- •Электричество
- •1. Закон кулона. Напряжённость электростатического поля. Теорема гаусса Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для решения
- •2. Потенциал. Связь напряжённости электрического поля с потенциалом Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для решения
- •3. Конденсаторы. Энергия электрического поля Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Задачи для решения
- •4. Законы постоянного электрического тока Основные формулы
- •Примеры решения задач Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
- •Электричество
1. Закон кулона. Напряжённость электростатического поля. Теорема гаусса Основные формулы
Закон сохранения заряда в замкнутой системе
Q1+Q2+…+Qn=const.
Закон Кулона
,
где k=9.109 м/Ф; F – сила взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и Q2; r – расстояние между зарядами; ε – диэлектрическая проницаемость среды.
Напряженность электростатического поля
,
где – сила, действующая на точечный положительный зарядQ0, помещенный в данную точку поля.
Напряжённость электростатического поля точечного заряда Q на расстоянии r от заряда
.
Поток вектора напряженности электростатического поля:
а) через площадку dS: ;
б) через замкнутую поверхность S: ,
где – вектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с нормалью к площадке;Еn – проекция вектора на нормальк площадкеdS.
Принцип суперпозиции электростатических полей
,
где – напряженность поля, создаваемого зарядомQi .
Плотность зарядов (линейная τ, поверхностная σ, объемная ρ)
.
Теорема Гаусса для электростатического поля:
а) в случае дискретного распределения зарядов
;
б) в случае непрерывного распределения зарядов
,
где Еn – проекция вектора на нормаль к площадке dS;–алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхностиS;n– число зарядов; Ф/м – электрическая постоянная.
В случае диэлектрика и– свободные заряды внутри замкнутой поверхности S.
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью,
,
где σ – поверхностная плотность заряда.
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной сферической поверхностью радиусом R с зарядом Q на расстоянии r от центра сферы,
Напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечным цилиндром радиусом R на расстоянии r от оси цилиндра,
Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура L
,
где – проекция вектора на направление элементарного перемещения.
Примеры решения задач
Пример 1
Два заряда Q1 = 27 мкКл и Q2 = -64 мкКл расположены на расстоянии 5 м друг от друга. Найти напряженность электрического поля в точке, удаленной на расстоянии = 3 м от первого и = 4 м от второго заряда. Найти силу, действующую на заряд Q3 = 2 мкКл, помещенный в точку А.
Дано: Q1 = 27 мкКл = 27.10-6 Кл Q2 = -64 мкКл = -64.10-6 Кл r = 5 м = 3 м = 4 м Q3 = 2 мкКл = 2.10-6 Кл |
EA, F-? |
По принципу суперпозиции электрических полей
.
Поскольку , то угол САВ = 900. Следовательно, .
По теореме Пифагора , где;.
В/м.
Сила F, действующая на заряд Q3,
F = .
Ответ: EA =
Пример 2
По полуокружности радиусом R = 0,1 м равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ = 0,2 мкКл/м. Найти напряженность электрического поля в центре полуокружности.
Дано: R = 0,1 м τ = 0,2 мкКл/м = 0,2.10-6 Кл/м |
E -? |
Мысленно разобьем полуокружность на бесконечно малые дуги. Пусть dQ– заряд дугиdl,тогда . НапряженностьdEполя, создаваемого зарядомdQв точкеO,
–угол, который опирается на дугу dl.
Разложим вектор на две составляющие вдоль осейox и oy:
По принципу суперпозиции электрических полей . Но т.к. горизонтальные вклады в напряженность поля от зарядов dQ и dQ’ симметрично расположенных относительно OY, взаимно компенсируются.
Тогда
= В/м.
Ответ: E = В/м.
Пример 3
Бесконечная плоскопараллельная пластина толщиной d = 0,2 м равномерно заряжена по объему с плотностью электрического заряда ρ = 4 нКл/м3. Найти напряженность электрического поля на расстоянии r1 = 0,05 м от срединной плоскости пластины и напряженность поля вне пластины. Для пластины ε = 4.
Дано: d = 0,2 м ρ = 4 нКл/м3 = Кл/м3 r1 = 0,05 м |
E1, E2 -? |
1. Для применения теоремы Гаусса выберем в качестве замкнутой поверхностиS1поверхность цилиндра высотой, который делится срединной плоскостьюπпополам.
По теореме Гаусса . (1)
Вектор направлен от срединной плоскости π перпендикулярно пластине. ПоэтомуEn=0 для всех точек боковой поверхности цилиндра и En=E1=const для всех точек обоих оснований. Тогда формула (1) принимает вид
;
заряд , расположенный внутри цилиндрической поверхности S1, .
Tогда
В/м.
2. Пусть S2 – поверхность цилиндра, высота которого больше толщины d пластины и который делится пополам срединной плоскостью π.
По теореме Гаусса . (2)
En = 0 для точек боковой поверхности; En = E2 = const для точек обоих оснований; Qвнутр= = – заряд пластины, находящийся внутри поверхности S2; ε =1, т.к. оба основания цилиндра находятся вне пластины. Тогда поформуле(2)
В/м.
Ответ: Е1 = 56,5 В/м,Е2 = 45,2 В/м.
Пример 4
Вдоль диагонали куба с ребром 0,1 м. расположена длинная равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда 0,2 мкКл/м. Найти поток вектора напряженности электрического поля через поверхность куба.
Дано: а= 0,1 м τ = 0,2 мкКл/м = 0.2.10-6 Кл/м |
ФЕ-? |
По теореме Гаусса
,
где Qвнутр– заряд нити, расположенный внутри куба;– диагональ куба.
По теореме Пифагора ;, тогда .
.
Ответ: ФЕ.
Пример 5
Показать с помощью теоремы Гаусса, что заряд заряженного проводника расположен лишь на поверхности проводника.
Решение
Выберем замкнутую поверхностьSвнутри проводника, очень близко отстоящую от его поверхности.
По теореме Гаусса
.
Поскольку внутри проводника, а значит,во всех точках поверхностиS. ТогдаЭтот результат справедлив для поверхностиSвнутри проводника, сколь угодно близко расположенной к его поверхности. Следовательно, избыточный заряд проводника находится только на его поверхности.