книги / Неопределенный интеграл

Контрольная работа 2

Тема. Метод подведения функции под знак дифференциала

Вариант 1

1)

5

x

cos(5

x

+ 10)dx;

2)

dx

;

3)

dx

;

x cos

2

(4

+

sin

2

3x

ctg

2

3x −

4

x)

x

4x + 3

4)

e dx

;

5)

dx.

2x

1

+ 4x − x

2

e

+ 9

Вариант 2

x4

e4x

1)

7cos3x sin3xdx;

2)

dx;

3)

dx;

x10 − 5

4+ e

4x

4)

e2x

dx;

5)

x + 4

dx.

3 e2x + 3

x2 + 3x + 2

Вариант 3

1)

x3

dx;

2)

sin2x cos2x

dx;

3) x cos(1+ 3x

2

)dx;

9− x

8

1+ cos

2

2x

4)

cos3x

dx;

5)

3x − 5

dx.

4− sin

2

12x − 4x

2

3x

− 5

Вариант 4

dx

7x

1)

2

x

sin(2

x

−1)dx;

2)

;

3)

dx;

x sin

2

(2+

x)

7

+ 7

2x

4)

x

dx;

5)

2x + 3

dx.

9+ x

2

1+ 4x − x

2

111

Вариант 5
1)		10ln3x		dx;
			x
4)		dx						;
		sin2(3x − 1)
Вариант 6
1)	ln(1+ 3x)dx;
			1+ 3x
4)	e		ctg 2x		dx				;
				sin2 2x
Вариант 7
1)			xdx				;
		(	2		)	2
			5x + 1
4)			e− x		dx;
		e−2x + 4

Вариант 8

1) arctg1+ 4x22x dx;

4) 1e−xe2x dx;

Вариант 9

1) 1+cos3sinx x dx;

4) x 1dx− ln2 x ;

2)

x4

dx;

3)

dx

;

10

cos

2

2

3x)

x

− 5

3x (4+ tg

5)

2x + 1

dx.

x2 + 3x + 2

2)

dx

; 3)

dx

;

sin

2

x(ctgx + 7)

x

(4+ x)

5)

−4x − 5

dx.

12x −

4x

2

− 5

7

x

3

x

3)

cosx dx

2)

7

+ 4dx;

;

sin2 x − 3

5)

3x + 2

dx .

x2 − 4x + 3

2)

cos3x

dx;

3)

dx

dx;

1

+ sin3x

x

(4+ 9x)

5)

3x −1

dx .

x2 + 8x + 20

2)

ex

dx;

3)

xdx

;

e

x

4

4+ x

4

+

5)

3x + 2

dx .

x2 + 2x − 3

112

Вариант 10

1)

sin3x

dx;

2)

ln x

3)

(arccosx)7

dx;

dx;

1

+ cos

2

3x

x

(ln

2

x + 5)

1

− x

2

4) x 6

x2

dx;

5)

x + 6

dx.

x2 + 2x − 3

Вариант 11

1)

sin(7−

x )

dx;

2)

sin3x

dx;

3)

dx

;

x

4

− cos

2

3x

x (ln

2

x

−

4)

4)

cos4xsin4x

dx;

5)

x − 3

dx.

cos2 4x + 3

9x2 + 6x −1

Вариант 12

x2

1)

cos2xdx

;

2)

dx

;

3)

dx;

sin2 2x − 4

cos2 x

1− tg2x

sin2(x3 + 5)

4)

2x

dx;

5)

2x − 3

dx.

3

2x

x

2

+ 2

+ 3x + 3

Вариант 13

dx

1)

(x − 2)cos(x2 − 4x + 10)dx;

2)

;

sin

2

x(ctgx + 7)

3)

dx

;

4)

cosx

dx;

5)

3x −1

dx.

x ln2 x − 4

3+ sin2 x

x2 + 2x − 3

Вариант 14

1)

x3

dx;

2)

tg(3x ) 3x dx;

3) x cos(3− 4x2)dx;

4+ x

8

2x − 3

4)

sin(8x − 3)dx;

5)

dx.

2

9x + 6x + 1

113

Вариант 15

			3
1)		x			dx;
		cos2(x4 + 1)
4)		1	+ 2	dx			;
		sin				2
		x		x

Вариант 16

1) cos(xlnx)dx; 4) 1xdx− x4 ;

Вариант 17

1) 1xdx− x2 ;

4) 1+ sin2cosx 2 x dx;

Вариант 18

1) 1−e2x ex dx;

4)	cos2xdx				;
	4	+ sin	2	2x

dx

sin2x

2)

; 3)

dx;

x sin2( x + 2)

9− cos2 2x

5)

x − 3

dx.

x2 + 2x + 3

2)

xdx

;

3)

2x

dx;

x2 + 5

1+

4x

5)

2x + 3

dx .

2

− x

+ 6x − 5

2)

arctg2x

dx;

3)

ex

dx;

1

+ x

2

e

2x

− 1

5)

2x + 5

dx .

2

− x

+ 4x + 1

2)

x2dx

;

3)

2x dx

;

(

+ 3x

3

)

3

4x + 1

1

5)

2x + 8

dx .

2

4x

− 4x + 6

114

Контрольная работа 3

Тема. Формула интегрирования по частям

Вариант 1

1.2x (x + 3) dx ;

2.(x −1)sin2xdx ;

3.x lnx dx;

4.arctg 2x dx;

5.sin(lnx)dx.

Вариант 3

1.32x (x −1) dx;

2.(2− x)cos3x dx;

3.ln(2x + 1) dx ;

4.arcctg x dx;

5.e2x sin3x dx.

Вариант 5

1.x ex/3 dx ;

2.(5x + 3)sin2x dx ;

3.x2 lnx dx ;

4.arctg3x dx ;

5.(x2dx+9)2 dx .

Вариант 2

1.2− x (x −1) dx ;

2.5x cos2x dx ;

3.ln(0,5x + 1)dx ;

4.arccos3x dx ;

5.e3x cos2x dx.

Вариант 4

1.(2x + 1)e3xdx ;

2.(2− 3x)sin4x dx ;

3.x ln x dx ;

4.arcsin2x dx ;

5.(x2dx+4)2 dx .

Вариант 6

1.(2x − 5)3x/2 dx;

2.(x −1)cos(1− x)dx ;

3. x lnx dx ;

4.arccos2x dx ;

5.cos(lnx)dx.

115

Контрольная работа 4

Тема. Основные классы интегрируемых функций

Вариант 1 Вариант 2

1.			dx			;
			x3 − 2x2 − 8x
	2
2.			x + 5				dx;
			(x −1)(x2 + 4)
			x3 + 1
3.					dx;
			x(x − 1)3
4.		dx			;
		3+ sin2 x

3dx

5.5− 4cosx + 3sinx ;

6.cos3 x dx;

7.sin4 x dx;

8.3 xdx+ x ;

9.			1− x2dx;
10.			dx	.
			3x
			1− e
Вариант 3
1.			dx		;
			x3 + x2 − 2x

2.4x2 + x + 1dx;

x3 −1

3.		x −1	dx;
		(x − 2)(x + 1)2
4.	sin3 x cos2 x dx;

1.			x2 + 1
					dx;
		x3 − 4x2 + 3x
2.		x3	− 6x2 + 15x + 2			dx;
			x3 − 4x2 + 4x
		x −1
3.				dx;
		x3 − 8

4.sin2 x cos2x dx;

5.sin5 x dx;

6.

3dx

;

8

− 4sinx +

7cosx

7.

dx

;

2sin2 x + 3cos2 x

8.

dx

;

x

3

x

+

9.

ex −1dx;

10.

dx

.

x

2

2

x

− 4

Вариант 4

1.

x −1

dx;

x3 + 6x2 + 8x

2.

3x2 + 6

dx;

x4 + 5x2 + 4

3.

x3 − 2x2 + 3

dx;

(x − 2)2

4.

dx

;

4

− 5sinx

116

	5.				3dx		;
			3		+ 5cosx
					2
	6.			sin x		dx;
				cos6 x
	7.				sin3 x		dx;
				25− cosx

8.1+x dxx ;

9.(9dx+ x2 )3 ;

10.1dx+ e2x .

Вариант 5
1.	dx	;
	x3 − x2 − 2x

2.x3 − 12x2 − 5 dx;

x3 + 2x2 + x

3.x3dx+ x ;

4.1− 3cosdx 2 x ;

5.9sin+ cosx dx2 x ;

6.5−23cosdx x ;

7.sindx4 x ;

8.		1		dx;
	3	− e	2x

3

5.

cossin6 xx dx;

6.

cos4 x dx;

7.

sin3 x

dx;

2− cosx

8.

1− 2

x

dx;

1+ 2

x

9.

dx

;

(

2

)

3

16+ x

10.

4+ ex

dx .

Вариант 6

1.

dx

;

x3 − 5x2 + 6x

2.

x4 − 4x2 + 3x + 2

dx;

(x2 − 2x + 1)(x + 1)

3.

x4

dx;

x3 + 1

4.

sinx + 1

dx;

1+ cosx − 2sinx

5.cos5 x dx;

6.sin2 3x cos2 3x dx;

cos2x 7. sin4 x dx;

8. e3x −1dx;

117

9.			dx		;	9.			dx		;
			x + 3 x2					x + 1+ 3 x + 1
10.			x2dx	.		10.			dx	.
								x2	x2 − 9
			4− x2

РАСЧЕТНАЯ РАБОТА

(доступ по ссылке:

https: //pstu.ru/title1/faculties/fpmm/vm/? sources=1&cid=66)

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

1. Формулы сокращенного умножения

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2											a2 − b2 = (a − b)(a + b)
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3											a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
(a ± b)		n	n		k	k	n−k	b	k	,	a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
			= (−1)			Cn a
			k =0
k			n!								an − bn =
Cn =											= (a − b)(an−1 + an−2b + ...+ abn− 2 + bn−1 )
	k!(n − k )!
											an + bn =
											= (a + b)(an−1 − an−2b + ...− abn−2 + bn−1),
											n = 2k + 1.

118

2. Свойства логарифмов

lna + lnb = lnab;

a

a

lna − lnb = ln b ;

a lnb = lnb .

3. Формулы тригонометрии

sin2 α + cos2 α = 1

1

= tg2α + 1

1

= ctg2α + 1

cos2 α

sin2 α

sin2α = 2sinα cosα

cos2α = cos2 α − sin2 α

sin2 α =

1− cos2α

cos2 α =

1+ cos2α

2

2

sin x =

tg x

cosx =

1

1+ tg2x

1+ tg2x

sin x =

1

cosx =

ctg x

1+ ctg2x

1+ ctg2x

2tg

x

1− tg

2 x

sin x =

2

cosx =

2

1+ tg2

x

1+ tg

2 x

2

2

sinax cosbx =

1

(sin(a + b)x + sin

(a − b)x)

2

cosax cosbx =

1

(cos(a + b)x + cos(a − b)x)

2

sinax sinbx =

1(cos(a − b)x − cos

(a + b)x)

2

119

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М.: Айрис-Пресс, 2010. – 603 с.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное ис-

числения: в 2 т. – М.: Интеграл-Пресс, 2001, 2002. – Т. 1. – 416 с.; Т. 2. – 544 с.

3.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. – М.:

Дрофа, 2004. – Т. 1. – 284 с.

4.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Физматлит, 2001. – Т. 2. – 800 с.

5.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. – М.: Либроком URSS, 2010. – 208 с.

6.Сборник задач по высшей математике: с контрольными работами: учебное пособие для вузов; 1 курс / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный, С.Н. Федин, Ю.А. Шевченко. – М.: Айрис-

Пресс, 2021. – 576 с.

7.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Оникс 21 век, 2003. – Ч. 1. – 304 с.

8.Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – СПб.: Лань, 2010. – 464 с

9.Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. –

СПб.: Политехника, 2003. – Т. 1. – 703 с.

10.Учебные задания по интегральному исчислению функции одной переменной / сост. Л.И. Федорова; Перм. гос. техн. ун-т. –

Пермь, 1993. – 56 с.

11.Оглезнева А.Н. Неопределенные интегралы. Индивидуальные задания [Электронный ресурс]. – Пермь: ПГТУ, 2007. – URL: https://pstu.ru/title1/faculties/fpmm/vm/? sources=1&cid=66

120