Z9411_Моделирование_Лаб2_КафкаРС

3.Символьные вычисления

Упражнение №1. Используя операцию Символы-Расчеты-С плавающей запятой…, представьте: число π в 7 позициях; число 12, 345667 в 3 позициях.

Воспользуемся встроенной функцией float(), размещенной в блоке Символьные операции. Формат применения данной команды показан на рисунке 30.

Рисунок 30 – Расчеты чисел с плавающей запятой

Упражнение №2. Выведите следующие числа в комплексной форме,

	используя			операцию				Расчеты-Комплексные	меню
				( √		); 1+		; для выражения 3) последовательно выполните
		√			−3
	Символы:		−7;
							4

операции Расчеты-Комплексные и Упростить меню Символы.

Форматирование комплексных выражений возможно благодаря функции complex, которую рекомендуется использовать в связке с модификатором domain.

Как отмечено в формулировке задания, реализуем упрощение выражения №3. С этой целью среди символьных операций выберем команду expand.

Результат выполненных преобразований отображен на рисунке 31.

Рисунок 31 – Комплексная форма заданных значений

21

Упражнение №3. Для полинома ( ) = 4 + 3 − 17 2 − 45 − 100

выполнить следующие действия: разложить на множители, используя операцию Символы-Фактор; подставьте выражение x = y + z в g(x), используя операцию Символы-Переменные-Замена; используя операцию Символы-Расширить,

разложите по степеням выражение, полученное в пункте 2; используя операцию Символы-Подобные, сверните выражение, полученное в пункте 3, по переменной z.

Первый пункт задания реализуем с помощью символьной операции factor,

переписывающей выражение в виде множителей.

Для второго вопроса обратимся к функции explicit. Данная команда выполняет подстановку одной характеристики, указанной пользователем, на место другой.

Результаты разложения на множители полинома g(x) и замены одной из переменных приведены на рисунке 32.

Рисунок 32 – Работа команд factor и explicit

Третий пункт упражнения осуществим с помощью инструмента expand,

расписывающего выражение в подробном виде путём возведения всех слагаемых в указанную степень и перемножения значений.

Для последнего вопроса воспользуемся функцией collect. Данная команда реализует группировку элементов по указанному параметру (в нашем случае по переменной z).

Результаты разложения по степеням выражения и его сворачивания по отмеченной переменной представлены на рисунке 33.

22

Рисунок 33 – Работа команд expand и collect

Упражнение №4. Разложите выражения на элементарные дроби, используя операцию Символы-Переменные-Преобразование в частичные доли:

6 2 − + 1			;		3 2 − 2			;
	3 −				( 2 + + 1)( + 1)
	+ 1				5 2 − 4 + 16
		;				.
	( − 1)3			( 2 − + 1)2( − 3)

Для представления выражений в виде суммы простейших дробей применим символьную команду parfrac. На рисунке 34 приведены произведенные преобразования.

Рисунок 34 – Применение функции parfrac

Упражнение №5. Разложите выражения в ряд с заданной точностью,

используя операцию Символы-Переменные-Разложить на составляющие:

ln(1 + ) , 0 = 0, порядок разложения 6; sin( 2) , 0 = 0, порядок разложения 6.

Для представления заданных примеров в виде рядов, составленных из элементарных функций, применим символьную команду series. На рисунке 35 приведены выполненные преобразования.

23

Рисунок 35 – Применение функции series

Упражнение №6. Найти первообразную аналитически заданной функции

f(x): = ( + 1) sin .

Вычислим первообразную функции f(x) с помощью инструмента Интеграл «∫», представленного во вкладке Операторы.

Результат определения интеграла показан на рисунке 36.

Рисунок 36 – Первообразная заданной функции f(x)

Упражнение №7. Определить символьное значение первой и второй производных выражения f(x): = ( + 1) sin .

Вычислим дифференциалы функции f(x) с помощью инструмента Производная « », представленного во вкладке Операторы.

Результаты определения первой и второй производных выражения отображены на рисунке 37.

Рисунок 37 – Производные первого и второго порядка функции f(x)

Упражнение №8. Выполнить следующие операции:

транспонировать матрицу М

24

1
=	2	;
2	3

инвертировать матрицу N

= 1 2;

вычислить определитель матрицы М.

Операции с выделенными матрицами представлены позицией меню Матрицы, которая имеет свой перечень команд со следующими операциями: Транспонирование — получить транспонированную матрицу; Инвертирование

— создать обратную матрицу; Определитель — вычислить детерминант указанного массива.

Итог применения отмеченных операций можно увидеть на рисунке 38.

		Рисунок 38 – Операции с выделенными матрицами
Упражнение №9. Вычислить пределы:
lim	2	+ 2 + 5	;	lim (2 sin − cos + cot ) ; lim		( + )3 − 3	;
		2 + 1
→1				→ /2	→0
				25

√ 2 − 3

lim (

) ;

lim (√ 2 + 1 − ) ;

lim (√ 2 + 1 − ) ;

+ 1

→∞

→+∞

→−∞

1

1

) .

lim (1 + )

;

lim (1 +

→+0

→−∞

Вычислим пределы отмеченных выражений с помощью символьной операции lim, встроенной в основной пакет программы Mathcad.

Результаты определения пределов указанных формул приведены на рисунке 39.

Рисунок 39 – Нахождение пределов

Упражнение №10. Задайте операторы пользователя: для пересчета единиц электрической энергии (кВт ч в Дж, эВ в Дж); для пересчета единиц магнитной индукции (Вб/см2 в Т, Гс в Т); для пересчета единиц мощности (эрг/с в Вт,

кгс м/c в Вт).

Оформим пользовательские операторы в командном окне программы

Mathcad. Внешний вид инструкций данного типа представляется следующим образом: ÷ (А, В) := А / В. В данном выражении символ «÷» задаёт оператор,

именно через него в дальнейшем надо обращаться к построенному правилу;

параметры в скобках являются переменными, на место которых будут ставиться конкретные численные значения; правая часть после знака определения «:=»

26

указывает действие, закрепленное за оператором.

Опираясь на описанный шаблон, реализуем пользовательские операторы для выполнения эквивалентных вычислений в областях электрической энергии и магнитной индукции. Полученные правила приведены на рисунке 40.

Рисунок 40 – Операторы пользователя для пересчета единиц электрической энергии и

магнитной индукции

Добавим в программу оператор пользователя для преобразования

характеристик мощности. Новые инструменты показаны на иллюстрации 41.

Рисунок 41 – Операторы пользователя для пересчета единиц мощности

27

Заключение

Система Mathcad по праву называется современной универсальной математической средой для многих тысяч пользователей. Отличительной чертой данного интегрированного приложения, разработчиком которой является фирма MathSoft, является подготовка документов, в которых объединяются задание исходных данных, математическое описание их обработки и результаты расчетов в виде числовых показателей, таблиц и графиков.

В процессе работы в среде Mathcad в окне редактирования формируется документ. Данный файл состоит из трех видов областей: формульных,

текстовых и графических. Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение. Области просматриваются системой,

интерпретируются и исполняются. Просмотр идет слева направо и сверху вниз.

Текстовая область служит для размещения текста между формулами и графиками. Подобные вставки в программе Mathcad могут быть двух видов:

Блок текста (элемент, занимающий всю ширину страницы) и Текстовое поле

(легко перемещаемый и настраиваемый объект).

Для ввода формулы нужно установить указатель мыши в свободном месте окна редактирования и щелкнуть левой кнопкой мыши. Появится визир в виде синего крестика. Он указывает место, с которого начинается набор формулы.

Константами называются поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. В Mathcad применяются десятичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числовые константы.

Десятичные константы могут быть целочисленными, вещественными,

заданными с фиксированной точкой, и вещественными, заданными в виде мантиссы и порядка.

Переменные являются поименованными объектами, которым присвоено

некоторое значение. Оно может изменяться по ходу выполнения программы.

28

Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами.

Переменные должны быть предварительно определены пользователем, т.

е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак «:=», тогда как знак «=» отведен для вывода значения константы или переменной. Попытка использовать неопределенную переменную ведет к выводу сообщения об ошибке.

В Mathcad различают локальные и глобальные переменные. Определение локального параметра: «Имя_переменной := выражение». Глобальные переменные вводятся: «Имя_переменной ≡ выражение».

Если переменной присваивается начальное значение с помощью оператора «:=», такое присваивание называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать. Mathcad

читает рабочий документ слева направо и сверху вниз, поэтому определив переменную, ее можно использовать в вычислениях везде правее и ниже равенства, в котором она определена. Однако с помощью знака «≡» можно обеспечить глобальное присваивание, т. е. оно может производиться в любом месте документа. К примеру, если переменной присвоено таким образом значение в самом конце документа, то она будет иметь это же значение и в начале документа.

Предопределенные (системные) переменные – особые переменные,

которым изначально системой присвоены начальные значения. К ним относятся: число π, системная бесконечность, мнимая единица и другие.

Операторы - элементы языка, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических и логических операций, знаки вычисления сумм,

произведений, производной и интеграла и т. д.

29

Ранжированная переменная – переменная, которая принимает ряд значений при каждом ее использовании. Для определения ранжированной переменной общего вида используется выражение: «Имя_переменной :=

начальное_значение, начальное_значение + шаг .. конечное_значение». Если шаг равен 1, тогда ранжированную переменную можно задавать следующим образом: «Имя_переменной := начальное_значение.. конечное_значение».

Полученный результат вычислений будет представлен в виде таблицы, при щелчке мышью по которой появляется полоса прокрутки. Перемещая ползунок полосы прокрутки, можно увидеть полный набор значений исходной функции.

Функция – выражение, согласно которому проводятся некоторые вычисления с его аргументами и определяется его числовое значение. Функции

впакете Mathcad могут быть встроенные и определенные пользователем.

Впрограмме имеется множество встроенных функций. Для их ввода используется команда меню Вставка-Функция. В диалоговом окне также можно выбрать нужную инструкцию по её наименованию и описанию действия.

Функция пользователя вначале должна быть определена, а затем к ней может быть произведено обращение. Она задаётся следующим образом: «Имя_функции (Переменная1, Переменная2, …) := Выражение». Указывается имя функции, в скобках отмечается список аргументов - это перечень используемых в выражении переменных, разделяемых запятыми. Затем записывается знак присваивания, справа от которого вводится выражение.

Обращение к функции осуществляется по ее имени с подстановкой на место аргументов констант, переменных, определенных до использования к функции, и выражений.

Способ, которым Mathcad выводит числа, называется форматом результата. Формат результата может быть установлен для всего документа

(глобальный формат) или для отдельного результата (локальный формат).

Глобальный формат устанавливается в разделе меню Форматирование формул. В диалоговом окне, появляющемся после выбора этой команды,

30