ЛПЗ 10
.pdfЛАБОРАТОРНО-ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 10
ПРОИЗВОЛЬНАЯ ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
Теоретические основы.
Алгебраическим моментом силы F относительно центра
(точки) O называется взятое с соответствующим знаком произведение силы на плечо:
mO (F ) = ±Fh .
Плечо силы F определяется, как длина перпендикуляра, опущенного из центра O на линию действия силы – прямую AB (рисунок 1, а).
Рисунок 1
Если под действием приложенной силы F тело может совершать вращение относительно точки O, то момент силы F относительно этой точки будет характеризовать вращательный эффект силы. При принятой в механике правой системе координат момент силы относительно точки считается положительным, если сила стремится вращать тело против часовой стрелки, и отрицательным – если против часовой стрелки (рисунок 1, а).
Так, например, сила F1 (рисунок 1, б) будет стремиться вращать тело относительно точки O против часовой стрелки, следовательно, момент этой силы относительно центра O будет положительным:
1
mO (F1 ) = +F1h1 .
В то же время сила F2 будет стремиться вращать то же тело по часовой стрелке, и момент этой силы относительно центра O будет отрицательным:
Линия действия силы F3 проходит через точку O, следовательно, сила не может придать вращение телу относительно этой точки. Момент такой силы относительно центра O будет равен нулю, т.к. плечо силы h3 = 0 :
mO (F3 ) = 0 .
Найдем момент силы Q относительно вершины A прямоугольника ABCD (рисунок 2, а). Сила приложена в вершине C прямоугольника и наклонена к стороне CD под углом α . Стороны прямоугольника: AB = CD = a , AD = BC = b .
Рисунок 2
1 способ. Момент силы Q относительно точки A будет равен: mA (Q ) = Q × AK ,
где AK – плечо силы Q .
Величину плеча найдем как сумму длин отрезков AE и EK (рисунок 2, а):
AK = AE + EK .
Отрезок AE найдем из прямоугольного треугольника ADE:
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AE = |
|
|
AD |
= |
b |
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα |
|
|
|
|
|||||
а отрезок EK – из прямоугольного треугольника EKC: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EK = EC sinα . |
|
|
|
|
||||||||
Т.к. EC = CD - DE = a - b × tgα , то: |
|
sin2 α |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
EK = (a - b × tgα )sinα = a sinα - b × |
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет равно: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Тогда плечо силы Q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
AK = |
|
|
|
b |
+ a sinα - b × |
sin2 α |
= a sinα + b × (1 - sin2 α ) . |
|
||||||||||||||||||
|
cosα |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα |
|
|
cosα |
|
|||||||
Учитывая, что 1 − sin2 α = cos2 α , получим: |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
AK = a sinα + b cosα . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно точки A составит: |
|
|||||||||||||||
Тогда момент силы Q |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
mA (Q |
) = Q × (a sinα + b cosα ) . |
(1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на составляющие по координатным |
|||||||||||||||
2 способ. Разложим силу Q |
||||||||||||||||||||||||||
осям x и y – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x и Qy (рисунок 2, б). Модули этих сил будут равны: |
|||||||||||||||||||||||
Q |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Qx = Q cosα , Q y |
= Q sinα . |
|
|||||||||||||||||
По теореме Вариньона: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
mA (Q |
) = mA (Q |
x ) + mA (Q |
y ) = Qx × b + Qy × a , |
|
|||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
mA (Q |
) = Q cosα × b + Q sinα × a . |
(2) |
Таким образом, уравнения (1) и (2) абсолютно идентичны, но нахождение момента силы относительно точки вторым способом в данном случае гораздо проще, т.к. нет необходимости вычислять плечо силы.
Уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.
1) Первая (основная) форма условий равновесия: |
|
∑ X k = 0 , ∑Yk = 0 , ∑mO (Fk ) = 0 , |
(3) |
где ∑ X k и ∑Yk – сумма проекций всех сил соответственно на координатные оси x и y;
∑ mO (Fk ) – сумма моментов всех сил относительно любого
центра O, лежащего в плоскости действия сил. 2) Вторая форма условий равновесия:
∑ X k = 0 , ∑mA (Fk ) = 0 , ∑mB (Fk ) = 0 , (4)
3
где ∑ m A (Fk ) и ∑ mB (Fk ) – суммы моментов всех сил относи-
тельно любых двух центров A и B соответственно, причем ось x и прямая AB не должны быть взаимно перпендикулярны.
3) Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов):
∑mA (Fk ) = 0 , ∑mB (Fk ) = 0 , |
∑mC (Fk ) = 0 , (5) |
где ∑ m A (Fk ), ∑ mB (Fk ) и ∑ mC (Fk ) – |
соответственно суммы |
моментов всех сил относительно любых трех центров A, B и C, не лежащих на одной прямой.
Система сочлененных тел
Системой сочлененных тел называется совокупность твердых тел соединенных между собой посредством нежестких связей (шарниров, стержней, нитей и т.д.).
Чтобы соответствующая задача статики была решена, необходимо, чтобы число уравнений равновесия равнялось числу неизвестных реакций связей, входящих в эти уравнения. При решении задач, в которых рассматривается равновесие системы сочлененных тел, число неизвестных может превысить число уравнений равновесия, составленных для всей системы в целом. Кроме того, по условию задачи часто требуется найти силу, с которой одно тело системы действует на другое. Для решения таких задач применяют два метода:
1.Принцип отвердевания заключается в том, что вначале рассматривают равновесие всей системы в целом, а затем одно из тел (или несколько тел) системы по отдельности.
2.Метод расчленения состоит в том, что систему расчленяют
ирассматривают равновесие каждого тела в отдельности.
При расчленении системы действие одного тела на другое заменяем силами. При этом необходимо учесть, что два тела дей-
ствуют друг на друга с силами равными по величине и направленными по одной линии действия, но в противоположные стороны
(аксиома равенства действия и противодействия).
4
ЗАДАНИЯ И ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ
Всоответствии со своим вариантом выполнить две задачи – С1
иС2. Исходные данные – см. таблицу 1.
№ варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
№ рисунка |
|
|
|
|
Рис. С1.0 |
|
|
|
|
|
С1 |
№ условия в |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
таблице С1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ рисунка |
|
|
|
|
Рис. С2.0 |
|
|
|
|
|
С2 |
№ условия в |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
таблице С2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ варианта |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
№ рисунка |
|
|
|
|
Рис. С1.1 |
|
|
|
|
|
С1 |
№ условия в |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
таблице С1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ рисунка |
|
|
|
|
Рис. С2.1 |
|
|
|
|
|
С2 |
№ условия в |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
таблице С2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ варианта |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
|
№ рисунка |
|
|
|
|
Рис. С1.2 |
|
|
|
|
|
С1 |
№ условия в |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
таблице С1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ рисунка |
|
|
|
|
Рис. С2.2 |
|
|
|
|
|
С2 |
№ условия в |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
таблице С2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При выполнении исходных рисунков, показывать только те силы, которые даны. Также соблюдать заданные углы.
5
6
7
8
9
10