ПП _03 _Геом опр вер
.pdfПП 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
Если число равновозможных исходов опыта бесконечно и несчетно, то используется геометрическое определение вероятности.
Пусть каждый результат испытаний определяется случайным положением точки в некоторой области Ω (отрезок линии, фигура на плоскости, тело в пространстве), мера которой µ(Ω) (под мерой области будем понимать дли-
ну, площадь, объем). Наступлению события А благоприятствует попадание точки в область A Ω.
Вероятность события А: P(A)= |
µ(A) |
, где µ(A)- мера области А. Таким |
µ Ω |
||
( ) |
|
образом, по геометрическому определению вероятность находится как отношение мер областей µ(A) и µ(Ω).
ПП 3. Геометрическая вероятность
№ п/п |
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
|
Ответ |
||||||||
|
В круг радиуса R вписан квадрат. Найдите ве- |
|
||||||||||||||||
|
роятность того, что точка, брошенная в круг, по- |
|
||||||||||||||||
|
падет в квадрат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь круга вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
по формуле S =πR2 , а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
площадь квадрата – по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПП 3.№1. |
формуле S = a2 . Сторона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
квадрата может быть вы- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ражена через радиус опи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
санной окружности по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
формуле a = R 2 . Тогда, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
площадь квадрата S = a2 |
=(R 2 )2 |
= 2R2 . |
|
||||||||||||||
|
P (A) |
= |
S (A) |
= |
2R2 |
= |
|
2 |
. |
|
|
|||||||
|
|
πR2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
S (Ω) |
|
|
|
|
π |
|
||||||||
|
Пятая часть белого круга закрашена в черный |
|
||||||||||||||||
|
цвет. Какова вероятность попадания точки в |
|
||||||||||||||||
|
черный сектор? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПП 3.№2. |
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
1 πR2 |
|
|
|
|
|
|
0, 2 |
|||
|
|
|
S (A) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
P (A)= |
|
|
|
= |
|
5 |
|
|
|
= 0, 2 . |
|
|
|||||
|
|
S (Ω) |
|
πR2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ПП 3.№3. |
Проволока длиной в 20 см согнута в наудачу |
0, 6 |
||||||||||||||||
выбранной точке. После этого, перегнув прово- |
||||||||||||||||||
|
локу еще в двух местах (не ломая ее), сделали прямоугольную рамку. Найдите вероятность того, что площадь полученной рамки не превосходит 21 см2.
РЕШЕНИЕ:
Пусть х ─ длина меньшей стороны проволоки, тогда вторая сторона равна 10 − x , 0 ≤ x ≤10 .
S (A)= x(10 − x)≤ 21,
x [0,3], |
P (A)= |
S |
( |
A |
) |
|
|
6 |
= 0, 6 . |
|
x2 −10x +21 ≥ 0 |
|
|
= |
|||||||
S |
(Ω) |
10 |
||||||||
x [7,10]. |
|
|
|
Определите вероятность того, что корни квадратного уравнения x2 +2aх+b = 0 действительны, если равновозможны любые значения коэффициентов a и b в прямоугольнике a ≤1, b ≤1.
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Область всех исходов опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
S (Ω) ─ прямоугольник на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ПП 3.№4. |
S (A)={a,b : |
|
a |
|
≤1, |
|
b |
|
≤1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Корни квадратного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
уравнения действительны, ес- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ли D = a2 −b ≥ 0 . Область благоприятных исходов |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
будет часть области S (A), лежащая ниже пара- |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
болы b = a2 : S (A)= 2 +2∫0 |
x2dx = 2 + |
2 |
|
1 |
|
= |
8 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
P (A)= |
S (A) |
= |
8 |
|
= |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sквадрата |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Луч локатора перемещается в го- |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
ризонтальной плоскости с посто- |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
янной угловой скоростью. Какова |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
вероятность того, что цель будет |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
обнаружена в угловом секторе α |
|
|
|
α |
|||||||||||||||||||||||||
ПП 3.№5. |
радиан, если появление |
|
цели |
|
по |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2π |
|||||||||||||||||||||||||
|
любому направлению одинаково возможно? |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
12 R2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
P (A)= |
Sсек |
|
= |
= |
α |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
πR2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПП 3.№6. |
Ракета должна приземлиться в круг радиуса |
0, 04, |
||||||||||||||||||||||||||||
0,125 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 км. Вероятность приземления в любое место |
|
круга одинакова. Какова вероятность приземле- |
|
|||||||||||||||||||||||
|
ния ракеты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а) от центра на расстоянии, меньшем 1 км; |
|
|||||||||||||||||||||||
|
б) в заданный сектор, составляющий 1/8 круга? |
|
|||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Элементарные исходы испытания (приземления |
|
|||||||||||||||||||||||
|
ракеты) |
являются |
|
случайными. Событие A ─ |
|
||||||||||||||||||||
|
{приземление в круг c радиусом 1, находящийся |
|
|||||||||||||||||||||||
|
внутри круга с радиусом 5}. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
а) S (Ω) ─ площадь круга с радиусом 5 км, а об- |
|
|||||||||||||||||||||||
|
ластью S (A) ─ площадь круга с тем же центром |
|
|||||||||||||||||||||||
|
и радиусом 1 км. При этом S (Ω)= 25π км2, |
|
|||||||||||||||||||||||
|
S (A)=π км2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
P (A)= |
|
S (A) |
= |
π |
|
= |
1 |
= 0, 04 . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
25π |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S (Ω) |
|
25 |
|
|
|||||||||||||||
|
б) S (B) ─ площадь сектора, площадь кото- |
|
|||||||||||||||||||||||
|
рого 25 |
π км2, cобытие |
|
B − |
|
|
{приземление в сек- |
|
|||||||||||||||||
|
8 |
|
S (B) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тор}, P(B) = |
|
== |
|
25π |
|
= |
1 |
= 0,125 . |
|
|||||||||||||||
|
S (Ω) |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 25π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
В круглую мишень попала пуля. Найдите веро- |
|
|||||||||||||||||||||||
|
ятность того, что расстояние от центра мишени |
|
|||||||||||||||||||||||
|
до пробоины меньше половины радиуса мише- |
|
|||||||||||||||||||||||
|
ни. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рассмотрим |
|
события: |
|
|||||||||||||||||||||
|
Ω{попадание в мишень}, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
А {расстояние от центра |
|
|||||||||||||||||||||||
|
мишени |
до |
|
пробоины |
|
||||||||||||||||||||
ПП 3.№7. |
меньше половины радиуса |
0,25 |
|||||||||||||||||||||||
мишени}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Мерой события будем счи- |
|
|||||||||||||||||||||||
|
тать площадь плоской фи- |
|
|||||||||||||||||||||||
|
гуры. Вероятность попадания считаем пропор- |
|
|||||||||||||||||||||||
|
циональной площади фигуры. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
S (A) |
=π |
R |
|
2 ; S (Ω)=πR2 , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
где R – радиус мишени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
P (A) |
= |
S (A) |
= |
1 |
=0,25 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (Ω) |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
ПП 3.№8. |
Монета радиуса R=1см, бросается на разграф- |
0, 64 |
|||||||||||||||||||||||
ленную поверхность квадрата со стороной l=5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
см. Найдите вероятность того, что она будет ка- |
|
||||||||||||||
|
саться стороны квадрата. |
|
||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S (Ω)=l 2 =25 cм2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Событию |
|
|
|
{монета не |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
касается стороны квад- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
рата} отвечают точки |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
области |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
S ( |
|
)=(l −2R)2 =9. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Событию А {монета ка- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
сается стороны квадра- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
та} отвечают точки об- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ласти |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S (A)=l2 −(l −2R)2 =16. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P (A)= |
S (A) |
= |
16 |
= 0, 64 . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
S (Ω) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|||||
|
На отрезок AB длины L наудачу ставится точка |
|
||||||||||||||
|
C . Найти вероятность того, что длина меньшего |
|
||||||||||||||
|
из получившихся отрезков AC и CB превосхо- |
|
||||||||||||||
|
дит L / 3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ПП 3.№9. |
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
0,(3) |
|||||||||
Разобьём отрезок AB на три равные части. Если |
||||||||||||||||
|
точка C попадёт внутрь среднего отрезка, то |
|
||||||||||||||
|
произойдёт нужное нам событие. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P( A) = |
L / 3 |
|
= 1 = 0,(3). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
Какова вероятность того, что сумма трех науда- |
|
||||||||||||||
|
чу взятых отрезков, длина каждого из которых |
|
||||||||||||||
|
не превосходит l , будет больше l ? |
|
||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Выберем начало |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
отсчета O и декар- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
товую систему ко- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ординат Oxyz . От- |
|
|
|
|
|
0,8(3) |
|||||||||
ПП 3.№10. |
ложим из начала |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
координат три от- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
резка длиной l на |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
осях Ox , Oy , Oz со- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ответственно. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Множество Ω : |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Ω ={(x, y, z) |
|
0 ≤ x ≤l, 0 ≤ y ≤l, 0 ≤ z ≤l} |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
представляет собой куб со стороной l . |
|
||||||||||||||
|
Событие A {сумма длин отрезков не превосхо- |
|
дитl }:
A ={(x, y, z) x + y + z >l,0 ≤ x ≤l, 0 ≤ y ≤l, 0 ≤ z ≤l}.
представляют внутренние точки куба, лежащие вне тетраэдра с вершиной в начале координат и длинами ребер l . Мерой события будет объем соответствующей фигуры.
Vкуба =l3 . Vтетр |
= 1 l3 . Vкуба −Vтетр = 5 l3 . |
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
||
P (A)= |
Vкуба −Vтетр |
= |
5 |
= 0,8(3). |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
V |
6 |
|
|
|||||||
|
|
|
куба |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите вероятность того, что из трех наудачу |
|||||||||||
взятых отрезков, длина каждого из которых не |
|||||||||||
превосходит l , можно составить треугольник. |
|||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть x, y, z; 0 ≤ x, y, z ≤l . Область V (Ω) всех ис- |
|||||||||||
ходов опыта ─ куб в трехмерном пространстве. |
|||||||||||
Для построения треугольника необходимо вы- |
|||||||||||
полнение неравенств |
|
|
|
|
|
x + z > y . |
|||||
x + y > z, |
y + z > x, |
||||||||||
Область исходов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
опыта, не удовле- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
творяющих этим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
ПП 3.№11. неравенствам, со- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
стоит из трех тетра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эдров, аналогичных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рассмотренному в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предыдущей зада- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
че. Одно из ребер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этих тетраэдров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лежит на одной из осей координат. Суммарный |
|||||||||||
объем этих тетраэдров составляет половину объ- |
|||||||||||
ема куба (см. решение предыдущей задачи), |
|||||||||||
P (A)= |
V (A) |
= |
1 |
|
= 0,5 . |
|
|||||
|
|
|
|||||||||
|
|
V (Ω) |
2 |
|
|
|