книги / Неопределенный интеграл
..pdfЗадание 5.2. |
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1) |
x3 |
ln |
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x |
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− |
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x3 |
+ С; |
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2) |
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x4 |
ln |
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x |
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− |
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x4 |
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+ С ; |
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3 |
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9 |
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4 |
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16 |
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3) |
xln |
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x2 + 2 |
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− 2x + 2 |
2arctg |
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x |
+ С ; |
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4) |
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2 x32 ln |
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x |
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− |
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4 x32 |
+ С |
; |
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3 |
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9 |
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5) |
x ln2 |
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x |
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− 2x ln |
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x |
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+ 2x + С ; |
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6) |
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x arctg x − |
1 |
ln |
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1+ x2 |
|
+ С; |
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2 |
1 |
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x2 + 1 |
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1 |
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2 |
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7) |
arctg x − |
|
x |
+ С ; |
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8) |
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xarcsin2x + |
1 |
− 4x |
+ С ; |
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2 |
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2 |
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2 |
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9) |
x3 |
arccosx − |
x2 |
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1− x |
2 |
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− |
2 |
(1− x |
2 |
) |
3 |
+ С ; |
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3 |
3 |
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9 |
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10) |
− |
1 |
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1 |
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+ 1 arctg x − |
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1 |
+ C ; |
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||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
2x |
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x |
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11)Выполнитезамену t = |
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1 |
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: x arcsin |
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1 |
+ x −1+ C ; |
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x |
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|
x |
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12)x arcsin2 x + 2 1− x2 arcsin x − 2x + C ;
13)Воспользуйтесь равенством
ln 1+ |
1 |
|
= ln(x + 1)− lnx : |
1 |
(x2 |
−1)ln(x + 1)− |
x2 |
lnx + |
x |
+ C ; |
x |
2 |
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|||||||
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2 |
2 |
|
14)− 1− x2 arcsin x + x + C ;
15)arctg x(ln(arctg x)− 1)+ C ;
16)ln tg x − cosx ln(tg x)+ C .
2
Задание 5.3. |
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1) |
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2 |
e2x sin3x − |
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3 |
e2x cos3x + С ; |
2) |
e4x |
(3sin3x + 4cos3x)+ С ; |
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25 |
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13 |
13 |
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3) |
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e2x (2cosx + sinx)+ С ; |
4) |
1 x |
a2 − x2 + a2 |
arcsin |
x |
+ C ; |
||||
|
a |
|||||||||||
|
5 |
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2 |
2 |
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101
5) |
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x |
x2 + b + b ln |
|
x + |
|
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x2 + b |
|
+ C ; |
6) |
|
|
x |
(sin(lnx)+ cos(lnx))+ C ; |
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2 |
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2 |
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2 |
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1ln(ex + 1+ e2x )+ C . |
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7) |
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1ex |
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1+ e2x + |
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2 |
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2 |
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Задание 5.4. |
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1) I (n) = |
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1 |
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|
x |
|
|
|
+ |
|
2n − 3 |
1 |
|
I (n − 1); |
|
||||||||||||||||||||||||||||
2(n − 1)a2 |
|
|
(x2 + a2 )n−1 |
|
2n − 2 |
|
a2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I (1) = |
|
1 |
|
arctg |
x |
|
+ C |
, |
|
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||||||||||||||||
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|
a |
a |
|
|
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|
|
|
|
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|
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|||||
|
I (2) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
1 1 |
|
arctg |
x |
+ C , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2a2 |
|
|
(x2 + a2 ) |
|
|
2 |
|
|
a3 |
|
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 1 |
|
x |
|
|||||||||||||||||||||
|
I (3) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
arctg |
|
|
+ C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4a2 |
|
(x2 + a2 )2 |
|
|
8 |
|
a4 |
(x2 + a2 ) |
8 |
a5 |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) I (n) |
= |
x(a2 − x2 )n |
+ |
|
2na2 |
|
I (n −1); |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||
|
I (− 1) = arcsin |
x |
+ C |
, |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
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|
a |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x a2 − x2 |
|
a2 |
arcsin |
|
x |
+ C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
2 |
|
|
2 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
I 3 |
|
= |
|
|
1 x |
|
(a2 − x2 )3 |
|
+ 3a2 |
|
x |
a2 − x2 |
+ 3a4 |
arcsin |
x |
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
8 |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
3) I (n)= x(lnx)n − nI (n −1);
I (0)= x + C ,
I (1)= x lnx − x + C ,
102
I (2)= x ln2 x − 2x lnx + 2x + C ,
I(3)= x(ln3 x − 3ln2 x + 6lnx − 6)+ C .
4)I (n)= xnex − nI (n −1);
I(0)= ex + C ,
I (1)= xex − ex + C ,
I (2)= (x2 − 2x + 2)ex + C ,
I (3)= (x3 − 3x2 + 6x − 6)ex + C .
Задание 6.
1) |
ln |
|
(x − 3)2 |
|
+ C ; |
2) |
ln |
|
2x − 3 |
|
+ C ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x + 1 |
|
|
x + 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ln |
|
x −1 |
|
−16ln |
|
x + 2 |
|
+ 18ln |
|
x + 3 |
|
+ C ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4)x2 − x + ln(x + 1)2 + C ; 2
6) x2 + x + ln x(x − 3)2 (x + 3) + C ;
7) |
x + ln |
|
x3 (x − 2) |
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(x + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9) |
2x2 − ln |
|
x3 (x + 1) |
|
|
|
− |
|
4 |
|
|
+ C ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
+ |
1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
11) |
x + ln |
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
+ C ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
+ 1 |
|
|
|
|
|
x −1 |
||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||
13) |
ln |
|
(x + 1) |
x2 + 1 |
|
+ C ; |
|
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|||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||
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5) x − ln x + 1 + C ;
8) ln |
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(x + 1)(x − 2) |
|
+ C ; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(x − 1)(x + 2) |
|
|
|
|
|||||||||||
10) |
− |
1 |
− |
3 + ln |
|
|
x + 1 |
|
+ C ; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
x2 |
x4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12) |
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
3 |
|
x |
|
+ C ; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
− |
|
− |
|
|
+ 4ln |
|
|
|
||||||||
4x |
4(x − 2) |
|
x − 2 |
14) 34ln xx +− 11 − 12arctg x + C ;
103
15) |
− |
|
1 |
|
+ ln(x2 |
+ 4)+ |
3 |
arctg |
|
x |
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4x |
8 |
|
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2 |
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||||||||
16) |
|
1 |
|
ln |
|
x2 + 1 |
|
+ |
|
1 |
arctg x − |
|
1 |
|
arctg |
x |
+ C ; |
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
x2 + 4 |
|
3 |
6 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
||||||||||||||||||
17) |
|
1 |
arctg |
x |
|
+ |
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
+ C ; |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
54 |
|
18 9+ x2 |
|
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3 |
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|||||||||||||||||
18) |
|
1 |
ln(x2 + 9) |
− |
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
1 |
|
arctg |
x |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
+ C . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9+ x2 ) |
|
54 |
|
189+ x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
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|
2( |
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|
3 |
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|||||||||||||||||||||||||||
Задание 7. |
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||||||||||||
|
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|
1 |
|
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|
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|
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|
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|
1 |
|
|
ln |
|
tg |
|
x |
|
+ 2 |
|
+ C ; |
|
|
x − tg |
x |
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
|
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|
|
+ C ; |
|
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|
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|
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|
2) |
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
3) |
+ C ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
tg |
x |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
tg |
x |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
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2 |
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|
||||
|
|
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|
1+ 2tg |
|
x |
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
4+ 5tg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C ; |
|
|
5) |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C ; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
4 |
− 2tg |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6) ln(2+ cosx)+ |
4 |
arctg |
|
1 |
|
|
|
|
tg |
x |
|
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7)− sin x + ln sin x + C ;
8)− 14cos4 x + 23cos3 x − cos2 x + 4cosx − 9ln(2+ cosx)+ C ;
9) |
1cosx − |
3 |
|
ln |
2cosx − 1 |
+ C ; |
||
|
|
|
|
|||||
4 |
2 |
2cosx + 1 |
||||||
|
2 |
|
|
10)14sin4 x − sin3 x + 72sin2 x − 21sinx + 64ln(3+ sinx)+ C ;
11)13arctg(3tg x)+ C ;
104
12) |
− |
2 |
|
|
|
ln |
(1+ tg2x)− |
1 |
|
x + |
1 |
ln |
|
tg x |
|
− |
1 |
|
ln |
|
4 |
+ tg x |
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
13) |
1 |
|
arctg |
2 |
tg x |
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14) |
|
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx |
|
3sin |
3 |
x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
15) |
2 |
|
|
cos7 x − 2 |
|
|
cos3 x + C ; |
16) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
+ C ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
5cos5 |
|
x |
3cos3 |
|
x |
|
cosx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
17) |
|
1sin6 x − 1sin8 x + C ; |
|
|
|
|
|
|
18) |
|
|
|
1 |
x − |
|
1 |
sin4x − |
|
1 |
|
|
sin3 |
|
2x + C ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
48 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
64 |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|||||||||||||||
19) |
|
5 |
x + |
|
|
1 |
|
sin8x + |
3 |
|
sin16x − |
1 |
|
|
|
sin3 |
8x + C ; |
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
32 |
256 |
|
|
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192 |
|
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||||||||||||||||||||
20) |
− |
|
ctg3x |
− ctg x + C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21) |
|
|
|
tg x + |
|
1 |
sin2x − |
|
3 |
|
x |
+ C ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||
22) |
|
1 |
|
tg6x − |
1 |
tg4x + |
1 |
tg2x + ln |
|
cosx |
|
+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6 |
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1 |
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4 |
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1 |
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2 |
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1sin2x − |
1sin4x + C ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23) |
C − |
|
ctg5x + |
|
|
ctg3x − ctg x − x ; |
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24) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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4 |
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8 |
|
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|||||||||||||||
25) |
2cos |
x |
|
− |
6cos |
5x |
+ C |
; |
|
|
|
|
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|
|
26) |
|
|
|
1 |
sin5x + 1sinx + C ; |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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12 |
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10 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
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5 |
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2 |
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|||||||||||||||
27) |
|
1 1 |
sin3x + |
1 |
sin7x + sinx + |
1 |
|
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|
|
|
|
+ C ; |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
7 |
9 |
sin9x |
|
|
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|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 3 |
|
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|
|
|
|||||||||||
28) |
− |
|
1 |
|
|
|
cos6x − |
|
1 |
cos4x − 1cos2x + C . |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||
Задание 8. |
|
|
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|
( |
|
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|
|
|
) |
|
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|
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|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||||||||||||||||
1) x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ C ; |
|
|
|
|
2) − x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 x |
+ C ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x + 2ln 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − ln 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) 23ln(1+ 3 x2 )+ C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) 34(4 x3 − ln(1+ 4 x3 ))+ C ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) 2 |
|
|
x + 6 |
6 |
|
x + 3ln |
|
x − |
1 |
|
+ C ; |
|
|
|
|
6) 24ln |
|
|
12 x |
|
+ |
12 |
− |
6 |
|
|
+ C ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
12 x |
|
6 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105
7) 63 (1+ x) |
2 |
|
1+ x |
+ |
1+ x |
− |
1 |
|
+ C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
10 |
|
7 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
9 |
|
|
3 |
(5x − |
8) |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8) |
|
|
|
|
|
+ |
|
(5x − 8) |
+ C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
25 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||
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|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1− 2x −1; |
|
|
1 |
|
2+ x |
|
|||||||||||||||||||||||
9) C − |
|
|
1− 2x − 24 1− 2x − 2ln |
|
10) |
|
+ C; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2− x |
|
|||||
11) |
2 |
|
|
|
|
+ C; |
|
|
|
12) |
|
(2x2 −1) 1+ x2 |
+ C; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13) |
− |
|
|
|
|
1− x2 |
− arcsinx + C; |
|
|
|
14) C − |
1 |
arccos |
5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
5 |
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15) |
C − |
|
(x2 |
+ 9)3 |
; |
|
|
16) |
|
1 |
|
arctg |
|
|
|
2x |
|
+ C; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
27x3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
17) |
|
2 2x2 −1 |
− |
|
(2x2 −1)3 |
+ C; |
|
|
|
|
18) |
|
|
x − 4 |
|
+ C; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
3x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4+ x2 |
|
|
|
|
|||||||||
19) |
2 |
|
|
|
|
2x − 4 + C; |
|
|
|
20) |
|
2 |
|
|
(ex + 2)5 |
− 8 |
|
(ex + 2)3 + 8 ex + 2 + C; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
21) |
|
3 |
|
|
3 (e2x + 4)8 − |
12 3 (e2x + 4)5 + 123 (e2x + 4)2 |
+ C; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22) |
3ln |
|
x + |
3 |
+ |
x |
2 |
|
+ 3x + 3 |
|
+ ln |
|
1 |
|
|
+ |
1 |
+ |
|
|
x2 + 3x + |
3 |
|
+ C; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
x + 1 |
2 |
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
23) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
||||
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
1.Что такое первообразная для функции?
2.Для каких функций существуют первообразные?
3.Как связаны между собой две первообразные для одной функции?
4.Что такое неопределенный интеграл от функции?
5.Какими свойствами обладает неопределенный интеграл?
6.Какая операция является обратной операции дифференцирования?
7.Чему равна производная неопределенного интеграла?
8.Чему равен дифференциал неопределенного интеграла?
9.Чемуравенинтегралотдифференциаланекоторойфункции?
10.В чем состоит свойство инвариантности формул интегрирования?
11.Как сделать замену переменной в неопределенном инте-
грале?
12.Для нахождения каких интегралов используется формула интегрирования по частям?
13.Приведите пример интеграла, для которого формула интегрирования по частям приводит к уравнению относительно исходного интеграла.
14.Какая формула называется рекуррентной? Приведите
пример.
15.Назовите основные методы интегрирования.
16.Какой вид имеет дробно-рациональная функция?
17.Перечислите элементарные дроби.
18.Каков алгоритм разложения правильной дроби в сумму элементарных дробей?
19.Какая рациональная дробь называется неправильной?
20.Каков алгоритм интегрирования правильной рациональной дроби?
21.Каков алгоритм интегрирования неправильной рацио-
нальной дроби?
22. В результате какой подстановки интеграл видаR(sinx, cosx)dx сводится к интегралу от рациональной функции?
107
23. Назовите основную тригонометрическую подстановку, в результате которой интеграл вида R(sinx, cosx)dx сводится к интегралу от рациональной функции.
24. Какая подстановка сводит интеграл R(sinx, cosx)dx
к интегралу от рациональной функции в случае, |
когда функция |
|
R(sinx,cosx) является нечетной относительно синуса? |
|
|
25. Какая подстановка сводит интеграл R(sinx, |
cosx)dx |
|
к интегралу от рациональной функции в случае, |
когда функция |
|
R(sinx,cosx) является нечетной относительно косинуса? |
|
|
26. Какая подстановка сводит интеграл R(sinx, |
cosx)dx |
|
к интегралу от рациональной функции в случае, |
когда функция |
R(sinx,cosx) является четной относительно синуса и косинуса?
27.Назовите три метода нахождения интегралов вида
sinn xcosm x dx в зависимости от четности (нечетности) и поло-
жительности чисел n, m.
28. С помощью каких формул интегрируют произведения синусов и косинусов различных аргументов?
29. С помощью какой подстановки интеграл вида
|
|
m1 |
|
m2 |
|
|
mk |
|
|
R x,x n1 |
,x n2 ,…,x nk dx сводятся к интегралам от дробно-рацио- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нальных функций? |
|
||||||||
|
30. |
Назовите подстановки, с помощью которых интегралы |
|||||||
вида |
R(x, a2 |
− x2 )dx , R(x, |
a2 + x2 )dx , R(x, x2 − a2 )dx сво- |
дятся к интегралам от дробно-рациональных функций.
31.Что такое дифференциальный бином?
32.В каких случаях интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции?
108
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа 1
Тема. Табличные интегралы. Подведение линейной функции под знак дифференциала
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1) |
|
|
3x + 5dx ; |
|
2) |
|
dx ; |
3) |
(3x + 5)10dx ; |
4) sin(3x + 5)dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x + 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
1 |
|
|
|
|
|||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
6) e |
3x+5 |
dx ; |
7) 10 |
3x+5 |
dx ; |
8) |
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
2 |
|
(3x + 5) |
|
|
|
|
|
9x |
2 |
+ 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||
9) |
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|
1 |
|
dx ; |
10) |
|
|
|
1 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
|
9x2 − 4 |
|
9x2 − 4 |
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|||||||||||||||||||||||||
Вариант 2 |
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|
4 |
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|
|
|
|
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||||||||||||||
1) |
|
|
1 |
|
dx ; 2) |
|
|
dx ; 3) |
|
1 |
|
dx ; |
4) cos(2x − 5)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2x |
− 5)2 |
2x − 5 |
3 2x |
− 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
6) e2x−5dx ; |
7) 52x−5dx ; 8) |
|
|
|
1 |
|
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
2 |
(2x − 5) |
16 |
+ 49x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
9) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx ; |
10) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
16 |
+ 49x |
2 |
|
16 |
− 49x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||
Вариант 3 |
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|
|
4dx |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||
1) |
(7− 2x)5 dx ; |
|
2) 3 (7− 2x)dx ; 3) |
|
|
|
; |
4) cos(7− 2x)dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(7− 2x)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
6) e7−2xdx ; |
7) 37−2x dx ; |
8) |
|
1 |
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
2 |
(7− 2x) |
|
16− |
9x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9) |
|
1 |
dx ; |
10) |
|
|
|
1 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
16+ 9x2 |
|
16 |
+ 9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
|
1 |
|
|
|
|
dx ; 2) |
7(3x + 2)dx ; 3) |
|
|
dx ; 4) |
sin(3x + 2)dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 (3x + 2)2 |
(3x |
+ 2)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
6) 103x+2 dx ; |
|
7) e3x+2dx ; |
8) |
|
1 |
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
2 |
(3x + |
2) |
|
9 |
+ 25x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9) |
|
|
1 |
|
|
|
|
dx ; |
|
10) |
|
|
1 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
9− 25x2 |
|
|
9− 25 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) |
(4x − 3)9 dx ; |
2) |
|
|
|
dx ; |
3) |
|
|
|
|
|
; |
4) sin(4x − 3)dx ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4x − 3 |
|
|
|
|
|
|
(4x − |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
|
6) e4x−3dx ; |
|
|
7) 54x−3dx ; |
|
8) |
|
|
|
1 |
|
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||||
|
cos |
2 |
(4x − 3) |
|
|
|
|
|
|
|
25+ |
4x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9) |
|
1 |
dx ; |
10) |
|
|
|
|
|
1 |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
25− 4x2 |
25 |
− 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) |
|
1 |
dx ; 2) |
|
|
|
dx; 3) |
|
1 |
|
dx ; 4) cos(2− 3x)dx ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(2− 3x)5 |
|
2− 3x |
4 (2− |
3x)3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
; |
|
|
6) 7e |
2−3x |
dx ; |
|
7) |
4 |
2−3x |
dx ; |
8) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||||||
|
cos |
2 |
(2− 3x) |
|
|
|
|
|
|
|
25x |
2 |
− 36 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
9) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx ; |
10) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
25x2 + 36 |
25x2 + 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110