Задача №2
По
координатам вершин пирамиды АВСD
средствами векторной алгебры найти:
длины
ребер АВи АС; 2)
угол
между ребрами АВ и АС;
площадь
грани АВС;
проекцию
вектора АВ на АС;
объем
пирамиды.
Вариант
№ 13
А(1;
3; 5) В(0; 2; 0) С(5; 7; 9) D(0;
4; 8)
Решение:
Координаты
векторов.
Координаты
векторов
находим
по
формуле:
X = xj
- xi;
Y = yj
- yi;
Z = zj
- zi
здесь
X,Y,Z координаты
вектора;
xi,
yi,
zi
- координаты
точки
Аi;
xj,
yj,
zj
- координаты
точки
Аj;
Например,
для
вектора
AВ
X = x2
- x1;
Y = y2
- y1;
Z = z2
- z1
X = 0-1; Y = 2-3; Z = 0-5
AВ(-1;-1;-5)
AС(4;4;4)
AD(-1;1;3)
BC(5;5;9)
BD(0;2;8)
CD(-5;-3;-1)
Длина
ребер АВ и АС:
Длина вектора a(X;Y;Z)
выражается через его координаты формулой:
|AB|=√12+12+52=5,1
|AC|=√42+42+42=6,9
Угол
между ребрами АВ и АС:
Угол
между векторами a1(X1;Y1;Z1),
a2(X2;Y2;Z2)
можно найти по формуле:
где
a1a2
= X1X2
+ Y1Y2
+ Z1Z2
Найдем угол между ребрами AB(-1;-1;-5)
и AC(4;4;4):
γ
= arccos(0.778) = 141.0620
Площадь
грани ABC
Площадь
грани можно найти по формуле:
где
Найдем
площадь грани AВС
Найдем угол между
ребрами AВ(-1;-1;-5) и AС(4;4;4):
Площадь
грани AВС:
SABC=1/2|AB|*|AC|sinγ=1/2*√27*√48*0,6=11,3
Проекция
вектора АВ на АС:
Проекцию
вектора b
на вектор a
можно найти по формуле:
Найдем
проекцию вектора AВ на вектор AС:
PrACAB=(-1)*4+(-1)*4+(-5)*4/√48=4,04
Объём
пирамиды:
Объем
пирамиды, построенный на векторах
a1(X1;Y1;Z1),
a2(X2;Y2;Z2),
a3(X3;Y3;Z3)
равен:
X1
|
Y1
|
Z1
|
X2
|
Y2
|
Z2
|
X3
|
Y3
|
Z3
|
V=1/6
-1
|
-1
|
-5
|
4
|
4
|
4 =5,3
|
-1
|
1
|
3
|
V=1/6
1
Оставить нужное