книги / Основы теории подобия и моделирования физических процессов

			N p					1,
			N N 2
						Nl
								1,		(2.10)
						Nd
			Nμ
								1.
	N	d	N			N
Соотношения (2.10) называются										индикаторами подобия.

На шесть масштабных коэффициентов (2.6) наложено три условия (2.10). Это означает, что три масштабных коэффициента могут быть заданы произвольно, исходя из параметров моделируемого потока и физической реализуемости модели, а остальные три должны быть определены из индикаторов подобия (2.10).

Пусть масштабные коэффициенты Nd , N , Nμ заданы. Ос-

тальные масштабные коэффициенты могут быть найдены из индикаторов подобия по следующим формулам:

N	Nμ
			,
	Nd N
Nl Nd ,				(2.11)
	2
N p	Nμ
			.
	2
	N Nd

Соотношения (2.11) позволяют определить недостающие параметры модели и масштабные коэффициенты для перехода от измеренных в модели величин к сходственным величинам в моделируемом потоке.

По измеренным в модели параметрам м , pм можно определить сходственные параметры в моделируемом потоке:

н м N , pн pм N p .

31

3.ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

3.1.Подобие центробежных насосов

Два центробежных насоса подобны, если пропорциональны их сходственные параметры и равны критерии подобия.

Представим перечень параметров, характеризующих динамические насосы:

D – диаметр (или другой характерный размер насоса), dim D L ;

Q – объемный расход (подача) насоса, dimQ L3T 1 ;

n – частота вращения рабочего колеса, dim n T 1 ; H – напор, создаваемый насосом, dim H L ;

ρ– плотность жидкости, dimρ L 3M ;

ν– кинематическая вязкость жидкости, dim ν L2T 1 ;

M – момент на валу насоса, dim M L2MT 2 ;

N – мощность потока жидкости на выходе насоса, dim N L2MT 3 .

В качестве основных величин выберем плотность жидкости ρ, диаметр D и частоту вращения n. Проверим независимость их размерностей:

dimρ L 3MT 0 , dim D LM 0T 0 , dim n L0 M 0T 1.

Определитель, составленный из показателей степени,

3	1	0		1		3	1		0 .
1	0	0
0	0	1				1	0

Поэтому размерности величин , D, n являются независимыми.

32

Список параметров насоса представим следующим образом:

ρ, D, n , Q, H , ν, M , N .

В первых круглых скобках – основные величины, во вторых – производные.

Найдем критерии подобия. Количество критериев подобия:

8 3 5 .

Критерий π1 будем искать в виде

	π1			Q			.		(3.1)
			ρα Dβ nγ
Уравнение размерностей
L0 M 0T 0	L3T 1								L3 3 M T 1 .
	L 3M L T 1

Система уравнений для определения показателей степени

3 3 β 0,0,

γ 1 0.

Отсюда 0, 3, 1. Подставляя эти значения в выражение (3.1), получаем

	π	Q		idem.		(3.2)
	1	nD3
	Критерий подобия π2 :
	2			H	.	(3.3)
			D n

33

Уравнение размерностей

	L0 M 0T 0	L		L1 3 M T .
		L 3M L T 1

Уравнения для определения показателей степени

1 3 0,0,

0

дают следующие решения: 0, 1, 0 . Подставляя эти значения в (3.3), находим

				H	idem	(3.4)
		2		D

Критерий подобия π3 :

3 .

D n

Уравнение размерностей

L0 M 0T 0	L2T 1		L2 3 M T 1 .
	L 3M L T 1

Система уравнений для показателей степени

2 3 0,0,

1 0

имеет следующее решение: 0, 2, 1. Тогда для критерия подобия находим

	3		idem.	(3.5)
		nD2

34

Критерий подобия 4 :

	4	M	.	(3.6)
		D n

Уравнение размерностей

L0 M 0T 0	L2 MT 2		L2 3 M 1 T 2 .
	L 3M L T 1

Система уравнений для показателей степени

2 3 0,

1 0,2 0.

Ее решение: 1, 5, 2 . С учетом этих значений критерий подобия (3.6) принимает вид

	4	M	idem.	(3.7)
		n2 D5

Критерий подобия 5 :

	5	N	.	(3.8)
		D n

Уравнение размерностей

L0 M 0T 0	L2 MT 3		L2 3 M 1 T 3 .
	L 3M L T 1

Система уравнений для определения показателей степени

2 3 0,

1 0,3 0.

35

Отсюда: 1, 5, 3 . Критерий подобия (3.8) окончательно принимает вид

	5	N	idem.	(3.9)
		n3 D5

Из полученных критериев подобия для двух подобных насосов следуют важные соотношения, используемые при расчетах центробежных насосов.

1. Из формулы (3.2) очевидно, что

							Q1																Q2						.
						n D3													n D3
							1			1												2			2
Отсюда
					Q								n										D				3
						1										1									1		.
					Q2
													n2										D2
2. Из выражения (3.7) получаем
					M1																		M2								.
			n2 D5																					n2 D5
					1	1				1												2			2		2
Отсюда
		M		1								n											2					D				5
								1									1											1				.
	M 2
								2 n2																				D2
3. Из формулы (3.9) находим
						N1																		N2
				ρ n3 D5																ρ				n3 D5
					1	1				1												2			2		2
или
		N										n										3						D				5
		1						1									1										1					.
		N2
								2 n2																				D2

(3.10)

(3.11)

(3.12)

36

4. Из формул (3.10) и (3.12) получаем

	Q1 Q2			n				D			3
				1					1		,		(3.13)
				n2				D2
	N2		n					3			D	5
N1		1				1					1	.	(3.14)
		2
			n2								D2

Поскольку напор, мощность и расход связаны соотношением

H N , то разделив выражение (3.14) на (3.13), приходим к фор-

gQ

муле, связывающей напоры подобных насосов:

																			n							2					D				2
										H1				H2										1									1		.
																			n2												D2
Отсюда
												H						n						2					D				2
													1							1											1		.												(3.15)
												H2						n2											D2
Для насосов, перекачивающих одинаковую жидкость ( 1 2
), справедливы следующие соотношения:
	Q n				D			3		H						n					2							D			2					N		n				3		D	5
	1		1		1			;		1								1											1				;			1				1				1	. (3.16)
	Q2		n2		D2					H2						n2												D2								N2		n2						D2
Эти формулы позволяют производить пересчет параметров
центробежных насосов с одной частоты вращения n1																																										и диаметра ра-
бочего колеса D1 на другую частоту n2																															и другой диаметр D2 .
Для одного и того же насоса D1 D2																																				и формулы (3.16) прини-
мают более простой вид:
						Q			n					H		1				n								2					N			n			3
						1			1		;													1					;						1			1	.						(3.17)
						Q2			n2					H2						n2													N2			n2
																																													37

Пример 1.	Частота вращения насоса изменилась
с n1 3000 об/мин до	n2 3500 об/мин. Во сколько раз увеличится

подача, напор и мощность насоса. Рассматриваются подобные режимы насоса. При этом D1 D2 .

Формулы (3.17) приведем к виду:

	Q n											H				2					n				2				N			n		3
	2				2				;													2			;						2		2	.
	Q1				n1							H1									n1								N1			n1
Вычислим отношение																n2							3500			1,17 . Далее находим
																n1					3000
													Q2								n2			1,17 .
													Q1								n1
Подача увеличится в 1,17 раза.
			H			2					n								2		(1,17)2
																2														1,36 .
			H1								n1
Напор увеличится в 1,36 раза.
					N		2					n							3								3
																2					1,17									1,6 .
					N1							n1

Мощность увеличится в 1,6 раза.

Пример 2. Центробежный насос с рабочим колесом, диаметр которого D1 250 мм, при частоте вращения n1 1800 об/мин соз-

дает напор H1 12 м и подает жидкость с		расходом Q1 6, 4 л/с.
Требуется определить частоту вращения n2		и диаметр D2	колеса
насоса,	который при подобном режиме	работы создает	напор
H2 18	м и обеспечивает подачу Q2 10 л/с.

Для решения задачи будем использовать соотношения:

38

																Q									n							D							3
																		1							1								1								;										(3.18)
																Q2									n2							D2
														H								n							2							D							2
																1								1																1			.								(3.19)
														H2								n2														D2
Из формулы (3.18) найдем
																		n							Q								D							3
																		1							1											2
																		n2
																								Q2									D1
и подставим в выражение (3.19):
	H		Q											D						3 2								D						2											Q			2		D	4
	1							1							2													1																		1				2	.
	H2																										D2
			Q2											D1																													Q2							D1
Отсюда
														D24								D14					H							Q									2
																												1												2
																											H2										Q1
или
																		2
						H		1		Q																							12								10							2
D2 D1 4															2							2504																										282 мм .
						H2							Q1																				18											6,4
Частоту вращения n2																		определим из формулы (3.18):
			D2 3							Q2															282 3																10
n2 n1															1800																															4037 об/мин .
											Q1
			D1																						250																6,4

3.2. Ускоренные испытания как физическое моделирование нормальных испытаний

Ускоренные испытания на надежность – это испытания, которые обеспечивают получение необходимой информации в более короткие сроки, чем в предусмотренных условиях и режимах эксплуатации (ГОСТ 16504–71).

39

Ускоренные испытания подразделяются на форсированные и сокращенные.

Форсированные испытания – это ускоренные испытания, основанные на интенсификации процессов, вызывающих отказы и повреждения.

Сокращенные испытания – ускоренные испытания без интенсификации процессов, вызывающих отказы и повреждения. Испытания производят в наиболее нагруженных режимах, исключают режимы холостого хода и т.п.

Цель ускоренных испытаний – сокращение времени испытаний и связанных с ними экономических затрат.

Далее будем рассматривать форсированные испытания. Форсированные испытания рассматривают как физическое

моделирование нормальных испытаний. Поэтому законы надежности в нормальном и форсированном режимах, в соответствии с дополнительным положением о подобии систем с переменными параметрами, должны быть тождественны.

Тождество – равенство двух аналитических выражений, справедливое для любых допустимых значений входящих в него букв.

Для гидравлических устройств в большинстве случаев справедлив экспоненциальный закон надежности. Поэтому для нормальных и форсированных испытаний вероятность безотказной работы

определяется по формулам:
P e λнtн ,	(3.20)
н
P e λфtф .	(3.21)
ф
Здесь индекс «н» соответствует нормальному режиму испыта-
ний, а индекс «ф» – форсированному режиму испытаний; λн	и λн –

интенсивность отказов в нормальном и форсированном режимах; tн и tф – наработка в нормальном и форсированном режимах.

Выражения (3.20) и (3.21) будут тождественными, если выполняется условие

40