МВ (методичка)
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Уральский государственный университет им. А.М. Горького»
ИОНЦ «Бизнес - информатика»
Математико-механический факультет
Кафедра вычислительной математики
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
Учебно-методическое пособие
Екатеринбург
2007
Методическое пособие подготовлено кафедрой вычислительной математики
Данное пособие предназначено для студентов специальности «Бизнес – информатика» дневной формы обучения. В нем рассматриваются актуальные экономические модели, их реализация с помощью математических методов. Приведен необходимый минимум теоретического материала по курсу «Численные методы» и рассмотрено достаточное количество примеров, что поможет студентам в самостоятельной работе по освоению данного курса и будет полезно при выполнении лабораторных работ.
© Коврижных А.Ю, Конончук Е.А., Лузина Г.Е. |
2 |
|
Введение.
Моделирование является одним из методов научного познания. Математическая модель позволяет экономить материальные ресурсы и предоставляет возможность изучать поведение системы в заданных экспериментатором условиях. Использование математических методов в экономике восходит к работам Ф. Кенэ («Экономическая таблица»), А. Смита (классическая макроэкономическая модель), Д. Риккардо (модель международной торговли). Моделированию рыночной экономики посвящены работы Л. Вальраса, О. Курно, В. Парето. С применением математических методов связаны работы В.В. Леонтьева, Р. Солоу, П. Самуэльсона, Д. Хикса, В.С Немчинова, В.В Новожилова, Л.В. Канторовича и многих других выдающихся ученых.
Примерами экономических моделей являются являются модели фирмы, модели экономического роста, модели потребительского выбора, модели равновесия на финансовых и товарных рынках. Построение экономической модели требует выполнения ряда шагов. Сначала формулируется предмет и цель исследования. Затем экономисты выявляют структурные и функциональные элементы модели, взаимосвязи между ними, существенные факторы, отвечающие цели исследования и отбрасывают то, что несущественно для решения задачи. На заключительном этапе проводятся расчеты по математической модели и анализ полученного решения. Именно на завершающем этапе применяются численные методы.
0.Математические модели в экономике
В данном разделе на материале ряда экономических моделей иллюстрируется применение методов численного решения нелинейных уравнений, систем алгебраических уравнений, численного интегрирования и методов решения дифференциальных уравнений.
0.1. Статические балансовые модели
Системы линейных алгебраических уравнений применяются в макроэкономике для проведения балансового анализа многоотраслевого хозяйства. Цель балансового анализа — ответить на вопрос, каким должен быть объем производства каждой из отраслей хозяйства, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? Предполагается, что каждая отрасль выступает одновременно как производитель некоторого вида продукции и как потребитель продукции других (в том числе своей) отраслей. Процесс производства рассматривается за некоторый период времени, например, за год.
Предположим, что производственная сфера хозяйства состоит из n отраслей. Каждая из этих отраслей производит однородный продукт. Часть продукции идет на производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для потребления вне сферы ма-
териального производства. Далее примем следующие обозначения: xi — общий объем продукции i –
йотрасли (или её валовой объем), i=1,2,…,n; xij — объем продукции i – й отрасли, потребляемый j –
йотраслью в процессе производства, i,j=1,2,…,n; yi — объем продукции i – й отрасли, предназна-
3
ченный к потреблению в непроизводственной сфере (объём конечного потребления). В этот объём входят личное потребление граждан, создаваемые хозяйственные запасы, экспорт, инвестиции, обес-
печение общественных потребностей. Уравнения баланса выражают тот факт, что валовой выпуск xi
расходуется на производственное потребление, равное хi1 + хi2 +... + хin и непроизводственное по-
требление, равное yi . Таким образом, имеем
n |
|
xi = ∑хij + yi , i =1,..., n . |
(0.1.1) |
j =1
В зависимости от того, в каких единицах измерения записываются соотношения баланса, различают натуральный или стоимостной межотраслевые балансы.
Рассмотрим величины
aij = xxij , i, j =1,...,n , (0.1.2)
j
которые называют коэффициентами прямых затрат. Дело в том, что эти величины остаются постоянными в течение ряда лет, поскольку технологии производства также остаются постоянными или мало меняются за указанный промежуток времени. На это важное обстоятельство было указано В. Леонтьевым при исследовании развития американской экономики в предвоенный период.
Согласно предположению (0.1.2) уравнения (0.1.1) принимают вид
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi = ∑aij xj |
+ yi , |
i =1, 2,..., n . |
(0.1.3) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Записывая (0.1.3) в матричной форме получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = Ax + y , |
|
|
|
(0.1.4) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
x1 |
|
|
y1 |
|
|
|||||
a |
|
a |
... |
a |
|
, |
x = |
x |
|
, |
y |
|
|
|
||
A = |
21 |
21 |
... |
2n |
|
2 |
|
y = |
|
2 |
. |
|
||||
... ... |
... |
|
|
|
... |
|
... |
|
|
|||||||
a |
|
a |
... |
a |
|
|
|
x |
|
|
y |
n |
|
|
||
n1 |
n2 |
|
nn |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначая символом E - единичную матрицу, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E − A)x = y . |
(0.1.5) |
|||
Если существует обратная матрица (E − A)−1 , то из (0.1.5) следует равенство |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = (E − A)−1 y . |
(0.1.6) |
Решение системы (0.1.4) требует применения численных методов.
Из экономического смысла задачи вытекает, что все компоненты матрицы A и вектора y яв-
ляются неотрицательными ( A ≥ 0 , y ≥ 0 ). Все компоненты вектора x также должны быть неотрица-
тельны ( x ≥ 0 ).
4
Матрица A называется продуктивной, если для любого вектора y ≥ 0 существует решение
x ≥ 0 уравнения (0.1.4). При этом модель Леонтьева называется продуктивной. Справедливы следующие критерии.
1) Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E − A)−1 существует и
неотрицательна. |
|
2) Матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда сходится бесконечный ряд |
|
E + A + A2 +.... |
(0.1.7) |
Доказывается, что если бесконечный ряд (из матриц) |
|
E + A + A2 +... |
|
сходится, то его сумма есть матрица (E − A)−1 . Отметим, что если сумма элементов любого столбца неотрицательной матрицы меньше 1, то матрица А продуктивна. Действительно, пусть q – наиболь-
шая из указанных сумм, q <1 . Тогда все элементы матрицы не превосходят q. Оценим элемент мат-
рицы A2
(A2 )ij = ai1a1 j +ai2a2 j +...+ ainanj ≤ q2 .
Аналогично получаем, что (A3 )ij ≤ q3 , и т.д. Значит ряд (0.1.7) сходится и матрица A продуктивна.
0.2. Некоторые модели экономической динамики
Динамические модели характеризуют изменение экономических процессов во времени. Моделирование может осуществляться с использованием дискретного и непрерывного подхода. В настоящем разделе даются два примера такого моделирования. Эти примеры являются абстрактными. Однако в рассматриваемых случаях их решение может быть найдено в явном виде, что позволяет проанализировать особенности поведения решения для различных случаев соотношения параметров моделирования.
Паутинообразная модель рынка
Эта модель объясняет феномен регулярно повторяющихся циклов изменения объемов продажи и цен товаров на рынке. Хорошо известно, что основными категориями рыночных отношений являются спрос и предложение. Эти категории зависят от многих факторов, главным из которых является цена товара. Примем обозначения. Пусть p – цена товара (от английского price - цена), d –объем спроса (demand – спрос), s – предложение (supply). Предполагаем, что s(p) и d(p) являются непрерыв-
ными функциями, при этом, если цена p – мала, то d( p) − s( p) > 0 (спрос превышает предложение),
а при больших ценах d( p) −s( p) < 0 и предложение превышает спрос. При данных предположения существует равновесная цена p* , удовлетворяющая равенству d ( p* ) = s( p* ) .
Паутинная модель рынка – простейшая модель поиска равновесной цены. Отметим сразу, что с математической точки зрения, решение уравнения
5
|
|
|
|
|
d( p) = s( p) |
|
(0.2.1) |
||
может быть проведено методом простой итерации при сведении его к виду |
|
||||||||
|
|
|
|
|
p =ϕ( p) |
|
|
|
(0.2.2) |
и получению последовательных приближений |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
pn =ϕ( pn ), |
|
n =1,2,... . |
(0.2.3) |
|
Так, если ϕ( p) |
- дифференцируемая функция и |
|
′ |
|
<1, то lim p |
|
= p . Однако, переход от урав- |
||
|
|
|
|||||||
|
ϕ ( p) |
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
нения (0.2.1) к уравнению (0.2.2) может быть осуществлен множеством способов, и теперь уравнение (0.2.2) представляет собой описание модели рынка с уже другими функциями спроса и предложения d( p) = p , s( p) =ϕ( p) , хотя и с той же равновесной ценой p* . Поэтому, такой подход целесообра-
зен лишь для поиска равновесной цены, но не является приемлемым для исследования циклов изменения объемов продажи и цен исходной модели с уравнением (0.2.1).
Предположим, производители определяют величину объема производства (предложение объема товара) в текущем году на основе цен, установившихся в предшествующем периоде. Например, площадь, отводимую под посев зерновых культур, выбирают в зависимости от цены, сложившейся в предыдущем году. Таким образом, в функции предложения должен быть учтен временной лаг продолжительностью в единицу времени (в данном случае год). Действительно, предложение появится на рынке по окончании данного цикла, т.е., через год после принятия решения. Согласно данным предположениям опишем динамику цены уравнениями
qs = s ( p |
), qd |
= d |
( p ), |
qd |
= qs , |
(0.2.4) |
|
t |
t t −1 |
t |
t |
t |
t |
t |
|
где первое из уравнений как раз учитывает временной лаг в предложении. Справедливо равенство
dt ( pt ) = st ( pt −1) . |
(0.2.5) |
Проиллюстрируем применение данного подхода на конкретных примерах. Пусть теперь заданы функции
s( p) =ψ( p) , |
(0.2.6) |
d( p) = c −ep , |
(0.2.7) |
где ψ( p) - заданная непрерывная функция, c > 0, e > 0 - заданные параметры, такие, что существу-
ет равновесная цена p* . Следуя уравнениям (0.2.4) - (0.2.5) динамики построим последовательности
{qn } и {pn }(здесь n = t и обозначает дискретные моменты времени). Построение будет происходить рекуррентно в согласии с (0.2.6) – (0.2.7), и выбранным начальным значением q0 по следующим формулам:
p0 = d −1 (q0 ) = c −eq0 ,
q1 = s( p0 ) =ψ( p0 ) =ψ(d −1 (q0 )) =ψ c −eq0 ,
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
−q |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(q ) = c −q1 = |
c −ψ |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
p |
= d −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c −q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c −ψ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
q2 = s( p1 ) =ψ |
|
|
e |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c −q |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c −ψ |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c −ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
c |
−q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p2 = d |
−1 |
(q2 ) |
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и так далее. Возможные значения qi и |
pi , |
i =1, 2,...показаны на рисунке 1. |
Рис.0.1
Предположим, что
s( p) = a +bp ,
тогда рекуррентные соотношения, приведенные выше, позволяют получить явные формулы для эле-
ментов qi , i =1, 2,...:
q1 = a +lc −lq0 , |
l = b / e, |
|
|
||
q |
2 |
= (a +lc)(1−l) + q l2 , |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
q = (a +lc)(1−l +l2 ) +q l3 |
, |
|
|||
3 |
|
|
0 |
|
|
q = (a +lc)(1−l +l2 |
−l3 ) +q l4 |
, |
|||
4 |
|
|
0 |
|
и, наконец,
7
qn = (a +lc)(1−l +l2 +...+(−1)n−1ln−1 ) +(−1)n q0ln =
(a +lc)1−(−+1)n ln +(−1)n q0ln . 1 l
При этом справедливо равенство pn = c −eqn . Возможны случаи.
1) Если l <1, то справедливо равенство
lim q |
n |
= |
(a +lc) |
= q . |
n→∞ |
|
1+l |
* |
Вэтом случае равновесие является устойчивым.
2)При l =1 получаем
q1 = a +c −q0 , |
q2 = q0 , |
q3 = a +c −q0 , |
q4 = q0 , |
итак далее. Здесь значенияqi чередуются вокруг равновесного состояния.
3)Если l >1, то {qn } расходится и равновесие не является устойчивым.
Дифференциальные уравнения в экономической динамике
Рассмотрим простейшие модели экономического роста.
Пусть некоторая отрасль производит продукцию, объём которой x(t) реализуется к моменту времени t. Предположим, что вся продукция реализуется по фиксированной цене p (рынок в этом случае ненасыщаем). Тогда доход отрасли к моменту времени t составит
X (t) = px(t). |
(0.2.8) |
Далее обозначим символом I(t) величину инвестиций и предположим, что скорость выпуска продукции пропорциональна величине инвестиций
′ |
(0.2.9) |
x (t) = sI (t) . |
|
При этом величина инвестиций есть фиксированная часть дохода, а значит |
|
I (t) = mX (t) = mpx(t) . |
(0.2.10) |
Здесь m – норма дохода инвестиций, постоянная величина, 0 < m <1.
Непосредственно из (0.2.9) с учетом (0.2.8) и (0.2.10) получаем дифференциальное уравнение
′ |
(0.2.11) |
x (t) = kx(t), k = smp . |
|
Решение этого уравнения можно найти по формуле |
|
x(t) = x0 exp(k(t −t0 )), x0 = x(t0 ) . |
|
В условиях конкурентного рынка естественно предполагать, что кривая спроса |
p = p(x) яв- |
ляется функцией убывающей. Действительно, с увеличением объема произведенной продукции её цена падает в результате насыщения рынка. Получаем уравнение
8
x′ = smp(x)x, x > 0, p(x) > 0 |
(0.2.12) |
|||
После разделения переменных получаем |
|
|
|
|
x |
dx |
|
|
|
∫ |
= sm(t −t0 ) . |
(0.2.13) |
||
p(x)x |
||||
|
|
|||
x0 |
|
|
|
Аналитически вычислить интеграл в (0.2.13) не всегда представляется возможным (все зависит от ви-
да функции p = p(x) ). Это означает, что при решении уравнения (0.2.12) в общем случае, необходи-
мо применять численные методы интегрирования.
Проанализируем поведение решения x = x(t) уравнения (0.2.12). Дифференцируя по времени,
имеем
dp |
|
|
|
x′′ = smx′ |
|
x + p(x) . |
(0.2.14) |
|
|||
dx |
|
|
Принимая во внимание определение эластичности спроса относительно цены, которое задается формулой
|
|
|
|
|
E p (x) = |
p dx |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
x dp |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
запишем (0.2.14) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
′′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= smx p |
E p (x) |
+1 . |
(0.2.15) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие x′′ = 0 означает, что E p (x) = −1. Возможны случаи: |
|
|
|
||||||||||
1) |
|
E p (x) |
|
>1, |
x′′ > 0 - спрос эластичен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
|
E p (x) |
|
<1 , |
x′′ < 0 - спрос не эластичен. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.0.2
Решение уравнения (0.2.15) изображается логистической кривой (см. Рис.0.2).
9
0.3. Методы вычислений в финансовых расчетах.
Рассмотрим ряд примеров из финансовой математики, где требуется применение методов вычислений.
Определение уровня процентной ставки.
Пусть в течение n лет фирма перечисляет в банк p раз в году средства в размере R/p денежных единиц (R – величина суммарного годового платежа) с целью создания фонда накопления. Банк начисляет проценты на данные взносы m раз в году по сложной процентной ставке j. Определим наращенную сумму (величину фонда накопления) такого потока платежей на момент окончания выплат. Вычислим
|
R |
|
R |
|
|
j m |
1 |
|
R |
|
|
j m |
2 |
|
R |
|
|
j m |
np−1 |
|||
S = |
|
|
p |
|
|
p |
|
|
p |
|||||||||||||
|
+ |
|
1 |
+ |
|
|
|
+ |
|
1 |
+ |
|
|
|
+...+ |
|
1 |
+ |
|
|
. |
|
p |
p |
|
|
p |
|
|
p |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
Данная сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии с первым элементом
x = R |
|||
1 |
|
p |
|
|
|
||
и знаменателем |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
j p |
|
q = 1 |
+ |
|
. |
|
|||
|
|
m |
Применяя формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1− |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1−q |
np |
|
R |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
R |
1− 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
S = x |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|||||||
1 |
|
1−q |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
p |
|
|
|
|
|
|
j p |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1− |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1− 1 |
+ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
Предположим теперь, что величины S, R, p, m, n известны, требуется найти уровень процентной ставки j, обеспечивающий создание фонда накопления при данных параметрах сделки. Для этого требуется решить нелинейное уравнение
Φ(S, R, p, m, n, j) = 0 ,
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j mn |
|||||
|
R |
1− 1 |
+ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||||
Φ(S, R, p, m, n, j) = S − |
|
|
|
m |
. |
||||||
p |
|
|
|
m |
|
||||||
|
|
|
|
|
j p |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1− 1+ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
m |
Уравнение решается с использованием численных методов.
10