Z9411_Моделирование_Лаб2_КафкаРС

устанавливается выводимая точность числа, диапазон показателя степени и точность нуля. Для установки формата отдельного числа нужно: щелкнуть мышью на выражении, результат которого нужно переформатировать; вызвать команду форматирования и проделать вышеописанные действия.

В Mathcad встроено несколько различных типов графиков, которые можно разбить на две большие группы.

Двумерные графики:

-X-Y (декартовый) график (X-Y Plot);

-полярный график (Polar Plot).

Трехмерные графики:

-график трехмерной поверхности (Surface Plot);

-график линий уровня (Contour Plot);

-трехмерная гистограмма (3D Bar Plot);

-трехмерное множество точек (3D Scatter Plot);

-векторное поле (Vector Field Plot).

Деление графиков на типы несколько условно, т. к., управляя установками многочисленных параметров, можно создавать комбинации типов графиков, а также новые подвиды.

Для построения графиков используются шаблоны. Их перечень содержится в команде меню Вставить график. Большинство параметров графического процессора, необходимых для построения графиков, по умолчанию задается автоматически. Поэтому для начального построения того или иного вида достаточно задать тип графика.

Mathcad представляет пользователю разнообразные средства форматирования графика - изменение толщины и цвета линий, вида осей координат, координатные сетки, текстовые комментарии и др.

Порядок действий при построении всех графиков одинаков. После выбора шаблона отображения зависимости в рабочем документе открывается графическое окно с помеченными для ввода позициями, которые нужно

31

заполнить. Когда график определен (заполнены все помеченные позиции), то для его построения при автоматическом режиме вычислений достаточно щелкнуть мышью вне поля графика.

В полярной системе координат каждая точка задается углом ϕ и модулем радиуса-вектора r(ϕ). График функции обычно строится в виде линии, которую описывает конец радиуса-вектора при изменении угла ϕ в определенных пределах, чаще всего от 0 до 2π. Опция Полярные координаты (Polar Plot)

выводит шаблон таких графиков в форме окружности с шаблонами данных.

Перед построением таких графиков надо задать значения переменной ϕ и

функцию r(ϕ).

Трехмерные, или 3D-графики, отображают функции двух переменных вида Z(X, Y).

При построении трехмерных графиков в ранних версиях Mathcad

поверхность нужно было определить математически. Теперь применяют функции Mathcad CreateMesh или CreateSpace.

Функция CreateMesh (F (или G, или f1, f2, f3), x0, x1, y0, y1, xgrid, ygrid, fmap) - создает сетку на поверхности, определенной функцией F. x0, x1, y0, y1 –

диапазон изменения переменных; xgrid, ygrid – размеры сетки переменных; fmap – функция отображения. Функция CreateMesh по умолчанию создает сетку на поверхности с диапазоном изменения переменных от –5 до 5 и с сеткой 20 х 20 точек.

Функция CreateSpace (F, t0, t1, tgrid, fmap) - возвращает вложенный массив трех векторов, представляющих х-, у-, и z-координаты пространственной кривой, определенной функцией F. t0 и t1 – диапазон изменения переменной, tgrid – размер сетки переменной, fmap – функция отображения.

Задачи линейной алгебры, решаемые в Mathcad, можно условно разделить на два класса. Первый - это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они

32

реализованы в виде операторов и нескольких специфических функций,

предназначенных для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. д. Второй класс - это более сложные действия, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как вычисление определителей и обращение матриц, определение собственных векторов и собственных значений, решение систем линейных алгебраических уравнений и различные матричные разложения.

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в Mathcad в виде операторов, причем их запись максимально приближена к математическому значению. Каждый инструмент выражается соответствующим символом.

Некоторые операции применимы только к квадратным матрицам N × N,

некоторые допускаются только для векторов (например, скалярное произведение), а другие, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Имеется два способа создать матрицу.

В качестве первого метода выделяется использование команды создания массивов:

- воспользоваться командой Вставка-Матрица;

- нажатие клавиш Ctrl + M;

- выбор пиктограммы с изображением шаблона матрицы на панели инструментов Матрицы.

В диалоговом окне требуется указать размерность матрицы, т. е.

количество ее строк и столбцов. Далее на экране появится шаблон, в который нужно ввести значения элементов массива.

Обращаться к отдельным элементам вектора или матрицы можно,

используя нижний индекс. Для элемента матрицы указываются два индекса,

один - для номера строки, другой - для номера столбца. Чтобы ввести нижний индекс, нужно выбрать специальную команду на панели Матрицы

Вторым способом является использование ранжированной переменной.

33

Пример некоторых функций, работающих с векторами и матрицами: length(V) - возвращает число элементов в векторе v; last(V) - возвращает индекс последнего элемента; max(A) - возвращает максимальный по значению элемент; min(A) - возвращает минимальный по значению элемент.

Для работы с матрицами существует отдельный ряд встроенных функций: augment(M1, М2) - объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число строк; identity(n) - создает единичную квадратную матрицу размером n× n ; stack(MI, M2) - объединяет две матрицы М1 и M2, имеющие одинаковое число столбцов, сажая M1 над M2; diag(V) - создает диагональную матрицу,

элемент главной диагонали которой - вектор V и другие.

Все матричные и векторные операторы допустимо использовать как в численных, так и в символьных расчетах. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами,

но и над переменными.

Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над какими объектами эти операции должны производиться, т. е. надо выделить конкретный элемент, которым может выступать выражение,

переменная, матрица.

Некоторые типы символьных преобразований, когда пользователем выбран элемент вида выражение: Solve (Решить) - вычислить выделенное выражение в вещественных или комплексных числах, или разрешить в символьном виде; Simplify (Упростить) – сократить запись выражения с выполнением таких операций, как удаление подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств; Expand (Расширить) - используется для расширения выражений посредством раскрытия скобок и разложения по степеням; Collect (Подобные) служит для группировки подобных слагаемых.

Ряд преобразований выполняется относительно переменной. Для этого необходимо выделить параметр, установив на нем маркер ввода. После этого

34

становятся доступными следующие операции: Explicit (Замена) - заменить указанную переменную содержимым буфера обмена; Series (Разложить на составляющие) - найти несколько членов разложения выражения в ряд Тейлора относительно выделенной переменной; Parfrac (Преобразование в Частичные Доли) - разложить на элементарные дроби выражение, которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной.

Операции с выделенными матрицами представлены позицией подменю Матрицы, которая содержит следующие операции: Транспонирование — получить транспонированную матрицу; Инвертирование — создать обратную матрицу; Определитель — вычислить детерминант матрицы.

В позиции Преобразование содержится раздел операций преобразования,

имеющий меню со следующими возможностями: Fourier (Фурье) — выполнить прямое преобразование Фурье относительно выделенной переменной;

Invfourier (Фурье Обратное) — выполнить обратное преобразование Фурье относительно выделенной переменной; Laplace (Лапласа) — выполнить прямое преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат — функция переменной s); Invlaplace (Лапласа Обратное) — выполнить обратное преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат — функция переменной t).

Система Mathcad имеет большие возможности для решения уравнений и систем уравнений.

Известно, что многие уравнения и системы уравнений не поддаются точному решению. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Однако в таком случае корни могут определяться численными (приближенными) методами с заданной точностью (не более значения заданной системной переменной TOL).

Рассмотрим некоторые способы решения уравнений с использованием встроенных инструментов среды Mathcad.

35

Уравнения вида f(x)=0 можно решать посредством функции root(f(x),x),

которая возвращает значение переменной x, при которой выполняется равенство f(x)=0 . Для использования этой функции необходимо задать начальное приближение к корню.

В некоторых ситуациях функцию root можно использовать без указания начального приближения. В этом случае нужно отметить концы отрезка,

содержащего искомый корень, причем на указанном интервале он должен быть единственным.

Точное решение уравнения можно получить и при помощи символьной операции solve. Однако функция root в этом отношении является более мощным инструментом и ее целесообразно применять там, где попытка символьного решения уравнения не дает положительного результата.

Результат функции root в общем случае является приближенным. Как правило, математические методы поиска приближенного решения уравнения представляют собой некоторый итерационный процесс. А именно, задается начальное приближение к корню уравнения, затем на каждом шаге это значение уточняется. Процесс прекращается, когда модуль разности двух последних приближений к корню уравнения не будет превосходить заданного положительного числа (которое считают точностью решения).

Управлять точностью вычислительного процесса в системе Mathcad

можно с помощью системной переменной TOL. По умолчанию TOL=0.001.

Чтобы изменить точность в определенной точке рабочего документа нужно использовать присваивание вида, например, «TOL:=0.000001». Для изменения точности в пределах всего документа необходимо изменить значение переменной TOL на вкладке Расчет.

Другой способ решения уравнений в системе Mathcad – это использование конструкции Given – find, которая предназначена для решения уравнений вида f(x)=g(x). Использование такого метода решения уравнений состоит из следующих этапов: задаем переменной x начальное приближение к

36

корню уравнения; набираем ключевое слово Given; записываем исходное уравнение в виде f(x)=g(x), причем знак равенства надо набрать с помощью комбинации клавиш Ctrl+=; добавляем find(x)=.

Существует ряд способов эффективного использования векторов и матриц в системе Mathcad при решении некоторых математических задач.

Решение алгебраических уравнений вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0, где n≥1 – некоторое натуральное число, а коэффициенты an, an-1, …, a - некоторые действительные числа. Для решений уравнений такого типа можно использовать функцию polyroots(v), где v – вектор, состоящий из коэффициентов уравнения. Команда polyroots возвращает столбец, координаты которого являются корнями исходного уравнения.

В среде Mathcad также представлены способы решения систем линейных алгебраических уравнений. Требуется оформить эту систему в матричном виде,

то есть выписать массив системы A и вектор свободных членов b. Для решения системы, заданной в подобном виде, применяется метод обратной матрицы. В

соответствии с этим методом, решение исходной системы задается формулой:

X=A-1b, если только определитель матрицы A отличен от нуля.

В системе Mathcad есть встроенная функция lsolve(A,b), позволяющая реализовать матричный метод решения системы линейных алгебраических систем с матрицей А и вектором свободных членов b.

Рассмотрим способы решения систем нелинейных уравнений средствами

Mathcad. Для достаточно простых систем уравнений (в том числе и линейных)

решение можно получить в символьном виде, используя конструкцию Givenfind. Для этого набираем ключевое слово Given. Затем вводим уравнения системы, причем обе части уравнений должны быть связаны «жирным» знаком равенства. Набираем функцию find и указываем ее аргументы, которыми являются неизвестные переменные исходной системы. Завершаем набор знаком символьного преобразования. В результате получим матрицу (или вектор)

решения, столбцы которой определяют значение неизвестных исходной

37

системы, причем их порядок (считая сверху вниз) соответствует порядку их следования в функции find. Если после символьного решения поставить знак равенства, то получим численное решение.

Mathcad - это популярная система компьютерной математики,

предназначенная для автоматизации решения массовых математических задач в самых различных областях науки, техники и образования.

38