Типовик / Типовик, 2 модуль

16.
а)															б)
	sin x					,		x						,
f			2							2
	(x)
	cos x						,	x							.
				2				2

f(x) x2 5x 4 x 1

17.
а)							б)		x
		3x 1, x 3
							f (x)				3x 2
									x
		x 3
f (x)	3		, 3 x 0,
		x 3			,	x 0.
18.

а)

ctg x				,			x		,

4 4 4

f (x)

tg x , x ,x .

4 4 4

б)

2 x

f (x) 3x2 4x 4

19.

а)

б)

2

3x3 1, x 1,

f (x)

2x

3x 1

x 1

f

x

2

3x 2, 1 x 2,

(x)

1

3x 2 , x 2.

20.

а)

б)

2x 1

1

f (x) 2x

2x 2, x 2,

2x 1

f

4x 2, 2 x 2,

(x)

2

, x 2.

	2 x

33

в)*

2

1 1 x2 f (x)

3

в)*

3

f (x) 2x2 2

в)*

f (x) arcctg x 2 x

в)*

f (x) sin 2x 2x 1

в)*

f (x) cos 3x 1 3x

21.
а)														б)
		1			,	x							,
		2x
						2
f	(x)		x	,		x				,
								2
		1
						x
					,									.
		2x
						2

x 4

f (x) x2 3x 4

22.

а)

б)

2

1

,

x 1,

f (x)

3x

x 2

x 1

x 1

x 1,

x

1,

f (x)

2x,

x 1.

23.

а)

б)

3(x 1)

ex e, x 0,

f (x) x

ln 3x 1 , 0 x 1,

x 1

f

(x)

e x, x 1.

24.

а)

б)

x 2

f (x)

2x2 3x 1, x 0,

2 x 6

f

x 1, 0 x 2,

2x

(x)

4

, x 2.

2 x

25.

а)

б)

2

1

f (x)

x

6x 5

2x 0,5 ,

x 0,5 ,

x 1

f

cos2x,

x

0,5 ,

(x)

1

		2x 0,5 ,			x 0,5 .

34

в)*

3

1 x2 3 f (x)

2

в)*

2

f (x) 3x2 2

в)*

1

1 1 x2 f (x)

3

в)*

1

f (x) 44 x2

в)*

f (x) arcctg x x 1

26.
а)	б)	в)*

2x 0,5 ,

x 0,5 ,

f (x) 3x

x 1

f (x) sin

x 1

x

sin2x,

x

0,5 ,

x 1

f (x)

2

x 0,5

,

x 0,5 .

27.

а)

б)

x 3

x 3,

x 3,

f (x)

1

x

2 4x 3

f (x)

, 0 x 3,

x 3

3x

2

1,

x 0.

28.
а)				б)
	ln x 2 , 1 x 2,
			2
f		3x		2x 1, x 1,
	(x)
			4x 8, x 2.

f(x) 2x2 3x 5 x 1

29.

а)

б)

x , x ,

f (x) 2x

x 3

f

tg x 0,5 ,

x

,

x 3

(x)

x , x .

30.

а)

б)

x 3

2x2 3x 5, x 1,

f (x)

x2 3x

3 x2 , 1 x 1,

f

(x)

1

, x 1.

x 1

3.1

в)*

f (x) cos x 2 x

в)*

5

1 x2 5 f (x)

5

в)*

1

f (x) 55 x2

в)*

f (x) sin x 2 4 x

Продифференцировать указанную функцию. Упростить полученное выражение:

2

2x

x

2x

1

1.

y

1 e

ln

e

1 e

1

ln

x

1

1

2.

y

x

arctg

3x

1 x

2

x

x

1

3

35

2arctg

ex

2

3.

y x ln 1 ex

arctg

ex

ex

y

1

sinx

xcosx

4.

arcsin

3

2

4 sin2 x

1

x2

x 1

1

x2 1

5.

y

ln

3

arctg

4 3 x2

3x 1

2 3

3 x

ln 1 x x2

6.

y

3arctg

2x

1

ln

1 x x2

x

xarctgx

3

x

1

7.

y

arctg

3x2

2

2

3x2 2

2

8.

y ln

x 3 2

4

arctg

2x 5

x2 5x 7

3

3

y x arccos

x

arctg

9.

x

x

1 x

arccos x

x

x

10.

y

x

3 1 x3

3 1 x3

1

ln sinx cosx

1

y

arctg

sin2x

11.

sin2x

cosx sinx

2

2

y ln

x 2 2

2

arctg

1 2

12.

x 1

x 1

x 2

x 1

3

3

cosx ln cosx

13.

y

1 cos2 x

1 cos2 x

14.

y

1

ln

2 sinx

2

arctg

cos

x

4

2 sinx

3

3

15.

y

1

ln

x 1 2

2

arctg

3x 1

14 9x2 6x 4 7 3

3

16.

y sin x arctg sinx

1

ln 1 sin2 x

2

1

1

ln x2 2x 2

17.

y x 1 arctg

2

x 1

1

x

arcsinx

18.

y

arctg

6

10 1 5x2

10 6

1 x2

4

x

4

y

1

1 2x4

1

1 2x4

19.

ln

arctg

x

4 4 1 2x4 x 2

y x e x arcsinex ln 1

20.

1 e2x

36

21.y ln 1 x 3ln 1 31 x 6arctg61 x

22.y 1ln 2x2 x 2 15 arctg 4x 1 3ln x 2 x 8 12 15 2 2

			ex		e x																1 e2x x 1
	y											arcsinex																												1	1 e2x
23.																																							ln
					2																	2																2
	y			x2 4x 3																		1
24.															2arcsin
						1 x																			x 2
	y		1 x2							2x 4									1											x 1
25.					ln																				arctg
									x 2 2
	12																		2			3										3
																ln x
																								x2 1
26.	y arctg x									2		1
																						x
						1	ln 1 ex																				1					arctgex
27.	y x																		1 e2x
						2																					2
																	2ln					2 ex																					arcsin		2	e	x
28.	y			e2x 4ex 1																														e2x 4ex 1
																																											5

1x2 x 1 1 x2 1

29.y 4ln x2 x 1 23 arctg 3 x

30.y ex arcsinex 1 e2x

3.2.а

Продифференцировать функцию:

	2x 3 5 sin(3x) 1 7
1.	y			3x3 2 7x 1 6
2.	y 10			2	x	1 9 x 3 3
				3 x2 sin7(x 1)
3.	cos3(5x) 2x 4						x2 2 3
	y
	arcsin2 x 3x3 2x 1 5
4.	y 11			arccos5(3x 1) 2x 1 2
					x4 x3 (7x 3)2

7 x2 3 2 sin5(2x 1)

16. y

4x 1 3 3x2 2x 1 4

35x 1 4 x3 2 2

	17.	y
			arccos3(2x 1)						2 5
							x
	18.	y 19			2x 1 5 3x2 2 7
					arctg5(0.3x) (4	x 1)2

tg3(0.5x) 35x 2 2

19. y

2x7 3 2 3x x2

37

5.

y

x2 3 5

arctg(3x) 1 2

3

2 5x 2 4

x

6.

y

3

2x3 3 5

cos7(3x 2)

3x 1 5 6x2 3x 1 3

7.

y

e2x 1 3 x5 3x 4

arcsin3 2x 2x3

x2 5

8.

y 12

arcsin5(3x) x2

5 7

6x3 2 3 (2x 1)2

ctg3(0,2x) 4x 2 2

9. y

x2 10 7 3x5 4x2 1 4

10. y 15	sin6(3x 4) cos2(2x 1)
	x 3 4	(3x6 2)3

7x 2 5 3x2 1 3

11. y

cos2(5x) 1 25x 1 2

12. y 11

5x 2 2 x 7 3

3x arcsin5(2x 1)

sin2 7x 2 3 x4 1 2

13. y

arctg7 6x 1 x3 2x 1 4

14. y 17 3x 2x 2x 3 3 tg6(7x 1) (x 1)2

2x5 3 2 arcctg(5x) 3 2

15. y

3x 2 2 x 2 5

cos7(0.2x) tg2(3x)

20. y 17 5x 2 3 (x8 3)2

3x 1 5 2x3 5 7

21. y

sin3(5x) 2 37x 2 4

7x2 3 2 x 5 4

22. y 9

3 x4 arccos2(3x 2)

23.

y

cos3(5x) 2 2

x5

2 3

x4 34

2

arcctg 2

x

x

6x 5 3 4

3 2

24.

y 7

x

sin5(0,3x) (2x

7)2

25.

3x4 2 11

arctg3(2x) 1 5

y

5x 1 3 x 3 6

9

26.

y

x3 3 2

cos7(2x 1)

1 2 5x3 23

2

3

x

x

2

5

2 3 x4

2

x

27.

y

5

arcsin5

3

2 4

2x

x

3x 1 3 2

5 4

28.

y 5

x

arcctg3(0,1x) (5 x 1)3

ctg5 2x 74x3 2 2

29. y

3x5 2 2 7x 2x 3

	30. y	sin5	(2x 3) ctg2			(x 1)
	7 x9 3 2 7							3
				x3
							3

3.2.б

38

Продифференцировать функцию:

1.y xtg(2x 1)

2.y x3x7 2

x2 1 x
3. y
	2

4.y (2x 1)2x

5.y x(3x x)

6.y sin(2x) 0,5x

7.y 2 xx3 x

8.y ln(x2 2) x

1

9.y (5x 1)3x 2

10.y sin(x2) cos(2x)

x sin(2x)

11. y 2

1

12. y cos(x2) x 2

1

13.y x2 3 cos(3x)

14.y (7x 1)arcsin(2x)

15.y (4x 3)arccos(3x)

16.y (2x)ctg(3x)

17.y 2xx5 2

18.y (2x)2x

19.y (x3 x)3x

20.y (3x 1)arcctg(5x)

21.y ln(x 2) 3x

22.y (x3)arctg(2x)

23.y (3x)ex3

24.y (2x 1)sinx5

25.y (x 2)(3x 1)

26.y (3x)ctg(3x)

27.y (4x5 5)tg(x)

2 x 2

28. y x 1

29. y tg(5x) 5x

30. y (6x)cosx6

3.3*

Найти производную функции, пользуясь непосредственно определением производной:

1.	y 5x	2	x	16.	y	1
						4 4x 3
2.	y e3x 2			17.	y 3x 1 3
3.	y sin 4x 3			18.	y ecos 4x 1
4.	y log2 5x 2			19.	y ctg		4x
						5

39

5.	y 72x 1								20.	y		5
												x 3 2
			1
6.	y								21.	y				2x		2		5x
		3 3x 7
7.	y 2x 5 3								22.	y e0,5x 9
8.	y esin 2x 1								23.	y sin 7 3x
9.	y tg		3x						24.	y log3 4 3x
			4
										y 86x 1
10.	y 3 x 2 2								25.
																1
11.	y			6x x		2			26.	y
													7 5 7x
12.	y e7 2x								27.	y 3 2x 3
13.	y cos 0,5x 3								28.	y esin 3 2x
14.	y log5 2x 1								29.	y tg					2x
												7
15.	y 93 2x								30.	y		4
												x 4 2

3.4 а

Найти предел, используя правило Лопиталя:

1.	lim						x															1															16.	lim							3x																			3
																	ln(x 2)
	x 1 x 1																																					x 2		x 2																ln(x 1)
																																															1																	1
							1																				1
2.	lim																																				17.	lim
																																																2																					x
	x 1																																					x 0 sin												x									sin2
		tg										x										ctg											x																																				2
								2
																												4
						6											10																				18.	lim								4												10
3.	lim
																																																		4								10
									3															5
	x 1		1 x											1 x																								x 1			1 x																	x 1
					ex																2																									2x															1
4.	lim																																				19.	lim
					x																2																									x
	x 1						e											x																				x 0										x												x			2
		e																					1																	2
5.	lim								2																		2										20.	lim														1																			1
																											x 1																																														x 1
	x 1	arctg(x 1)																																				x 1			arctg(x 1)
6.	lim						1															3															21.	lim										7																3
							7														x	21			1																						7														x			3
	x 1 x							1																														x 1 x											1																		1
7.	lim							1																	x												22.	lim												2																			2x
																							x 3																																													x 4
	x 3 ln(x 2)																																					x 4			ln(x 5)
																																					40

								1										1
8.	lim																																		1									1
	x 0 x sin2 x																	x							23.	lim
																										x		cos2 2x														x2
																										4																				16
						1											3																		2							2
9.	lim																								24.	lim
						x	1					x		3			3x																	x	1					x	2
	x 0 e																									x 0 e																x
							3										4																	6							9
10. lim																									25.	lim
							9								12			1															4		1								6
	x 1 x							1 x																		x 1 x											1 x
																																			2							1
								1										1							26.	lim
11. lim																										x 0 sin2 x														sinx2
	x			cos2 x													x2
	2																				4

			2ex							1
12.	lim
				2
	x 1				1					lnx
		x
13.	lim			2							6
			1 x			5				15
	x 1									x	1

14.	lim					4						4x
												x 3
	x 3	ln(x 4)
15.	lim				5						7
					5	1			x		7	1
	x 1 x

		2x							1
27.	lim
		2x					ln(x 1)
	x 0
				3							11
28.	lim
				3						11
	x 1 x					1				x	1

					2x							2
29.	lim
	x 3 x 3									ln(x 2)
30.	lim				2							3
				10		1					15
	x 1 x										x	1

3.4б

Найти предел, используя правило Лопиталя:

1.

lim 1 3x (ex 1 5x) 1

16.

lim x2 x sinx

x 0

x 0

2.

lim tgx sin 2x

10 x 10

x

17.

lim 1

x2

2

x

x

3.

lim x2

sin x

18.

lim x 5

5

ln x

x 0

x

4.

lim sin2x tg 2x

x

19.

lim sinx x 1

x

x 0

4

x

1

20.

lim 2 x sin

1

x

5.

lim e

x x

x 1

x

6.

lim arctgx 2x

21.

lim 1 3x (3ex 3 5x) 1

x 0

2 3x 2

x 0

22.

lim 2

x

2

x

(3x 2) 1

7.

lim 1

x

x

x

41

1 sinx

2

2x

8.

lim

23.

lim

arctgx

x 0 x

x

9.

lim arctg2x 3x

1

24.

lim 2 2x 3x 2x

x 0

x 0

10.

lim 2 x cos 0,5x

1

x

2

25.

lim 5

3x 5x

x 1

x

x

1

x

11.

lim 1 2x (2e

2 3x)

2

26.

lim x

x 1

x 0

1 x

x 0

2

(x2

3x) 1

12.

lim

27.

lim

arcsinx

x 0 sinx

x

lim 2x 1

0

x

4

13.

28.

lim 3x 2

lnx

x 0

x

lim cosx tg

1

x

2

14.

29.

lim 3 2x

3sin x

x 0

x 1

2

lim 4x 2 x 3(2

x 5)

1

15.

lim 3 x 3x

30.

3x

x

x

3.5*

Записать формулу для производной

1.y 7e3x 1

2.y log3 4x 1

7x

3.y 2x2 5x 3

4.y 56x 7

5. y	4x 1
	11 3x 2

6.y cos 2x 1 sin 3x 1

x2

7.y

2x 1 x 1 2

n го порядка указанной функции:

16.y cos 0,5x 1 sin 4x 1

x2

17.y

3 2x x 3 2

18.y x 3 3 ln x 3

19.y x 2 ex 2

	20.	y			11x 1
			3x		2 5x 2
	21.	y 3		e7x 1
	22.	y log4 2x 3

8.	y x 2 3 ln x 2	23.	y	5x
	y x 3 ex 3			2x2 9x 18
9.		24.	y 34x 5

42