neopred_int(математика)
.pdfД.А. Мустафина, И.В. Ребро,С.Ю. Кузьмин, С.Г. Антипина
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
Д.А. Мустафина, И.В. Ребро, С.Ю. Кузьмин, С.Г. Антипина
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Допущено Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия (справочника) для студентов технических направлений и специальностей высших учебных заведений
РПК “Политехник” Волгоград 2006
УДК 519.2
Рецензенты:
кафедра «Математического анализа и теории функций», доктор физ.- мат. наук, профессор, декан МФ Лосев А.Г.
доктор техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Информатика, теоретическая механика и ОНИ» Кузнецов Н.Г.
Мустафина Д.А., Ребро И.В., Кузьмин С.Ю., Антипина С.Г. Интегральное исчисление функции одной переменной: Учеб. пособие / ВолгГТУ. – Волгоград, 2006. – 96 с.
ISBN 5 – 230 –
Содержит необходимый теоретический материал и примеры, иллюст-
рирующие основные понятия по учебной дисциплине ″Интегральное ис-
числение функции одной переменной″. Разработаны варианты контрольных (семестровых) работ.
Рассчитано на студентов дневной и вечерней форм обучения высших технических заведений всех специальностей и направлений.
Табл. 11. Библиогр.: 11 названий
Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного политехнического университета.
ISBN 5 – 230 –
Волгоградский
государственный
технический университет, 2006
Оглавление
Оглавление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
§1. Неопределенный интеграл |
|
1.1. Основные понятия неопределённого интеграла . . . . . . . . . . . |
4-5 |
1.2. Основные методы интегрирования |
|
метод непосредственного интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5-6 |
замена переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6-7 |
интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7-11 |
1.3. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
11-16 |
1.4. Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . . . . . . |
16-19 |
1.5. Интегрирование иррациональных функций . . . . . . . . . . . . . . |
20-25 |
1.6. Примеры интегралов, не выражающихся через элементар- |
|
ные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25-26 |
1.7. Задания для самопроверки №1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27-28 |
§2. Определённый интеграл |
|
2.1. Основные понятия и методы решения определённого ин- |
29-32 |
теграла |
|
2.2. Приближённое вычисление определённого интеграла |
|
формула прямоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
32-33 |
формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
33-34 |
формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула) |
34-36 |
2.3. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
36-38 |
2.4. Задания для самопроверки №2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
38-39 |
2.5. Геометрические приложения определённого интеграла . . . . . |
39-43 |
2.6. Физические приложения определённого интеграла. . . . . . . . . |
44-48 |
2.7. Экономическое приложение определенного интеграла . . . . . |
48-50 |
2.8. Химическое приложение определенного интеграла . . . . . . . . |
50-52 |
2.9. Задания для самопроверки №3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
53-55 |
Вопросы и предложения для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
55-56 |
Семестровые работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
57-86 |
Приложение № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
87-94 |
Приложение № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
95 |
Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
96 |
3
§1. Неопределенный интеграл
1.1. Основные понятия неопределенного интеграла
Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество всех первообразных функций F(x) + C.
Записывается это так: ∫ f (x)dx = F(x) +C;
Первообразной функцией для функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) на рассмат-
риваемом промежутке, то есть F ′(x) = f (x) .
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Имеет место теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на некоторое постоянное слагаемое.
Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если 1) она определена на этом множестве; 2) непрерывна в каждой точке этого отрез-
ка, то есть x [a;b] справедливо равенство lim |
y = lim[f (x + x) − f (x)]= 0 , |
x→0 |
x→0 |
где x + x [a;b] . |
|
Теорема (условие существования неопределенного интеграла).
Всякая непрерывная на отрезке [a, b] функция имеет на этом промежутке неопределенный интеграл.
Основные теоремы (свойства неопределенного интеграла):
1.(∫ f (x)dx)′ = (F(x) +C)′ = f (x); где C-const.
2.d (∫ f (x)dx)= f (x)dx .
3.∫dF(x) = F(x) +C .
4.∫(u + v − w)dx = ∫udx + ∫vdx − ∫wdx; где u, v, w – некоторые функции от х.
5.∫C f (x)dx = C ∫ f (x)dx.
4
6. (Инвариантность формулы интегрирования). Если
∫ f (x)dx = F(x) +C , то и ∫ f (u)du = F(u) +C , где u =ϕ(x) - произвольная функ-
ция, имеющая непрерывную производную.
Ниже приводится таблица основных интегралов, которые используются при вычислениях неопределенных интегралов различных функций. Верность этой таблицы проверяется непосредственно дифференцированием.
|
Интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение |
|
Интеграл |
||||||||||||||||||||
1 |
∫xαdx |
|
xα+1 |
+C,α ≠ −1 |
11 |
∫ |
dx |
|
||||||||||||||||||||||||
|
a2 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
∫ |
dx |
|
|
|
ln |
|
x |
|
+C |
12 |
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − a2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
∫a |
x |
dx |
|
a x |
13 |
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln a |
|
x2 ± a2 |
||||||||||||||||||||||||||
4 |
∫ex dx |
ex + C |
14 |
∫ a2dx− x2 |
||||||||||||||||||||||||||||
5 |
∫sin(x)dx |
− cos(x) + C |
15 |
∫ |
|
1 |
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||
|
cos(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6 |
∫cos(x)dx |
sin(x) + C |
16 |
∫ |
|
1 |
|
dx |
||||||||||||||||||||||||
|
sin(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7 |
∫tg(x)dx |
−ln |
|
cos(x) |
|
+C |
17 |
∫sh(x)dx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8 |
∫ctg(x)dx |
ln |
|
sin(x) |
|
+C |
18 |
∫ch(x)dx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9 |
∫ |
|
|
|
1 |
|
dx |
tg(x) + C |
19 |
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2 (x) |
|
|
||||||||||||||
10 |
∫ |
|
|
|
1 |
dx |
− ctg(x) + C |
20 |
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
sin 2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ch2 (x) |
|
Таблица 1. Значение
1 |
|
|
x |
|
||||
|
arctg |
|
|
+C |
||||
a |
|
|||||||
|
|
a |
|
|||||
1 |
|
x − a |
|
|
+C |
|||
ln |
|
|||||||
2a |
x + a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
ln x + |
x2 |
± a2 +C |
arcsin ax +C
|
x |
|
π |
|
|||
ln |
tg |
|
+ |
|
|
+C |
|
2 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
ln tg 2x +C
ch(x) +C sh(x) +C
− cth(x) + C
th(x) + C
1.2. Основные методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования основан на применении табличных интегра-
лов, и называется непосредственным интегрированием. При этом дан-
ный интеграл может быть приведен к табличному с помощью тождествен-
5
ных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.
Примеры:
a) ∫(3x2 |
− 2sin(x) +5)dx = 3∫x2 dx − 2∫sin(x)dx +5∫dx = x3 + 2cos(x) +5x +C; |
||||||||||||||||||
b) ∫ |
2 − x2 + |
2 |
+ x2 |
|
|
2 − x2 |
+ 2 + x2 |
dx |
|
+ ∫ |
dx |
|
|
||||||
|
|
4 − x |
4 |
dx = ∫ |
2 − x |
2 |
2 + x |
2 |
dx = ∫ |
2 + x |
2 |
2 − x |
2 |
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ln x + |
x |
2 |
+ 2 |
|
|
x |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ arcsin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с) ∫2x 32 x dx = ∫(2 32 )x dx = ∫18x dx = |
18x |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ln(18) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена переменной
Этот метод интегрирования основан на введении новой переменной интегрирования. Приведем пример: пусть дана сложная функция f(x), где x =ϕ(t) - функция имеющая непрерывную производную dx =ϕ′(t)dt . При-
меняется свойство инвариантности формулы интегрирования неопреде-
ленного интеграла, получаем: ∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt .
Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Примеры:
|
ln (4 x + 5 )dx = |
ln (4 x + 5 )= t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a) ∫ |
|
4 dx |
= 2tdt |
= ∫t |
1 |
tdt = |
1 |
∫t 2 dt |
= |
t 3 |
+ C = |
ln 3 (4 x + 5) |
+ C . |
||||||||||||
|
4 x + 5 |
|
|
4 x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= 1 tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4 x + 5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) ∫ |
dx |
|
ex −1 |
= t 2 , |
ex = t 2 +1 |
|
= ∫ |
2tdt |
|
= 2∫ |
dt |
|
= 2arctg(t) +C = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ex −1 = |
x = ln(t 2 |
+1), |
dx = |
|
2t |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
t(t 2 |
+1) |
t 2 |
+1 |
|
||||||||||||||||||
t |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 2arctg( |
ex −1)+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
с) ∫x(x2 +1)3 / 2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
Первый вариант замены:
∫x(x2 |
+1)3 / 2 dx = |
|
x 2 + 1 = t |
= ∫t 3 / 2 |
|
dt |
= |
1 |
∫t 3 / 2 dt = |
t |
5 / 2 |
+ C = |
(x |
2 |
+1) |
5 / 2 |
|
+ C. |
||||||||||
|
2 xdx |
= dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
xdx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй вариант замены: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫x(x2 |
+1)3 / 2 dx = |
|
x 2 + 1 = t 2 |
|
= ∫t |
3tdt = ∫t 4 dt = |
t |
5 |
|
+C = |
(x |
2 |
+1) |
5 / 2 |
+C. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 xdx |
= 2 tdt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
xdx |
= tdt |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d) ∫ sin3 (x3 2 x )dx . Первый вариант замены:
|
3 |
3 |
x = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −3 cos (3 |
x )+ C |
|||||
∫ |
sin ( x )dx |
= |
1 |
dx |
= |
= |
∫ |
3 sin( t )dt |
= −3 cos( t ) + C |
|||||||||||||
3 x 2 |
33 x 2 |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Второй вариант замены: ∫ |
sin (3 x ) |
= |
|
x = t 3 |
2 |
|
= ∫ |
3 sin( t ) |
t |
2 |
dt |
= |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
x |
2 |
dx |
|
dx = 3t |
dt |
|
t |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ∫3 sin( t )dt |
= −3 cos( t ) + C |
= −3 cos (3 |
x )+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций: рациональных, тригонометрических и т.д. (интегрирование этих классов функций предложены в таблицах
3 – 7).
Интегрирование по частям
Этот метод интегрирования основан на применении формулы дифференцирования произведения d(uv)=udv+vdu и вычислении затем интеграла
∫d (uv) = ∫udv + ∫vdu . Из этого равества получаем формулу интегрирова-
ния по частям: ∫udv = uv − ∫vdu .
7
Примеры:
a) ∫(x2 −3x + 4)ex dx |
|
|
|
Интегирируется по частям: |
пусть u = x2 −3x + 4, dv = ex dx ; |
тогда |
v = ex , |
du = (2x −3)dx . Следовательно, ∫(x2 −3x +4)ex dx = (x2 −3x +4)ex |
−∫(2x −3)ex dx. |
||
Еще раз интегрируется по |
частям: пусть u = 2x −3, dv = ex dx; |
тогда |
du = 2dx,v = ex . Получаем, ∫(x2 −3x + 4)ex dx = (x2 −3x + 4)ex −((2x −3)ex −
−∫2ex dx)= (x2 −3x + 4)ex −(2x −3)ex + 2ex +C .
b)∫xn ln(x)dx
Интегирируется |
по |
частям: |
пусть |
|
u = ln(x), dv = xn dx ; |
тогда du = |
dx |
, |
|||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = |
|
xn+1 |
. Следовательно, ∫xn ln(x)dx = |
|
xn+1 |
ln(x) − ∫ |
xn+1 |
|
dx |
= |
xn+1 |
ln(x) − |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
n +1 x n +1 |
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
xn+1 |
|
|
xn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− |
|
∫xn dx = |
|
ln(x) − |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
n +1 |
(n +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
c) ∫arctg(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Интегирируется |
по |
частям: |
пусть |
u = arctg(x), dv = dx ; тогда v = x , |
du = 1+dxx2 . Следовательно, ∫arctg(x)dx = x arctg(x) − ∫1x+dxx2 .
Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:
1+ x2 = t, 2xdx = dt . Тогда ∫arctg(x)dx = x arctg(x) − 12 ∫dtt =
=x arctg(x) − 12 ln(t) +C = x aectg(x) − 12 ln(1+ x2 )+C .
d)∫sin( x )dx
Пусть x = t 2 , dx = 2tdt . Тогда ∫sin( x )dx = ∫2t sin(t)dt = 2∫t sin(t)dt .
Интегирируется по частям: пусть u = t, dv = sin(t)dt ; тогда du = dt,
v= −cos(t) . Следовательно,
∫sin( x )dx = 2(−t cos(t) + ∫cos(t)dt)= −2t cos(t) + 2sin(t) +C =
8
=−2 x cos( x )+ 2sin( x )+C .
e)∫ a2 − x2 dx
Интегирируется по частям: пусть u = a2 − x2 , dv = dx ; тогда
|
du = − |
|
xdx |
|
|
, v = x . Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫ |
a |
2 |
|
− x |
2 |
dx = x a |
2 |
− x |
2 |
− ∫ |
|
− x x dx |
= x a |
2 |
− x |
2 |
|
− ∫ |
a2 − x2 + a |
2 |
dx = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
− x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
= x |
|
a |
2 |
− x |
2 |
|
∫ |
a2 − x2 |
|
|
dx − a |
2 |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
= x |
|
a |
2 |
− x |
2 |
|
− ∫ |
a |
2 |
− x |
2 |
dx − a |
2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
a |
2 |
|
− x |
2 |
|
|
|
a |
2 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||
Обозначается, |
∫ |
|
|
a |
2 |
|
− x |
2 |
dx |
= I |
. Тогда I = x |
a |
2 |
|
− x |
2 |
− I |
− a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
Следовательно, |
|
∫ |
|
a |
2 |
|
− x |
2 |
dx = |
1 |
|
x |
|
a |
2 |
− x |
2 |
− |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f) ∫x arcsin(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Интегирируется по частям: пусть u = arcsin(x), dv = xdx ; тогда du = dx |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
v = |
x2 |
|
|
. Следовательно, |
∫x arcsin(x)dx |
= |
x2 |
arcsin(x) − ∫ |
|
|
|
x2 dx |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
1− x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1− x2 −1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
arcsin(x) + |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
arcsin(x) + |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx − |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
1− x |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
1− x |
2 |
|
1 |
− x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= |
x2 |
arcsin(x) + |
1 |
( |
|
|
|
1− x |
2 |
|
dx −arcsin x)= |
|
x2 |
arcsin(x) |
+ |
1 |
|
1 |
x |
|
1− x |
2 |
+ |
1 |
|
arcsin(x) |
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
−arcsin(x))+C = |
1 |
(2x2 arcsin(x) + x |
|
1− x2 |
− 2arcsin(x))+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g) ∫e2 x cos(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Интегрируется по частям: пусть u = e2 x , dv = cos(x)dx; |
|
тогда du = 2e2 x dx, |
v = sin(x) . Следовательно, ∫e2 x cos(x)dx = e2 x sin(x) − ∫sin(x) 2e2 x dx .
Еще раз интегрируется по частям: пусть u = e2x , dv = sin(x)dx; тогда
du = 2e2 x dx, v = −cos(x) . Получается,
9