Литература и лекции / Series

Теорема о ряде Тейлора (Маклорена)

Пусть T (x; x0) ряд Тейлора для функции f(x) ; и пусть X область

сходимости ряда Тейлора.

Тогда T (x; x0) = f(x); 8x 2 X:

Пусть M(x) ряд Маклорена для функции f(x) ; и пусть X область

сходимости ряда Маклорена.

Тогда M(x) = f(x); 8x 2 X:

Без доказательства.

Пример 16

Найти радиус сходимости ряда Маклорена для функции f(x) = exp(x):

	x1 x2 x3 x4								+1	1
M(x) = 1 +		+		+		+		+ : : : = 1 +	X		¢ xn :
	1!		2!		3!		4!		n=1	n!
Решение
Применяем формулу Даламбера:

1

an

¯

n +

1

1

¯

r =

n!+1 ¯

=

¯

=

¯

¯

! 1

¯

n!

¯

¯

an+1

¯

¯

1

¯

lim

lim

(n+1)!

¯

¯

¯

¯

(n + 1)!¯

¯

= lim

=

lim

n!

n!+1

n!+1

1

= lim

1

=

n!

n!

lim

n!+1

(n + 1)!

(n + 1)!

n!+1

n! ¢ n

=

lim

n = +

:

n!

n

+

1

1

!

Полученный результат означает, что ряд Маклорена для функции f(x) = ex = exp(x) сходится для 8x 2 (¡1; +1), то есть, ряд сходится при любом вещественном x.

Пример 17

Найти радиус сходимости ряда Маклорена для функции f(x) = cos(x):

M(x) = 1

x2

+ x4

x6

+ : : : =

y = x2

¤

= 1 +

+1

(¡1)m

ym :

(10)

¡

¡

£

X

¢

2!

4!

6!

m=1

(2m)!

21

Решение Поскольку все члены в данном ряде Маклорена содержат только ч¼тные степени

x, cовершаем замену переменной x2 = y. Радиус сходимости для новой переменной

y :

r =

1

=

lim

(2m + 2)!

=

lim

(2m)! ¢ (2m + 1)(2m + 2)

=

¯

¯

lim

¯

(¡1)m+1

¯

m!+1

(2m)!

m!+1

(2m)!

! 1

¯

¡

¯

¯

¯

¯

(2m)!

¯

m +

¯

( 1)m

¯

¯

¯

¯

¯

¯

=¯

lim (2m + 1)(2m + 2) = +

1

:

m

+

1

!

Результат означает, что ряд (10) сходится 8y 2 (¡1; +1). Поскольку 8x 2 (¡1; +1) можно утверждать, что x2 2 (¡1; +1), è äàæå x2 2 [0; +1), получается, что при любом вещественном x обсуждаемый ряд (10) сходится.

Замечание

Ряды Маклорена для функций f(z) = exp(z) ; f(z) = cos(z) ; f(z) = sin(z)

сходятся не только для всех вещественных z , íî è для всех комплексных z .

Пример 18

Найти область сходимости ряда Маклорена для функции f(x) = ln(1 + x):

M(x) = x1 x2

+ x3 x4

+ : : : =

+1

(¡1)n¡1

xn :

(11)

¡

¡

X

¢

1

2

3

4

n=1

n

Решение Применяем формулу Даламбера:

r =

1

=

1

=

1

= lim

n + 1

= 1 :

¯

an+1

¯

! 1

¯

n

n

¯

n

n!+1 n

¯

¯

¯

(¡1)

¯

lim

n+1

lim

¯

an

¯

lim

¯

¯

n!+1 ¯

¯

n +

¯

(¡1)n¡1

¯

n!+1 n + 1

¯

¯

Полученный результат означает, что ряд Маклорена для функции f(x) = ln(1 + x)

22

сходится при x 2 (¡1; +1).

Из теоремы о радиусе сходимости степенного ряда следует, что ряд (11) расходится ïðè x < ¡1 è ïðè x > +1.

Осталось разобраться со сходимостью при x = §1 :

Ïðè x = 1 ряд Маклорена обращается в знакочередующийся числовой ряд,

M(1) = 1	1 + 1				1 + : : : =			+1	(¡1)n¡1	;
	¡				¡			X
		2		3		4		n=1	n

который сходится по теореме Лейбница.

Ïðè x = ¡1 ряд Маклорена обращается в знакопостоянный числовой ряд,

M(¡1) = ¡1 ¡ 12 ¡ 13 ¡ 14 ¡ : : : = ¡ X+1 n1 ;

n=1

который расходится, так как отличается лишь знаком "минус" от расходящегося гармонического ряда (Пример 11).

В итоге, областью сходимости ряда является множество (¡1; 1] :

Пример 19

Пользуясь рядом (11), найти численное значение ln(0:6) с погрешностью не более " = 10¡5.

Решение

ln(0:6) = ln(1 + (¡0:4)) , òî åñòü â (11) нужно принять x = ¡0:4.

Запишем ряд Маклорена в виде

+1

(¡1)n¡1

(

0:4)n =

+1

(¡1)n ¢ (¡1)¡1

(

1)n (0:4)n =

N

(0:4)n

+ R ; (12)

X

X

X

n=1

n

¢

¡

n=1

n

¢ ¡

¢

¡

n

N

n X

n=1

ãäå

+1

(0:4)n

RN = ¡

остаток ряда.

n

=N+1

Åñëè â (12) сохранить только конечную (çåë¼íóþ, содержащую N слагаемых)

23

сумму, а остаток ряда RN отбросить, будет допущена погрешность, равная отброшенному "хвосту". Точно вычислить значение RN не получится, а вот добиться выпол- нения неравенства jRN j < " вполне реально. Итак,

j N j = n=N+1 n

= N + 1

µ

N + 2 ¶ + µ N + 3 ¶ + µ N + 4 ¶

X

(0:4)n (0:4)N+1

(0:4)N+2

(0:4)N+3

(0:4)N+4

+1

R +

+

+ : : : <

|

{z

}

|

{z

}

|

{z

}

<

(0:4)N+2

<

(0:4)N+3

<

(0:4)N+4

N+1

N+1

N+1

<

(0:4)N+1

+

(0:4)N+2

+

(0:4)N+3

+

(0:4)N+4

+ : : :

=

N + 1

N + 1

N + 1

N + 1

(0:4)N+1

1

5

(0:4)N+1

=

¢

=

¢

:

(13)

N + 1

1 ¡ 0:4

3

N + 1

(применена школьная формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

Если мы найд¼м такое N, ÷òî

5	¢	(0:4)N+1
				< " ;	(14)
3			N + 1

то неравенство jRN j < " и подавно будет выполнено в силу (13) и (14). При написании компьютерных программ нужное для выполнения (14) значение N находится простым перебором натуральных чисел, начиная с N = 1.

Убедимся в том, что N = 10 годится:

5 ¢ (0:4)10+1 = 6:355 ¢ 10¡6 < 10¡5 = " : 3 10 + 1

Сумма	10	0:4n
	X
	¡ n=1	n	= ¡0:5108195900 ;

вычисленная в среде wolframalpha.com с помощью команды

N[ Sum[(4=10)ˆn=n; fn; 1; 10g]; 10] ,

24

и на самом деле будет отличаться менее, чем на " = 10¡5			от более точной суммы
+1	0:4n
X
¡ n=1	n	= ¡0:5108256238 ;	(15)

вычисленной с помощью команды

N[ Sum[(4=10)ˆn=n; fn; 1; Infinityg]; 10] .

Имя внешней функции N[: : :] не следует путать с числом N слагаемых в (12). Функция N[: : :] переводит результат, который wolframalpha.com любит представлять

в виде рационального числа, в стандартный десятичный вид. Необязательный второй параметр этой функции указывает, сколько значащих десятичных цифр следует со-

хранить. Например, при исполнении команды N[ Log[0:6]; 10] будет показано десять значащих цифр числа ln(0:6), прич¼м, все эти цифры будут такими же, как в (15).

Пример 20

Построить ряд Маклорена для функции f(x) = arctg x : Найти область его сходимости.

Решение При стандартном подходе следует найти несколько производных обсуждаемой

функции, увидеть (угадать) закономерность их представления и выписать формулу общего члена ряда Маклорена.

Применим другой подход. Небольшая "хитрость" позволит заметно облегчить работу.

Воспользуемся формулой из таблицы интегралов

Z dx

1 + x2 = arctg x + C ;

25

и выпишем на е¼ основе формулу Ньютона Лейбница:

x

1

¯

x

0

¯

Z

1 + t2

dt = arctg t ¯0

= arctg x ¡ arctg 0 = arctg x :

Функцию

1

¯

1 + t2

можно представить, как сумму бесконечно убывающей гео-

метрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем ¡t2;

следовательно,

Z

1 + t2

dt = Z

1 ¡ t2 + t4 ¡ t6 + t8 ¡ t10 + : : : dt =

x

1

x

¡

¢

0

0

= t ¡

t

+

t

¡

t

+

t

¡

+ : : :

0 = Ã

(¡1)n¡1

t

¡

!¯

=

3

5

7

9

11

2n

1

µ

¶¯

n=1

¡

¯0

3

5

7

9

t11

¯

x

+1

2n 1

¯

x

X

+

1

1

x

2n

¡

1¯

¯

n

¯

¯

X

(¡1) ¡

2n

¡

1 = arctg x :

(16)

=

n=1

Радиус сходимости ряда в (16), вычисленный по формуле Даламбера, равен еди-

нице, следовательно, это ряд (то есть ряд Маклорена для функции

f(x) = arctg x)

сходится при ¡1 < x < 1 :

Ðÿä â (16) расходится ïðè x 2 (¡1; ¡1) [ (1; +1) (согласно теореме о радиусе

сходимости степенного ряда).

Осталось разобраться со сходимостью при x = §1 :

Подстановка x = 1 â (16) порождает равенство

+1

( 1)n¡1

¼

X

¡

¡

= arctg 1 =

:

(17)

n=1

2n

1

4

Знакочередующийся числовой ряд в (17) сходится по теореме Лейбница (Пример 15). Подстановка x = ¡1 в (16) порождает равенство

+1	(¡1)n				= arctg (	1) =		¼	:
X
		¡	1			¡	¡4
n=1 2n

26

Знакочередующийся числовой ряд в последнем равенстве сходится хотя бы потому, что он противоположен по знаку ряду в (17).

В итоге, областью сходимости ряда является множество [¡1; 1] : Интересно отметить, что ряд

1 ¡ t2 + t4 ¡ t6 + t8 ¡ t10 + : : :

расходится ïðè t = §1 ; тогда как ряд

Zx ¡1 ¡ t2 + t4 ¡ t6 + t8 ¡ t10 + : : : ¢ dt

0

сходится ïðè x = §1 ;

Это означает, что операция интегрирования ряда как минимум не сужает (а в данном случае, и расширяет) область сходимости степенного ряда.

Теорема об альтернативном поиске области сходимости степенного ряда

Пусть f : C ! C (òî åñòü, f(z) комплекснозначная функция комплексного переменного z ).

Пусть T (z; z0) комплексный ряд Тейлора для функции f(z) в комплексной точке z0 ; и пусть Z область сходимости ряда Тейлора.

Тогда:

1. T (z; z0) = f(z); 8z 2 Z :

2.Радиус сходимости r есть модуль разности точки z0 и ближайшей к íåé особой точки функции f(z) :

3.Область сходимости Z есть множество всех точек z ; подчиняющихся условию jzj · r ; кроме особых точек функции f(z) :

Пример 21	1
Построить ряд Маклорена для функции f(z) =
		и назвать область схо-
	z4 + 4
димости Z этого ряда.

27

Решение Согласно школьной формуле суммы бесконечно убывающей геометрической про-

грессии,

1

+1

= 1 ¡ x + x2 ¡ x3 + : : : =

X

x + 1

(¡1)n ¢ xn;

jxj < 1 :

(18)

n=0

Замена переменной x =

z4

(18) на число

1

и последующее умножение

äà¼ò

4

4

1

1 z4

z8 z12

+1

n z4n

p

X

¡

¡

(¡1)

¢

jzj <

z4 + 4

=

4

16

+

64

256

+ : : : =

4n+1

;

2 :

(19)

n=0

Ðÿä (19) есть Маклорена, следовательно, z0 = 0 : Корни уравнения z4 + 4 = 0 ; являющиеся особыми точками функции f(z) ; то есть, комплексные числа z1 = 1+{ ;

z2 = ¡1 + { ; z3 = ¡1 ¡ { ; z4 = 1 ¡ { ; удалены от точки z0 = 0 (Рис. 1) на одно и то же расстояние jzk ¡ z0j = p2 (k = 1; 2; 3; 4), следовательно, r = p2 :

Ðèñ. 1

Можно сделать вывод: ряд (19) сходится для всех z есть, точка z расположена внутри круга радиуса r = p2 ; âñåõ z таких, что jzj > p2 (точка z вне круга).

таких, что jzj < p2 (то Рис. 1) и расходится для

28

По поводу точек, расположенных на окружности jzj = p2 ; не вс¼ так просто. Испытаем одну из них, точку z = { ¢ p2 ; с помощью wolframalpha.com. Путаный результат, предъявленный сайтом, склоняет к мысли, что при z = { ¢ p2 ðÿä (19)

сходится, и сумма ряда равна 1 8 (Ðèñ. 2).

Ðèñ. 2

Пусть точка

расположена на окружности

jzj = p

: Проверка выполнения

z

2

необходимого условия сходимости числового ряда да¼т

4

! 1

¡4

¢

! 1

¡ ¢ 4

! 1

4

¯

¯

! 1

¯

4n

¯

j

n

¯j

4n

¯

4n

p

2

4 n

¯

z

¯

j(¡1) j ¢ z

1

z

lim

¯

( 1)n

¯

=

lim

=

lim

= lim

=

n +

n+1

n +

n

n +

¢nj+1j

n +

³

n+1 ´

¯

¯

n+1

= lim

4

lim

1

=

1

6= 0

:

4n+1

4

4

n!+1

= n!+1

Необходимое условие сходимости нарушено, следовательно, îкружность в области сходимости ряда не содержится. И, в частности, при z = { ¢ p2 ряд (19), вопреки

мнению wolframalpha.com ; расходится.

Ответ: область сходимости Z есть открытый круг jzj < p2 :

29

Определение

Пусть ' : [A; B] ! R; Ã : [A; B] ! R; » : [A; B] ! R:

Скалярным произведением функций '(x) è Ã(x) принято называть зависящее от этих функций число, обозначаемое, как ('(x); Ã(x)) ; и подчи- няющееся требованиям:

1.	('(x); '(x)) ¸ 0; ïðè÷¼ì, ('(x); '(x)) = 0 () '(x) = 0; 8x 2 [A; B]
	(неотрицательность скалярного произведения функции на себя).
2.	('(x); Ã(x)) = (Ã(x); '(x)) (коммутативность).
3.	(¸ ¢ '(x); Ã(x)) = ¸ ¢ ('(x); Ã(x)) (ассоциативность).
4.	('(x) + »(x); Ã(x)) = ('(x); Ã(x)) + (»(x); Ã(x)) (дистрибутивность).

Примеры	скалярного произведения:
	('(x); Ã(x)) = ZB'(x)Ã(x)dx ;	(20)
	A
	('(x); Ã(x)) =ZBw(x)'(x)Ã(x)dx ;	(21)
	A
ãäå w(x)	(w : [A; B] ! R; w(x) > 0 ; 8x 2 [A; B]) т.н. весовая функция.

Определение

Пусть ' : [A; B] ! R; Ã : [A; B] ! R:

Åñëè ('(x); Ã(x)) = 0 ; то функции '(x) è Ã(x) принято называть ортогональными на промежутке [A; B]:

30