Нахождение экстремума функции нескольких переменных (вариант 8).
Цель работы:
изучение метода поиска экстремума
нелинейной функции нескольких переменных.
Задание: найти
градиентным методом экстремум функции
нескольких переменных в соответствии
с вариантом задания.
Для нахождения
экстремума функции нескольких переменных
с помощью градиентного метода необходимо
вычислить градиент функции и приравнять
его к нулю. Градиент функции
равен:
Приравнивая каждую
компоненту градиента к нулю, получим
систему уравнений. Решая эту систему
уравнений, можно найти точки, в которых
градиент равен нулю. Эти точки являются
кандидатами на экстремумы функции. Для
определения типа экстремума (минимум,
максимум или седловая точка) необходимо
вычислить матрицу Гессе и оценить ее
знакоопределенность.
Для решения системы
уравнений мы можем использовать метод
Гаусса-Жордана. Для этого мы можем
записать расширенную матрицу системы
уравнений и привести ее к ступенчатому
виду. Затем мы можем применить обратный
ход метода Гаусса-Жордана, чтобы получить
решение системы уравнений.
Расширенная матрица
системы уравнений будет выглядеть
следующим образом:
[0
4 -1 | 0]
[3
0 -1 | 0]
[-1
0 -2 | 0]
Приведем эту
матрицу к ступенчатому виду:
[3
0 -1 | 0]
[0
4 -1 | 0]
[0
0 -2/3 | 0]
Затем мы можем
применить обратный ход метода
Гаусса-Жордана:
x1
= 0
x2
= 0
x3
= 0
Решая
систему уравнений, полученную ранее,
мы находим, что x1
= 0, x2
= 0 и x3
= 0. Это означает, что точка (0,0,0) является
кандидатом на экстремум.
Чтобы
определить тип экстремума, вычислим
матрицу Гессе:
Матрица считается
отрицательно определенной, если все ее
главные миноры имеют знак (-1)^k, где k -
порядок минора. Главным минором порядка
k матрицы A называется определитель
матрицы, составленной из первых k строк
и первых k столбцов матрицы A.
В нашем случае
главные миноры этой матрицы равны:
∆1=0
∆2=-9
∆3=0
Так как все главные
миноры имеют знак (-1)^k, матрица Hf(x)
является отрицательно определенной.
Это означает, что точка (0,0,0) является
максимумом функции f(x).
Ответ: Максимум
функции
равен
f(0,0,0) = 0 и достигается в
точке (0,0,0).
Нахождение экстремума функции в среде ms Excel (вариант 8)
Цель работы:
изучение возможностей среды Excel в связи
с задачей оптимизации решения уравнения
с учетом наложенных ограничений,
приобретение практических навыков
решения задач оптимизации в среде Excel
Задание: решить
задачу оптимизации в среде Excel для
функции с учетом заданных по варианту
условий.
Условие задания
согласно выбранному варианту:
-
№ варианта
|
Функция f(x)
|
Условие
минимизации
|
Условие
максимизации
|
8
|
2x1
+ 3x2
|
2x1
-
x2
< 16
|
3x1
+ 2x2
= 18
|
Проверить наличие функции аналитического поиска решения на панели быстрого доступа Excel, при необходимости добавить ее в соответствии с описанным порядком действий.
Включил надстройку
«Поиск решения» в приложении Microsoft
Excel следующим способом:
Открыл Microsoft
Excel.
Нажал Файл >
Параметры.
Рисунок
4 – Открытие параметров Excel
В открывшемся
окне параметров Excel выбрал
«Надстройки» > Управление «Надстройки
Excel» > Перейти.
Рисунок
5 – Открытие надстроек Excel
В открывшемся
окне надстроек включил доступную
надстройку «Поиск решения» > затем
нажал «ОК».
Рисунок
6 – Включение надстройки «Поиск решения»
В результате
надстройка была включена. Её можно
найти в верхней панели Excel
> Данные > Анализ > Поиск решения.
Рисунок
7 – Отображение надстройки «Поиск
решения»