книги / Метод конечных элементов для решения электротехнических задач

Выражение для текущегорадиуса по границеобласти имеет вид

r N R Ni Ri N j Rj .

(5.82)

С

k ( g ) ,

разом:

учетом выражения (5.82) локальная матрица коэффициентов

вектор-столбцы f ( g )

и f (qg ) определятся следующим об-

k ( g )

N

i

Ni

N j

Ni Ri

N j Rj dL

N j

L( g )

N 3 R

N

2 N

R

N

2 N R

N N 2 R

2 i

i

i

j

2 j

i

j

2 i

i 3j

j dL

( g ) Ni

N j Ri Ni N j

Rj

Ni N j Ri N j Rj

L

L( g )

3Ri Rj

Ri

Rj

;

(5.83)

Ri

Rj

12

Ri 3Rj

( g )

N

i

t0

f

Ni Ri N j Rj dL

( g ) N j

L

N

2 R N

N

j

R

( g )

2R

R

t0

i

i

i

j

t L

i

j

(5.84)

N

N R

N

2

R

dL

0

;

( g )

j

j

6

Ri

2Rj

L

i

j i

( g )

N

q L( g ) 2Ri Rj

i

Ni Ri N j Rj dL

S q

f q

qS

R

2R

. (5.85)

6

( g ) N j

j

Lq

i

71

6.РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЗАДАЧ

СГАРМОНИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ПО ВРЕМЕНИ ПОЛЕМ МКЭ

6.1.Уравнения в переменном электромагнитном поле

В электротехнике большое внимание уделяется процессам с гармонически изменяющимся по времени полем. Например, напряжение в промышленных сетях изменяется во времени по закону синуса или косинуса с частотой 50 Гц. С такой же частотой может изменяться и электромагнитное поле в электротехническом устройстве и вокруг него. Кроме того, любой сигнал можно представить в виде суммы гармонических колебаний. Поэтому исследование гармонически изменяющихся во времени электромагнитных полей представляет большой интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения. Гармонически изменяющиеся во времени поля называют также монохроматическими.

Пусть вектор напряженности электрического поля E( ) в неко-

торой точке пространства изменяется во времени по косинусоидальному закону, причем фазы всех трех прямоугольных проекций одинаковы, т.е. волна линейно поляризована, тогда выражение для E( ) запишется как [7, 12, 13]

E xEmx cos yEmy cos
				(6.1)
			zEmz cos ,

где x, y, z – единичные векторы в декартовой системе координат по направлениям x , y , z соответственно; Emx , Emy , Emz – проекции амплитуды на оси x, y, z ; – фаза (примем, что фазы всех

трех проекций одинаковы), рад; – круговая (циклическая) частота гармонических колебаний, рад/с.

72

Амплитуды и фаза зависят не от времени, а только от координат x, y, z .

Обозначим

Ex ( ) Emx cos Re Emx ei ei ;

Ey ( ) Emy cos Re Emy ei ei ;

(6.2)

Ez ( ) Emz cos Re Emz ei ei ,

где i – мнимая единица; Re

– реальная часть комплексного чис-

ла.

Комплекснойамплитудойвектора

( )

назовемвектор[7, 12, 13]

E

i

i

Em e

.

(6.3)

E xEmx yEmy zEmz e

Тогдамгновенное значение вектора

(t)

определитсяпоформуле

E

( ) Re

E

ei .

(6.4)

E

Аналогично можно записать комплексную амплитуду напря-

женности магнитного поля

e

i

e

i

(6.5)

H xHmx

yHmy zHmz

и мгновенное значение

( ) Re H

ei .

(6.6)

H

Рассмотрим первое уравнение Максвелла:

( )

E

,

(6.7)

rot H

( ) E( )

a

где – удельная электропроводность, 1/(Ом·м).

( ) величину

H

ei , реальная часть кото-

Подставив вместо H

– величину

E

ei , получим

рой равна H

( ) , а вместо E( )

73

ei rot H ei E ei i a E .

После сокращения на ei получается первое уравнение Максвелла в комплексной форме записи (для комплексных амплитуд)

rot H

i a

E

.

(6.8)

Аналогично получается и второе уравнение Максвелла в комплексной форме записи

rot

E

i а H

.

(6.9)

Решив эти уравнения и определив комплексные амплитуды E и H , легконайтимгновенныезначениявекторовполяизсоотношений

E( ) Re E ei , H ( ) Re H ei .

Преимущество комплексной формы записи уравнений Максвелла заключается в том, что время исключается из этих уравнений, что значительно упрощает решение электродинамических задач.

Рассмотрим электродинамические задачи с гармонически изменяющимся во времени электромагнитным полем, в которых можно пренебречь токами смещения. Тогда первое и второе уравнения Максвелла запишутся как

rot H				J	;			(6.10)
rot	E	i				B	,	(6.11)

где J – комплексная амплитуда вектора плотности тока проводимости; H – комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного поля; E – комплексная амплитуда вектора напряженности

электрического поля; B – комплексная амплитуда вектора магнитной индукции; – круговая частота.

Вектор магнитной индукции связан с векторным потенциалом магнитного поля следующим соотношением:

74

B

rot

A

.

(6.12)

После подстановки уравнения (6.12) в уравнение (6.10) с уче-

том того, что H

B

a , получим

rot rot

A

a

J

,

(6.13)

где a – абсолютная магнитная проницаемость;

– относительная

магнитная проницаемость, a

0

; 0 – магнитная постоянная,

0

4 10 7 . Будем

считать,

что

const

и, соответственно,

a

const .

Тогда, пренебрегая токами смещения и используя калибровку Ку-

лона, уравнение (6.13) можно записать следующимобразом[7, 14]:

или

divgrad

A

a

J

,

(6.14)

2

A

a

J

.

(6.15)

После подстановки (6.12) в уравнение (6.11) получим

rot

E

i rot

A

.

(6.16)

В уравнении (6.16) в левой и правой частях роторы от

E

и

A

и

rot grad 0 , из чего следует,

что

E

и

A

равны с точностью до

grad [7, 14]. Здесь

– комплексная амплитуда электрического

потенциала. Таким образом, можно записать

E

i

A

grad или

E

i

A

.

(6.17)

При переходе к статическим полям

A

0

и уравнение (6.17)

преобразуется к виду

grad . В уравнении (6.17) компонента

E

i A является вихревой составляющей и определяется действием

75

переменного магнитного поля, а вторая компонента grad пред-

ставляет собой потенциальную или кулоновскую составляющую и обусловлена действием зарядов [7].

Используя закон Ома в дифференциальной форме, можно запи-

сать [14]:

J

E

i

A

Je

Js ,

(6.18)

где Js – вектор плотности источника переменного тока, Js ; Je – векторплотности вихревого тока, Je i A .

Следует отметить, что только суммарная плотность тока J может быть измерена физически, а величины Js и Je введены для ма-

тематического удобства. Составляющая Js в пределах одного про-

водника есть величина постоянная.

С учетом выражения (6.18) уравнение (6.15) запишется как [14]

2

A

i a

A

a

Js 0 .

(6.19)

Уравнение (6.19) необходимо дополнить уравнением для заданной величины тока в проводнике. Заданный ток в проводнике определится по формуле

I	J	ds i	A		Js ds ,	(6.20)
SC		SC

где SC – площадь поперечного сечения проводника. Введем новую переменную G [14]:

	Js
G		.	(6.21)
	i

Тогда уравнения (6.19) и (6.20) можно записать следующим образом:

2

A

i a

A

i a G

0 ;

(6.22)

76

i a	A	i aG	ds a I .	(6.23)
SC

В результате решения сформированной системы уравнений в каждом узле расчетной области вычисляется вектор комплексной

амплитуды магнитного потенциала A и для каждого из проводников – комплексная величина G .

6.2. Решение одномерной осесимметричной магнитодинамической задачи

Рассмотрим магнитодинамическую задачу определения векторного магнитного потенциала (рис. 6.1) при протекании переменного тока заданной частоты по круглому проводнику. На рис. 6.1: Ra –

радиус проводника; Rb – внешний радиус. В диапазоне изменения радиуса от Ra до Rb – диэлектрическая среда. При решении магни-

тодинамической задачи, кроме определения векторного магнитного потенциала, необходимо найти распределение плотности тока по сечению проводника.

Ra	Rb	r
0
Рис. 6.1. Область исследования

77

Уравнение (6.19) для комплексной амплитуды векторного магнитного потенциала в одномерной осесимметричной постановке запишется как

1 d			dA		i a Az a Js 0 ,
		r	z			(6.24)
r dr			dr

где Az – проекция комплексной амплитуды векторного магнитного потенциала на ось z .

Примем, что на оси симметрии dAdrz 0 , а на бесконечном уда-

лении магнитный потенциал равен нулю.

Уравнение (6.24) с переходом к переменной G преобразуется к виду

	1 d
			r dAz			i a Az i aG 0 .	(6.25)
	r dr			dr

Для заданного тока уравнение (6.25) дополним следующим выражением:

i a Az i aG ds a I ,	(6.26)
SC

где SC – площадьпоперечногосеченияпроводника; I – заданныйток. Алгебраическая форма записи комплексных величин амплитуды магнитного потенциала Az , параметра G и заданного тока I

имеет вид

A

R

iA

I

R

iG

I

;

I

R

iI

I

,

(6.27)

A

; G G

I

z

где

AR , GR , I R

– реальные части комплексных величин;

AI , GI ,

I I

– мнимые части.

Врезультате подстановки выражений (6.27) в уравнения (6.25)

и(6.26) имеем:

78

1 d				R	I
		r	d A		iA			i a AR iAI
r dr				dr

i a GR iGI 0;	(6.28)
i a AR iAI i a GR iGI ds a I R iI I .	(6.29)
SC

После разделения в уравнениях (6.28) и (6.29) реальной и мнимой частей запишем [4]:

1 d

dAR

I

I

r

dr

a A

aG

r dr

R

1 d

dAI

R

(6.30)

i

a

A

r

dr

aG

0;

r dr

a

AI

a

GI

ds

SC

a

a

GR

i

AR

ds

SC

a I R i a I I .

(6.31)

В результате получим систему из четырех уравнений:

d

R

1

r dA

a AI aGI 0 ;

(6.32)

r dr

dr

d

I

a AR

1

r dA

aGR 0

;

(6.33)

r dr

dr

a AI aGI ds a I R ;

(6.34)

SC

a AR aGR ds a I I .

(6.35)

SC

79

Рассмотрим применение метода Галёркина к уравнению (6.32):

T

du

R

I

I

1 d

N

r

dr

au

a g

dV 0 ,

V

r dr

где uR , uI ,

g R

и g I

– приближенные решения.

Так как

1 d

T

R

T

1

d

R

d

N

T

R

N

r du

N

r du

du

,

r dr

dr

dr

r dr

dr

dr

то

T 1 d

duR

1 d

T

duR

d

N T duR

N

r

N

r

.

r dr

dr

dr

dr

dr

r dr

(6.36)

(6.37)

Тогда первое слагаемое выражения (6.36) преобразуется к виду

T 1 d

duR

1 d

T

duR

N

r

dr

dV

N

r

dr

dV

V

r dr

V

r dr

d

N

T

R

du

dV .

dr

V

dr

По теореме Остроградского – Гаусса имеем

1 d

T

duR

T duR

N

r

dr

dV

N

dr

dS,

V

r dr

S

(6.38)

(6.39)

где	T duR			– интеграл по замкнутой поверхности тела.
	N	dS
S		dr
Тогда для одномерной осесимметричной задачи интеграл через
боковую поверхность определится как
		T	duR		2 Lz	T duR
		N		dS		N		Rb d dz
		S		dr	0 0		dr
						T duR		(6.40)
				2 Lz Rb N			,
							dr
80