- •2. Решение нелинейных уравнений
- •1. Машинная арифметика и ошибки вычислений.
- •2. Решение нелинейных уравнений.
- •В уравнении
- •3. Численное интегрирование.
- •Результаты численного интегрирования тестовой задачи.
- •3.6. Адаптивные программы.
- •При решении системы из двух уравнений обычно применяют метод Крамера, согласно которому корни уравнений находятся по отношению двух определителей
- •Неизвестные параметры находим подстановкой
- •8. Решение Обыкновенных дифференциальных уравнений.
Результаты численного интегрирования тестовой задачи.
Кол-во Разби- Ений n |
Методы | ||||
Прямоугольников |
трапеций |
Симпсона | |||
левых |
Правых |
средних | |||
1 |
2,000000 |
3,718282 |
2,648721 |
2,859141 |
2,718661 |
2 |
2,324361 |
3,183502 |
2,700513 |
2,753931 |
2,718319 |
4 |
2,512437 |
2,942007 |
2,713815 |
2,727222 |
2,718284 |
10 |
2,675683 |
2,761597 |
2,718103 |
2,718640 |
2,718282 |
20 |
2,675683 |
2,761597 |
2,718103 |
2,718640 |
2,718282 |
100 |
2,709705 |
2,726888 |
2,718275 |
2,718296 |
2,718282 |
500 |
2,716564 |
2,720001 |
2,718282 |
2,718282 |
2,718282 |
1000 |
2,717723 |
2,719141 |
2,718282 |
2,718282 |
2,718282 |
10000 |
2,718196 |
2,718368 |
2,718282 |
2,718282 |
2,718282 |
100000 |
2,718273 |
2,718290 |
2,718282 |
2,718282 |
2,718282 |
Результаты расчета показывают, что при использовании методов левых и правых прямоугольников для обеспечения даже невысокой точности вычисления приходится проводить с очень мелким шагом, приводящим к значительному увеличению продолжительности счета. При этом незначительное усовершенствование методов и переход к формулам средних прямоугольников или трапеций в несколько раз снижает погрешность вычислений, причем преимущество усовершенствования возрастает с увеличением требуемой точности расчета. По этой причине методы левых и правых прямоугольников практически не используются.
Как и следовало ожидать, наиболее точным оказался метод Симпсона. Применение трехточечной формулы позволяет проводить вычисления с более широким шагом интегрирования. При заданной точности вычисления интеграла общее количество вычислений функции меньше, несмотря на то, что по методу Симпсона в зависимости то выбранной схемы на каждом шаге производится два или три обращения к функции по сравнению с однократным обращением в методах средних прямоугольников и трапеций.
Погрешность метода средних прямоугольников при вычислениях с постоянным шагом x оценивается величиной
,
где - вторая производная функцииf(x).
Погрешность метода трапеций приблизительно равна
.
В общем случае погрешность формулы средних прямоугольников примерно вдвое меньше, чем у формулы трапеций. Поэтому, если значения функции одинаково легко определяются в любых точках, то лучше вести расчет по более точной формуле средних прямоугольников. Метод трапеций употребляют в тех случаях, когда функция задана только в узлах сетки, а в середине интервала ее значения неизвестны.
Главные члены погрешностей у формул средних прямоугольников и трапеций имеют различные знаки, поэтому, если вести расчеты по обеим формулам, точное значение интеграла будет, как правило, находиться в вилке между ними. Используя это свойство, можно добиться повышения точности расчетов. Так как
,,
то, применяя комбинированную формулу
,
сократим основные источники погрешностей. Подставляя в нее конкретные значения, получим формулу
,
соответствующую методу Симпсона, погрешность которого оценивается величиной
.
В методах средних прямоугольников и трапеций уменьшение шага интегрирования x вдвое уменьшает погрешность оценки площади элементарного прямоугольника в 8 раз, однако, общее количество этих прямоугольников увеличивается в 2 раза, поэтому общая погрешность уменьшается приблизительно в 4 раза. Коэффициент уменьшения ошибки пропорционален величине второй производной и обычно не равен в точности 4, посколькуне является константой и сказывается также влияние членов более высокого порядка. Однако, при реальных вычислениях с функциями, имеющими непрерывные ограниченные вторые производные, можно ожидать, что удвоение числа элементарных отрезков для любой формулы – средних прямоугольников или трапеций – приблизительно учетверяет точность.
Если в методе Симпсона уменьшить шаг x в два раза , то каждое
уменьшится в 32 раза, при этом общее количество элементарных фигур возрастет в 2 раза. Погрешность в целом уменьшится приблизительно в 16 раз.
При выборе количества разбиений n или величины шага x заранее неизвестно, какова будет погрешность вычисления интеграла. Кроме того, точное значение интеграла также неизвестно и сравнить полученное значение с точным нельзя.
Для оценки точности вычисления сравнивают два последовательных приближения к результату. Сначала задают некоторое начальное n1, для которого вычисляют приближенное значение S1. Затем число участков удваивают, n1=2n1, соответственно длины участков сокращаются вдвое, . Далее вычисляют новую сумму площадей более узких фигурS2. Она точнее приближает искомое значение интеграла. Разность сравнивают с наперед заданным малым положительным числом. При считают, чтоS2 можно принять за приближенное значение интеграла, полученное с заданной точностью . В противном случае процесс деления отрезков повторяют, принимая n3=2n2, вычисляют S3 и сравнивают с.
Для непрерывных функций условие должно наступить обязательно, если>маш. Следует отметить, что выполнение условия в общем случае не означает, что погрешность вычисления интеграла меньше величины. Здесь сравнивается окончательное значение Sk не с точным значением, а с вычисленным ранее при более крупном шаге интегрирования. Тем не менее, для многих функций такая оценка величины погрешности является достаточной.