an абсолютно сходится,
		n=1	X
	если сходится знакопостоянный числовой ряд
			janj :

n=1

Замечание Вытекание сходимости ряда из абсолютной его сходимости пока что не доказано.

Определение

		+1	+1
			X
Если знакопеременный числовой ряд			an сходится,
	+1	X	n=1
а числовой ряд		janj расходится, то принято говорить,
	X	n=1
÷òî ðÿä
	an	условно сходится.

n=1

Теорема об абсолютной сходимости ряда Если числовой ряд абсолютно сходится, то он сходится.

+1		+1
X	janj сходится, òî è ðÿä	X
Иными словами: если ряд		an сходится.
n=1		n=1

14

Доказательство Введ¼м вспомогательную функцию

º(x) = ½ 0;	x	¸	0	¯	:
				¯
1;	x <		0	¯
				¯

Любое вещественное число x (и положительное, и отрицательное, и равное нулю) может быть представлено в виде x = jxj + 2xº(x) :

Кроме того, несложно доказать справедливость двойного неравенства

0 · (¡x)º(x) · jxj :

an = janj + 2anº(an) : Следовательно,		+1
		X
Каждый член знакопеременного ряда		an	может быть представлен в виде
		n=1
+1	+1	+1	+1
X	X	X	X
an =	(janj + 2anº(an)) = 1 ¢	janj + (¡2) ¢ (¡an)º(an) :
n=1	n=1	n=1	n=1

Ðÿä X+1 janj сходится по условию теоремы.

n=1

Ðÿä X+1(¡an)º(an) сходится по первому признаку сравнения со сходящимся

n=1

рядом X+1 janj ; òàê êàê 0 · (¡an)º(an) · janj :

n=1

Таким образом, ряд рядов.

Доказательство закончено.

X+1

an сходится, как линейная комбинация сходящихся

n=1

Знакочередующимися принято называть числовые ряды, представимые в виде

+1	+1
X	X
(¡1)n ¢ an ; ëèáî â âèäå	(¡1)n¡1 ¢ an ; ãäå an > 0 ; 8n 2 N:
n=1	n=1

15

+1		+1
X	(¡1)n ¢ an è	X
Очевидно, что ряды		(¡1)n¡1 ¢ an имеют противоположные
n=1		n=1

знаки каждого из своих слагаемых, поэтому из сходимости второго из них следует сходимость первого (например, по теореме о линейной комбинации сходящихся рядов); а из сходимости первого вытекает сходимость второго.

Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда

Пусть числовая последовательность fangn2N подчиняется требованиям:

1.

2.

an > 0 ; 8n 2 N:

lim an = 0 :

n!+1

3. an > an+1 ; 8n 2 N:

+1

X

Тогда ðÿä

(¡1)n¡1 ¢ an

сходится.

n=1

Доказательство

+1

2m

X

Рассмотрим ч¼тную по номеру частичную сумму для ряда

(¡1)n¡1 ¢ an ; òî

X

n=1

(¡1)n¡1 ¢ an .

есть, величину S2m =

n=1

С одной стороны,

S2m = (a1 ¡ a2) + (a3 ¡ a4) + : : : + (a2m¡1 ¡ a2m) ;

S2(m+1)

= (a1 ¡ a2) + (a3

¡ a4) + : : : + (a2m¡1

¡ a2m) + (a2m+1

¡ a2m+2) > S2m ;

òî åñòü,

|

{z

}

|

{z

}

=S2m

>0

последовательность чисел

fS2mgm2N

монотонно возрастает с ростом

m :

С другой стороны,

S2m = a1 ¡ (a2 ¡ a3) ¡ (a2 ¡ a3) ¡ : : : ¡ (a2m¡2 ¡ a2m¡1) ¡ a2m

< a1 ;

>0

>0

>0

|{z}

|

{z

}

|

{z

}

|

{z

}

>0

16

(так как из числа a1 вычитаются строго положительные числа), то есть, последовательность чисел fS2mgm2N ограничена сверху значением a1 :

По первой теореме Вейерштрасса, возрастание и ограниченность сверху последовательности fS2mgm2N означает, что существует и конечен предел этой последова-

тельности, то есть	lim	S	2m	= S < +	1	:
	9 m!+1

Мы доказали, что существует и равен некоему конечному числу S предел по-

следовательности частичных сумм с ч¼тными количествами слагаемых. Осталось доказать, что предел последовательности частичных сумм с íåч¼тными количествами

слагаемых равен тому же числу S : Действительно,

lim

S

2m¡1

= lim

(S

2m ¡

a

2m

) =

lim S

lim a

2m

= S :

m!+1

m!+1

m!+1

2m ¡ m!+1

|

{z

} |

{z

}

=S

=0

Доказательство закончено.

Замечание Рассмотрим знакочередующийся ряд

X+1

(¡1)n¡1 :

n=1

Для последовательности частичных сумм с ч¼тными количествами слагаемых

S

2m = (1 ¡ 1) + (1 ¡ 1) +

: : :

=

lim

S

2m

= 0 :

+ (1 ¡ 1) + (1 ¡ 1) = 0 )

m!+1

|

{z

}

|

{z

}

|

{z

}

|

{z

}

=0

=0

=0

=0

Для последовательности частичных сумм с íåч¼тными количествами слагаемых

S

= (1

1) + (1 ¡ 1) +

: : :

+ (1

lim S

= 1 :

2m¡1

¡

¡

1) + 1 = 1 =) m!+1

2m¡1

| {z } | {z 2}m

| {z2m

}1

=0

=0

=0

Таким образом,

lim S

= lim S

¡

; что означает отсутствие сходимости

m

!

+

1

6 m

+

1

!

+1

X

(отсутствие предела последовательности частичных сумм) для ряда

(¡1)n¡1 :

n=1

17

Обсуждаемый ряд не подчиняется второму и третьему требованиям теоремы Лейбница.

	Пример 15	+1
	Исследовать на сходимость числовой ряд		(¡1)n¡1			:
		X
			2n	¡	1
		n=1

Решение

Ряд является знакочередующимся, an = 2n1¡1 ; все три условия теоремы Лейбница для него выполнены, следовательно, ряд сходится.

Позже, в Примере 20, будет показано, что сумма данного ряда равна ¼=4 . Для исследования абсолютной сходимости данного ряда следует определиться

+1

1

рядом:

X

: Сравним ряд с гармоническим

¡

со сходимостью знакопостоянного ряда

n=1 2n

1

1

n

1

=

1

:

lim

2n ¡ 1

=

lim

=

lim

1

n!+1

1

n!+1 2n ¡ 1

n!+1

2 ¡ n

2

+1

1

n

X

Гармонический ряд

+1

n=1 n расходится (это доказано в Примере 11), следовательно,

1

ðÿä

2n

¡

1 также расходится по второму признаку сравнения.

n=1

X

+1

( 1)n¡1

X

Таким образом, числовой ряд

¡

¡

сходится условно.

n=1

2n 1

18

Определение Функциональный ряд это совокупность двух последовательностей:

основной последовательности функций fun(x)gn2N , un(x) : R ! R;

вспомогательной последовательности fSn(x)gn2N частичных функцио-

нальных сумм, содержащих элементы основной последовательности:

S1(x) = u1(x) , S2(x) = u1(x) + u2(x) , S3(x) = u1(x) + u2(x) + u3(x) , : : : ; Sk(x) = u1(x) + u2(x) + u3(x) + : : : + uk(x) , : : : :

Обозначение: X+1 un(x) :

n=1

Если существует множество X ½ R такое, что 8x 2 X существует и

конечен предел lim	S	(x) = S(x), è ÷òî	x X предел	lim S	(x)
k!+1	k		8 62	k!+1 k

бесконечен либо не существует, принято говорить, что множество X åñòü область сходимости функционального ряда, а функция S(x) åñòü сумма функционального ряда.

Определение

Функциональный ряд степенным рядом.

X+1

F (x) = a0 + an ¢ (x ¡ x0)n принято называть

n=1

Теорема о радиусе сходимости степенного ряда Существует значение r ¸ 0 такое,

	+1
	X
что степенной ряд F (x) = a0 +	an ¢ (x ¡ x0)n
	n=1
сходится 8x 2 (x0 ¡ r; x0 + r),	(òî åñòü, ïðè jx ¡ x0j < r)

è, åñëè r < +1, расходится ïðè jx ¡ x0j > r.

19

Число r

принято называть радиусом сходимости степенного ряда.

Имеют силу формулы для радиуса сходимости:

r

lim

an

=

1

¯an+1

¯

an+1

(формула Даламбера),

= n!+1

¯

¯

lim

an

¯

¯

n!+1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

r =

1

¯

¯

lim

n

a

nj

(формула Коши).

n!+1 pj

Без доказательства.

Замечание

Åñëè r = 0; то степенной ряд "сходится" только при x = x0. Например, ряд

	+1
	X
F (x) =	n! ¢ xn
	n=1
"сходится" только при x = 0.
Степенные ряды, у которых r = 0;	могут быть только искусственно выдуманы.

Такие ряды не являются продуктами решения реальных практических задач.

Определение

Cтепенной ряд вида

T (x; x0) = f(x0) + X+1 f(nn)(!x0) ¢ (x ¡ x0)n

n=1

принято называть рядом Тейлора для функции f(x) в точке x0 .

Определение

Cтепенной ряд вида M(x) = f(0) + X+1 f(n)(0) ¢ xn

n=1

n!

принято называть рядом Маклорена для функции f(x).

20