книги / Основы теории подобия и моделирования физических процессов
..pdf1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
g |
|
|
|
|
|
h |
|
|
||||
Ch |
2 |
2 |
C |
. |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|||
Известно, что C 2 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
h |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
Пример 4. Определить зависимость времени истечения жидкости из сосуда от его параметров (рис. П4.4). Определяющие пара-
метры: g |
– ускорение свободного падения; h – уровень жидкости |
|||||||
в сосуде; |
ρ – плотность жидкости; |
S1 |
– поперечная площадь сосуда; |
|||||
S2 – площадь отверстия, через которое происходит истечение жид- |
||||||||
кости. Определяемый параметр: |
t |
– время истечения жидкости |
||||||
из сосуда. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
S1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2
Рис. П4.4
Размерности величин g, h, :
dim g LM 0T 2 , dim h LM 0T 0 , dim L 3MT 0
81
являются независимыми, так как определитель
|
0 |
2 |
|
1 |
|
0 |
2 |
|
0. |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Будем полагать, |
что |
время истечения пропорционально S1 |
и обратно пропорционально S2 . Тогда можно принять для рассмотрения следующую функциональную зависимость:
|
|
S |
|
g h . |
|
|
t C |
1 |
|
(П4.4) |
|
|
S2 |
||||
|
|
|
|
|
|
Запишем уравнение размерностей. Поскольку |
dimt T , |
||||
dim g LT 2 , dimh L, |
dim L 3M , то |
|
T LT 2 L L 3M L 3 M T 2 .
Отсюда
3 0,0,2 1.
Решение этой системы дает: 12 , 12 , 0 .
Подставляя найденные значения показателей соответствующих размерностей в выражение (П4.4), находим
|
S1 |
|
|
|
t C |
|
h |
. |
|
|
|
|||
|
S2 |
|
g |
Точное решение задачи дает C 2 . Заметим, что при отсутствии точного решения величина C может быть определена экспериментальным путем.
82
Окончательно
t |
S1 |
|
|
2h |
|
|
S2 |
|
|
g |
. |
Пример 5. Установить функциональную связь силы F давления струи на стенку с параметрами: S – площадь сечения насадка;– скорость истечения жидкости из насадка (скорость струи) (рис. П4.5).
струя
F |
S
Рис. П4.5
Определяющие параметры: , S, . Определяемый пара-
метр – F . Величины , S, имеют независимые размерности
|
|
dim L 3MT 0 , |
|
|||||||
|
|
dim S L2M 0T 0 , |
|
|||||||
|
|
dimυ LM 0T 1 , |
|
|||||||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
|
2 |
|
1 |
0 |
|
0. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функциональную зависимость будем искать в виде степенного одночлена
83
F C S υ . |
(П4.5) |
|
Составим уравнение |
размерностей. Поскольку |
dim F |
MLT 2 , dim ML 3 , dim S L2 , dim LT 1, то |
|
|
LMT 2 ML 3 L2 LT 1 |
|
|
или |
|
|
LMT 2 |
L 3 2 M T . |
|
Отсюда
1,3 2 1,
2.
Тогда
α 1, β 1, γ 2.
Подставляя найденные показатели в формулу (П4.5), находим
F C 1S1 2 C S 2 .
Известно, что C 1 . Окончательно F S 2 .
Пример 6. Установить зависимость избыточного давления pизб в покоящейся жидкости в заданной точке от глубины этой точки под свободной поверхностью. Жидкость имеет плотность и находится в поле сил тяжести, которое характеризуется ускорением свободного падения g (рис. П4.6).
Избыточное давление pизб – определяемая величина. Величины ρ, g, h – определяющие величины, которые должны иметь неза-
висимые размерности, а их число должно быть равно числу основных единиц в системе LMT .
84
p0 g
h
pизб
Рис. П4.6
Размерности величин
dim ρ L 3MT 0 , dim g LM 0T 2 , dim L LM 0T 0 ,
являются независимыми, так как определитель, составленный из показателей степени, не равен нулю:
3 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|||||
1 |
0 |
2 |
1 |
0. |
||
1 |
0 |
0 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Связь между рассматриваемыми величинами можно представить в виде степенного одночлена
p C g h , |
(П4.6) |
изб |
|
где C – безразмерный неопределяемый коэффициент пропорциональности; α, β, γ – показатели степени, подлежащие определению.
Составим уравнение размерностей
dim pизб dim g h
или
L 1MT 2 L 3M LT 2 L
85
или
L 1MT 2 L 3 M T 2 .
Из последнего уравнения следует система уравнений для определения показателей степени
3 1,1,2 2.
Решая эти уравнения, находим: 1, 1, 1.
Подставляя полученные значения в выражение (П4.6), получаем
pизб C ρgh.
Из гидростатики известно, что C 1 . Тогда окончательно
pизб ρgh.
Следует заметить, что коэффициент C может быть определен опытным путем.
86
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Составление критериальных уравнений
Порядок составления критериального уравнения
Составление критериального уравнения включает следующие этапы.
1. Составляется список параметров системы, например:
m, b, к, x, P0 , t, τ ,
который в рамках решаемой задачи должен обладать свойством полноты. Далее из этого списка выделяются основные величины,
имеющие независимые размерности m, к, x . Остальные величины будут производными b, P0 , t, . Кратко список основных и производных величин можно представить в виде
m, к, x b, P0 , t, τ .
2.Количество безразмерных комплексов (критериев подобия) определяет π-теорема: из общего числа размерных величин, определяющих процесс, необходимо вычесть число основных величин, имеющих независимые размерности. В нашем случае число критериев подобия – четыре.
3.Для определения критериев подобия нужно каждую из про-
изводных величин b, P0 , t, τ поочередно разделить на произведение основных величин, возведенных в некоторые степени α, β, γ :
π1 |
|
b |
, |
|||
|
||||||
mα кβ xγ |
||||||
|
|
|
|
|
||
π2 |
P0 |
|
|
, |
||
mα кβ xγ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
π3 |
|
t |
|
, |
||
|
|
|||||
mα кβ xγ |
|
|||||
|
|
|
|
|
87
π4 |
τ |
. |
|
|
|||
mα кβ xγ |
|||
|
|
Далее для каждого из записанных соотношений составляется уравнение размерностей и определяются показатели степени α, β, γ ,
которые затем подставляются в исходные соотношения. Таким образом, получаются безразмерные комплексы – критерии подобия.
4. Записывается критериальное уравнение, выражающее в общем виде зависимость между критериями подобия:
φ π1, π2 , π3 , π4 0.
При необходимости критериальное уравнение может быть представлено в виде зависимости одного критерия от других, например:
π1 f π2 , π3 , π4 .
Примеры составления критериальных уравнений
Пример 1. Течение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе (рис. П5.1).
|
p1 |
p p1 p2 |
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
d
k
l
Рис. П5.1
Искомой величиной является перепад давления на трубе p .
Размерность перепада давления dim p L 1MT 2 . Параметры, определяющие процесс:
l – длина трубы, diml L;
88
d – диаметр трубы, dimd L;
– средняя скорость движения жидкости, dim LT 1 ;
ρ– плотность жидкости, dim L 3M ;
μ – динамическая вязкость, dim L 1MT 1;
k – высота выступа шероховатости, dimk L. 1. Список параметров рассматриваемой системы:
p, l, d, , , , k .
Величины d, , имеют независимые размерности:
|
|
dim d LM 0T 0 , |
|
||||
|
|
dim LM 0T 1, |
|
||||
|
|
dim L 3MT 0 , |
|
||||
так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0. |
||
|
3 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому список основных и производных величин примет вид
d, , , p, l, , k .
2.Количество безразмерных комплексов (критериев подобия)
всоответствии с π-теоремой: 7 3 4 .
3.Определение критериев подобия.
Критерий π1 :
|
1 |
|
p |
|
. |
(П5.1) |
|
|
|
|
|||
|
|
d |
||||
|
|
|
|
|
||
Составим уравнение размерностей: |
|
|||||
L0 M 0T 0 |
L 1MT |
2 |
L3 1M 1 T 2 . |
|
||
|
L LT 1 L3M |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
89 |
Отсюда получаем систему уравнений для определения показателей степени
3 1 0, 1 0,
2 0.
Решение этих уравнений дает: 0, 2, 1.
Подставляя полученные значения показателей степени в формулу (П5.1), находим
1 p .υ2
Критерий 2 ищем в виде
2 d υl .
Уравнение размерностей
L0 M 0T 0 |
L |
L1 3 M T . |
|
|
|||
|
L LT 1 |
L3M |
|
Отсюда |
|
|
1 3 0,0,
0.
Показатели степени α 1, β 0, γ 0 .
С учетом найденных значений показателей степени критерий2 принимает вид
2 dl .
90