доп.материалы.Neopr_Integr_Jun_08_2011
.pdf
|
|
|
|
Таблица производных |
|
|
|
µx¶ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(x®)0 = ® x®¡1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(px)0 = 2px; |
|
|
|
= ¡x2 ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(ax)0 = ax ln a; |
|
|
|
(ex)0 = ex; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(loga x)0 = |
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
(ln x)0 |
= |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(sin x)0 = cos x; |
|
|
(cos x)0 |
= ¡ sin x; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
(tg x)0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(ctg x)0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
; |
|
|
|
= ¡ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos2 x |
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
(arcsin x)0 = |
p |
|
|
|
; |
|
|
(arccos x)0 |
|
= ¡ |
p |
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||
1 ¡ x2 |
|
|
1 ¡ x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
(arctg x)0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcctg x)0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= |
|
|
; |
|
|
|
= ¡ |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 + x2 |
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ch x := |
ex + e¡x |
; |
|
|
|
|
|
sh x := |
ex ¡ e¡x |
; |
|
|
|
ex = ch x + sh x; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ch x)0 = sh x;
(th x)0 = ch12 x; (arcch x)0 = px21¡ 1;
(arcth x)0 = 1 ¡1x2 ;
(sh x)0 = ch x;
(cth x)0 = ¡ sh12 x; (arcsh x)0 = px21+ 1;
(arccth x)0 = ¡ 1 ¡1x2 ;
ch2 x |
¡ |
sh2 x = 1; |
sh2 x = |
ch 2x ¡ 1 |
; |
ch2 x = |
ch 2x + 1 |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
2sh xch x = sh 2x; |
1 |
¡ |
th2 x = |
|
1 |
; |
1 |
¡ |
cth2 x = |
¡1 |
; |
||||||
ch2 x |
sh2 x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
2
|
|
|
|
|
Табличные интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z x® dx = ® + 1 + C (® 6= ¡1); |
Z |
x dx = ln jxj + C |
|
(x 6= 0); |
||||||||||||||||
|
|
|
x®+1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
½ |
¡ |
|
Z |
¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¡ |
|
¯ |
|
||
|
1 |
|
|
|
arctg x + C; |
|
|
1 |
|
|
1 |
¯ |
1 + x |
¯ |
|
|||||
|
1 + x2 |
dx = |
|
arcctg x + C; |
1 |
|
|
x2 |
dx = |
|
2 |
ln |
¯ |
1 |
|
x |
¯ |
+ C; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
Z |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
dx = |
|
arctg |
|
|
+ C |
||||||||
|
a2 + x2 |
a |
a |
|||||||||||||
Z |
a2 |
1 x2 dx = |
2a ln |
¯a |
¡ |
x |
¯ |
+ C |
||||||||
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
¯ |
a + x |
¯ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
(a =6 0);
(a =6 0);
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
§ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dx = § |
|
|
|
|
¯ |
a2 § x2 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 x2 |
2 |
ln |
|
+ C; |
|
p |
¯ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|||||||||
|
|
|
dx |
|
|
arcsin x + C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|||||||||||||||||
Z |
|
p1 |
x2 = ½ ¡ arccos x + C; |
|
|
|
|
|
Z |
px2 |
|
|
1 |
= ln |
|
x + |
x2 |
§ 1 + C; |
|||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|||
|
pa2 |
¡ x2 |
= arcsin a + C |
|
(a > 0); |
|
|
px2 |
§ a2 = ln ¯x + px2 § a2¯ + C; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
x |
|
|
|
dx = § a2 § x2 + C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Z pa2 ¡ x2 dx = 2 nxpa2 |
¡ x2 + a2 arcsin ao + C |
(a > 0); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Z px2 § a2 dx = 2 px2 § a2 |
+ 2 |
|
ln ¯x + px2 § a2¯ + C |
|
(a > 0); |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
a2 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Z ex dx = ex + C; |
Z ax dx = |
ax |
|
+ C (a > 0; a 6= 1); |
||||
ln a |
|
|||||||
Z |
sin x dx = ¡ cos x + C; |
|
Z |
cos x dx = sin x + C; |
||||
Z |
1 |
dx = ¡ctg x + C; |
|
Z |
1 |
dx = tg x + C; |
||
|
|
|
|
|||||
sin2 x |
|
cos2 x |
||||||
|
Z sh x dx = ch x + C; |
Z ch x dx = sh x + C; |
Z1
sh2 x dx = ¡cth x + C;
Пусть n; k натуральные числа и
Z
dx
In := (1 + xk)n ;
Z1
ch2 x dx = th x + C;
Jn := Z |
dx |
: |
(1) |
(1 ¡ xk)n |
Тогда при n ¸ 2; k ¸ 2 выполняются следующие рекуррентные формулы:
I |
|
= |
kn ¡ k ¡ 1 |
I |
n¡1 |
+ |
|
x |
|
; |
|
n |
|
k(n ¡ 1)(1 + xk)n¡1 |
|||||||||
|
|
kn ¡ k |
|
|
|||||||
J |
|
= |
kn ¡ k ¡ 1 |
J |
n¡1 |
+ |
|
x |
: |
||
n |
|
|
k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1 |
||||||||
|
|
kn ¡ k |
|
|
|
|
Эти формулы позволяют свести вычисления интегралов In; Jn к вычислениям интегралов I1; J1 соответственно.
Пусть n натуральное число и |
Cn := Z |
|
|
|
Sn := Z |
sinn x dx; |
cosn x dx: |
(2) |
Тогда при n ¸ 2 выполняются следующие рекуррентные формулы:
S |
n |
= |
n ¡ 1 |
S |
n¡2 |
¡ |
cos x sinn¡1 x |
; |
C |
n |
= |
n ¡ 1 |
C |
n¡2 |
+ |
sin x cosn¡1 x |
: |
(3) |
|
n |
n |
n |
n |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
Вывод рекуррентных формул для интегралов вида (1)
Пусть n ¸ 1; k ¸ 2 натуральные числа. Обозначим
|
|
|
In := Z |
dx |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(1 + xk)n |
||||
Преобразуем этот интеграл |
|
dx = Z |
(1 + xk)n dx¡Z |
||||
In = Z |
(1 +1xk)n dx = Z |
1(1 + x¡k)n |
|||||
|
|
|
+ xk |
xk |
|
1 + xk |
Отсюда получаем равенство
xk
(1 + xk)n dx:
In = In¡1 ¡ A; |
(4) |
||
где |
|
|
|
A = Z |
xk |
|
|
|
dx: |
|
|
(1 + xk)n |
|
||
Выразим A через In¡1; для этого преобразуем A : |
|
||
Z |
Z |
|
|
|
|
A = |
x |
|
|
= |
|||||
где |
|
|
(1 + xk)n |
|||||||||
Z |
(1 + xk)n |
= k Z |
(1 + xk)n |
= k Z |
||||||||
v(x) = |
||||||||||||
|
|
xk¡1 dx |
|
1 |
|
dxk |
|
1 |
|
Отсюда с помощью (5)Zполучаем
x dv(x); |
(5) |
|
||
d(1 + xk) |
1 |
|
||
|
|
= |
|
: |
(1 + xk)n |
k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1 |
Z
|
|
|
A = x dv(x) = xv(x) ¡ v(x) dx = |
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
x |
|
¡ Z |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1 |
k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
In¡1 |
: |
|
|
||||||
|
|
|
k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1 |
k(n ¡ 1) |
|
|
|||||||||||||||
Принимая во внимание (4), приходим к соотношению |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
In = In¡1 ¡ |
|
|
¡ |
|
In¡1; |
||||||||||||||||
k(1 ¡ n)(1 + xk)n¡1 |
k(n ¡ 1) |
||||||||||||||||||||
из которого следует искомая формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
I |
|
= |
kn ¡ k ¡ 1 |
I |
n¡1 |
+ |
|
|
|
|
x |
|
|
: |
|
|||||
|
n |
|
k(n ¡ 1)(1 + xk)n¡1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
kn ¡ k |
|
|
|
5
Пусть n ¸ 1; k ¸ 2 натуральные числа. Обозначим
Jn := Z |
dx |
: |
|
||
(1 ¡ xk)n |
Преобразуем этот интеграл
J |
|
= |
Z |
1 |
dx = |
1 ¡ xk + xk |
|
(1 ¡ xk)n |
(1 ¡ xk)n |
||||
|
n |
|
Z |
Отсюда получаем равенство
Z |
(1 + xk)n |
Z |
dx = |
1 ¡ xk |
dx+ |
|
xk
(1 ¡ xk)n dx:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jn = Jn¡1 + B; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 ¡ xk)n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Выразим B через Jn¡1: Для этого преобразуем B : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B = Z |
x |
xk¡1 dx |
|
|
= Z |
x dV (x); |
|
|
|
|
(7) |
|
||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
(1 ¡ xk)n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (x) = |
xk¡1 dx |
|
= |
1 |
|
|
|
dxk |
|
|
= |
¡1 |
|
|
d(1 xk) |
|
= |
|
|
1 |
: |
|||||||||||||||
(1 ¡ xk)n |
|
(1 ¡ xk)n |
|
|
(1 ¡¡xk)n |
k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
|
k Z |
|
|
|
|
k Z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Отсюда с помощью (7) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
B = Z x dV (x) = xV (x) ¡ Z V (x) dx = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
¡ Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1 |
|
|
|
k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
1 |
|
Jn¡1 |
: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1 |
|
k(n ¡ 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Принимая во внимание (6), приходим к соотношению |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Jn = Jn¡1 + |
|
|
¡ |
|
Jn¡1; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1 |
k(n ¡ 1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
из которого следует искомая формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
J |
|
= |
kn ¡ k ¡ 1 |
J |
n¡1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
: |
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
|
k(n ¡ 1)(1 ¡ xk)n¡1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
kn ¡ k |
|
|
|
|
|
|
|
6
Вывод рекуррентных формул (3) для интегралов вида (2)
Докажем первую формулу в (3): |
|
|
|
|
Sn = Z sinn x dx = ¡ Z |
sinn¡1 x d cos x = |
|
||
= ¡ cos x sinn¡1 x + Z |
cos x d sinn¡1 x = |
|
||
= ¡ cos x sinn¡1 x + (n ¡ 1) Z |
cos2 x sinn¡2 x dx = |
|||
= ¡ cos x sinn¡1 x + (n ¡ 1) Z (1 ¡ sin2 x) sinn¡2 x dx = |
||||
= ¡ cos x sinn¡1 x + (n ¡ 1) Z |
sinn¡2 x dx ¡ (n ¡ 1) Z |
sinn x dx: |
Отсюда получаем
Sn = ¡ cos x sinn¡1 x + (n ¡ 1)Sn¡2 ¡ (n ¡ 1)Sn;
Sn = |
n ¡ |
1 |
Sn¡2 ¡ |
1 |
cos x sinn¡1 x: |
|
||
n |
|
n |
|
|||||
Перейдем к доказательству второй формулы в (3): |
|
|||||||
Cn = Z cosn x dx = Z |
cosn¡1 x d sin x = |
|
||||||
= sin x cosn¡1 x ¡ Z |
sin x d cosn¡1 x = |
|
||||||
= sin x cosn¡1 x + (n ¡ 1) Z |
sin2 x cosn¡2 x dx = |
|||||||
= sin x cosn¡1 x + (n ¡ 1) Z (1 ¡ cos2 x) cosn¡2 x dx = |
||||||||
= sin x cosn¡1 x + (n ¡ 1) Z |
cosn¡2 x dx ¡ (n ¡ 1) Z |
cosn x dx: |
Отсюда получаем
Cn = sin x cosn¡1 x + (n ¡ 1)Cn¡2 ¡ (n ¡ 1)Cn; Cn = n ¡n 1Cn¡2 + n1 sin x cosn¡1 x:
7
Интегрирование тригонометрических функций вида
Z
sin® x cos¯ x dx
в случае, когда ® + ¯ есть четное отрицательное число.
В этом случае применяется подстановка tg x = u:
Пример. Найти интеграл
Z
sin1=3 x cos¡13=3 x dx:
Так как
13 ¡ 133 = ¡4;
то вычисление интеграла сводится к интегрированию степеней переменной:
Z |
sin1=3 x cos¡13=3 x dx = Z |
tg1=3x |
dx |
= Z |
tg1=3x(1 + tg2x) |
dx |
= |
|||
|
|
|
||||||||
cos4 x |
cos2 x |
|||||||||
|
= Z |
tg1=3x(1 + tg2x) d tg x = hu = tg xi = Z |
u1=3(1 + u2) du = : : : |
|
8
Интегрирование дифференциальных биномов:
J = Z |
xm(®xn + ¯)p dx; |
m; n; p |
рациональные числа. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Случай |
p 2 Z+ = f0; 1; 2; : : :g решается с помощью бинома Ньютона. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Случай |
n = 0 |
простой. |
Поэтому далее считаем |
|
n 6= 0; p 62Z+: |
||||||||||||||||||||||||||||||
С помощью замены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
xn = t; x = t1=n; dx = |
1 |
|
t1=n ¡1 dt |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Z |
m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
J = |
|
t |
|
¡1(® t + ¯)p dt = |
|
|
I; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = Z |
tq(® t + ¯)p dt; |
|
|
q = |
|
m + 1 |
¡ 1: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Случай |
q = 0 |
|
простой. |
Поэтому далее считаем q 6= 0: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1-й случай: |
q 2 Z; |
|
q 6= 0: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Число p рациональное, т. е. оно представимо в виде |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
где |
r 2 Z; |
s 2 N: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
С помощью замены |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
® t + ¯ = us; t = |
us ¡ ¯ |
; dt = |
sus¡1 |
du |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
µ |
us |
¡ ¯ |
¶ |
q usr=s |
sus¡1 |
du = |
|
|
s |
|
Z µ |
us |
¡ ¯ |
¶ |
q ur+s¡1 du: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
®q+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Z |
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
|
|
|
|
|
® |
|
|
Если q 2 N; то применяем бином Ньютона,
а если (¡q) 2 N; то под интегралом рациональная функция.
9
2-й случай: q рациональное 62Z, (¡p) 2 N:
Число q рациональное, т. е. оно представимо в виде
|
|
r |
|
|
|
q = |
|
; где r 2 Z; |
s 2 N: |
|
s |
|||
С помощью замены |
|
|||
|
t = us; dt = sus¡1 du |
|||
получим |
usr=s(®us + ¯)psus¡1 du = s Z |
|
||
I = Z |
ur+s¡1(®us + ¯)p du |
под интегралом рациональная функция.
3-й случай: p + q 2 Z:
Число p рациональное, т. е. оно представимо в виде |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
где r 2 Z; |
s 2 N: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
p = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
С помощью замены |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
® t + ¯ |
= zs; |
|
|
|
|
® t + ¯ = tzs; |
|
|
® t ¡ tzs = ¡¯; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
t(® ¡ zs) = ¡¯; |
t = |
¯ |
; |
|
|
dt = µ |
¯ |
|
¶0 |
dz |
|||||||||||||||||
zs ® |
|
zs |
® |
||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|||||
|
I = Z tq(® t + ¯)p dt = Z tp+q µ |
|
|
t |
|
¶ |
dt = |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
® t + ¯ |
|
|
p |
|
|
|
||||
|
|
|
Z |
µ |
|
¡ |
|
¶p+q zsr=s µ |
|
¡ |
¶0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
¯ |
|
¯ |
|
dz = |
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
zs ® |
zs |
¯ |
® |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
Z |
µzs |
¯ ®¶p+q zr µzs |
®¶0 |
dz |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
под интегралом рациональная функция.
10
Интегрирование иррациональностей
Пусть P (u; v); Q(u; v) многочлены от двух переменных u; v:
Например, P (u; v) = 2 + uv + 3u2v + v7:
Функцию R(u; v) = P (u; v) называют рациональной функцией двух пе-
Q(u; v)
ременных u; v (или рациональной дробью).
Два случая интегрирования иррациональностей вида |
|
Z R(x; pax2 + bx + c) dx; u = x; v = pax2 + bx + c: |
(8) |
Случай 1: a > 0: В этом случае применяется подстановка pax2 + bx + c = t + pax:
Выразим x через t: Имеем
ax2 +bx+c = t2 +2p |
atx+ax2; |
bx+c = t2 +2p |
atx; bx¡2p |
atx = t2 ¡c; |
|||||||||
|
|
x = |
t2 ¡ c |
|
: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b ¡ 2 |
at |
|
|
|
|
|
|||
Отсюда получаем |
µb ¡ 2pat |
¶ |
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
dx = |
|
t2 ¡ c |
|
|
dt; |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при этом множитель перед dt представляет собой рациональную функцию по переменной t:
Таким образом, приходим к равенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 ¡ c |
|
; t + p |
|
|
t2 ¡ c |
|
|
t2 ¡ c |
|
0 |
|
||||||
|
|
ax2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
R(x; |
|
+ bx + c) dx = |
R |
|
|
a |
|
dt; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Z |
p |
|
|
Z |
µb ¡ 2pat |
|
|
b ¡ 2pat |
¶ µb ¡ 2pat |
¶ |
|
|
в правой части которого под интегралом стоит рациональная функция по переменной t: