книги / Тестовый контроль по математике
..pdfПример третьего уровня сложности
|
|
Пример 23 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Расстояние |
d |
точки |
Р(1; –1; –2) от прямой l |
x + 3 |
= |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
= |
y + 2 |
= |
z − 8 |
равно… |
|
|
|
|||
|
−2 |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1)* 7; |
2) |
9; |
3) 5; |
4) 1. |
|
|
Решение:
1) Напишем уравнение плоскости α, перпендикулярной прямой l, проходящей через точку Р. Заметим, что направ-
ляющий вектор |
s = {3;2; −2} |
прямой |
l параллелен нормали |
n = { A; B;C} к |
плоскости α. |
Тогда |
уравнение плоскости α |
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 имеет вид 3(x −1) + 2( y +1) −
−2(z + 2) = 0 или в общем виде α: 3x + 2 y − 2z − 5 = 0.
2) Найдем точку A пересечения плоскости α и прямой l. Для этого запишем уравнения прямой l в параметрическом виде: x = −3 + 3t; y = −2 + 2t; z = 8 − 2t и подставим в уравнение плос-
кости α: 3(−3 + 3t) + 2(−2 + 2t) − 2(8 − 2t) − 5 = 0 t = 2. Подста-
вим t = 2 в параметрические уравнения прямой l и получим ко-
ординаты точки A пересечения |
прямой и |
плоскости: x = 3; |
|
y = 2; |
z = 4. |
|
|
3) |
Так как точки P, A α, |
то отрезок |
PA α. Поскольку |
плоскость α перпендикулярна прямой l, то искомое расстояние d = PA = (3 −1)2 + (2 +1)2 + (4 + 2)2 = 4 + 9 + 36 = 49 = 7.
Ответ: d = 7.
Возможны ошибки при написании уравнения плоскости и при вычислении координат точки пересечения прямой и плоскости.
71
Тест по модулю «Аналитическая геометрия»
Время прохождения – 60 мин. Задания 1-го уровня сложности: 1–12; задания 2-го уровня сложности: 13–18; задания 3-го уровня сложности: 19–20.
Оценка «удовлетворительно» ставится за 12–15 правильно решенных заданий;
оценка «хорошо» ставится за 16–18 правильно решенных заданий;
оценка «отлично» ставится за 19–20 правильно решенных заданий.
1. Прямая y = x +1 расположена к оси ОX под углом…
1) |
180°; |
2) 90°; |
|
3)* 45°; |
|
4) 30°. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2. Прямая 2x + y − 3 = 0 проходит через точку… |
|||||||||||||||||||||||||
1)* (2; –1); |
|
2) (–1; 2); |
3) (2; 3); |
|
4) (2; 1) 3.1. |
|
|||||||||||||||||||
3. Прямая |
x −1 |
= |
y + 2 |
коллинеарна вектору… |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
− |
1 |
;−2 ; 2) |
{−1;2} ; 3) {1; −2} ; 4)* {3; −1}. |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. Площадь треугольника в см2 , |
образованного осями ко- |
||||||||||||||||||||||||
ординат и прямой 2x – 5y + 20 = 0, равна… |
|||||||||||||||||||||||||
1) |
12; |
|
|
2)* 20; |
|
3) 4; |
|
|
|
4) 25. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. Расстояниемеждупрямыми |
x |
+ |
y |
|
=1 , y = |
3 |
x + |
1 |
равно… |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−3 |
2 4 |
|
||||||||
1) |
|
13 |
; |
|
2) 13; |
|
3)* |
|
13 |
; |
|
|
4) |
15 |
. |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
72
6. Плоскость Р: 3x + 2y + 1 = 0 перпендикулярна вектору…
1)* {3;2;0}; |
2) {3;2;1}; |
3) |
1 |
; |
1 |
;0 ; |
4) {−3;−2;0}. |
|
|
||||||
|
|
3 |
2 |
|
|
||
7. Плоскость Р: 5x – 3y + z – 4 = 0 проходит через точку… |
|||||||
1) (1; 0; 2); |
2) (1; –2; 5); |
3) (0; 1; –1); |
4)* (1; 2; 5). |
||||
8. Уравнение плоскости, проходящей через точку A (2; –3; 3) |
|||||||
параллельно плоскости OXY, имеет вид… |
|
|
|||||
1) z + 3 = 0; |
2)* z – 3 = 0; |
3) z – 2 = 0; |
4) z + 2 = 0. |
9.Уравнение прямой, проходящей через точки A (1; –2; 1)
иB (3; 1; –1), имеет вид…
1) |
x − 2 |
= |
|
y − 3 |
= |
z + 5 |
; |
2) |
x |
= |
y −1 |
= |
z − 3 |
; |
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||
|
0 |
|
3 |
|
2 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
x + 2 |
= |
y |
= |
z − 3 |
; |
4)* |
x − 2 |
= |
|
y |
= |
z + 3 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
−3 |
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
10. Координатыцентраокружности (x + 2)2 + y2 = 25 равны…
1)* (–2; 0); |
2) (2; 0); |
|
3) (2; 1); |
4) (4; 1). |
||||||
11. Расстояниемеждуфокусамиэллипса |
x2 |
+ |
y2 |
=1 равно… |
||||||
|
16 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
||
1) 4 |
3; |
2)* 8 |
3; |
3) |
58; |
4) 4 |
6. |
|
||
12. Радиус окружности x2 + 2x + y2 − 3 = 0 равен… |
||||||||||
1)* 2; |
|
2) 3; |
3) 4; |
|
4) 1. |
|
|
|
|
|
13. Уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметричны относительно начала координат на расстоянии 10 см друг от друга, а расстояние между вершинами равно 6 см, имеет вид…
1) |
|
x2 |
− |
|
y 2 |
= −1; |
2) |
x2 |
− |
|
y 2 |
|
= 1 ; |
|||
6 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|||||||||
|
8 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
|
x2 |
+ |
y2 |
|
=1; |
4)* |
|
x2 |
|
− |
y 2 |
= 1. |
|||
16 |
|
|
9 |
|
|
|||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
73
14. Уравнение параболы, проходящей через начало координат, с осью параллельной оси OX и проходящей через точку
B (–1; 3), имеет вид…
1)* y2 |
= −9x; |
|
|
2) y2 = 9x; |
|
|
3) x2 |
= −9 y; |
|
4) x2 |
= 9 y. |
||||||||||||||||||||||||
15. Расстояние от прямой |
|
|
3 |
|
x + |
1 |
|
|
y − |
3 |
= 0 |
до начала |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
координат равно… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) 3; |
2)* |
3 |
; |
|
3) – 3; |
|
|
|
4) − |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
16. Уравнение прямой, проходящей через точку A (–1; 2; –2) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − y = 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
параллельно прямой L: |
y = 2z +1, |
имеет вид… |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) |
x +1 |
= |
|
y − 2 |
= |
z + 2 |
; |
2) |
x +1 |
= |
y − 2 |
= |
z − 2 |
; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||
3) |
x −1 |
= |
y + 2 |
= |
z − 2 |
; |
4)* |
x +1 |
= |
y − 2 |
= |
z + 2 |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
17. Уравнение прямой, проходящей через точку A (2; –1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярно прямой x + 2 y + 3 = 0, имеет вид… |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 2x – y + 8 = 0; |
|
|
2) x + 2y – 5 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3)* 2x – y – 5 = 0; |
|
|
4) x – y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
18. Число a, при котором плоскость ax + 2ay +10z − 2 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
параллельна плоскости x + 2 y + 5z − 7 = 0, равно… |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1) 3; |
2)* 2; |
|
3) –2; |
|
|
4) 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. Расстояние между параллельными сторонами ромба, диагонали которого совмещены с осями координат и равны
30 и 16 см, равно… |
|
|
|
|
|
|
|||
1) 17; |
2) |
239 |
; |
3) |
241 |
; |
4)* |
240 |
. |
|
17 |
|
16 |
|
17 |
|
74
20.Даны вершины треугольника A (1; –2; –4), B (3; 1; –3)
иC (5; 1; –7). Параметрические уравнения высоты треугольника, опущенной из вершины B на сторону AC, имеют вид…
1) x = t – 3; |
y = –4t + 1; |
z = –7t – 3; |
|
|
|
|
|||||
2)* x = 3t + 3; |
y = 15t + 1; |
z = 19t – 3; |
|
|
|
|
|||||
3) x = –2t + 3; y = 3t + 1; |
|
z = 5t – 3; |
|
|
|
|
|||||
4) x = 4t + 3; |
y = 12t + 1; |
z = 16t – 4. |
|
|
|
|
|||||
|
Ответы к тесту |
|
|
|
|
|
|||||
«Аналитическая геометрия» |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер задачи |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Номер верного ответа |
3 |
1 |
|
4 |
2 |
3 |
1 |
4 |
2 |
4 |
1 |
Номер задачи |
11 |
12 |
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Номер верного ответа |
2 |
1 |
|
4 |
1 |
2 |
4 |
3 |
2 |
4 |
2 |
75
МОДУЛЬ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
РАЗДЕЛ «ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Справочные материалы
Пусть функция y = f (x) определена в окрестности некоторой точки x = a, за исключением, быть может, самой точки а.
Определение (на языке «ε – δ »). Число А называется пределом функции y = f (x) при х→ а, если для любого ε > 0 можно указать такое δ = δ (ε ) > 0, что для всех х, удовлетворяющих соотношению |x – a| < δ , имеет место неравенство |f (x) – A| < ε . Тот факт,
чтоАестьпредел f (x) приx→ |
a, записывают ввиде lim f (x) = A. |
|
|
x→ |
a |
Теоремы о пределах |
|
|
Пусть lim f (x) = A и lim q(x) = B, тогда |
|
|
x→ a |
x→ a |
|
1)lim( f (x) ± q(x)) = A ± B ;
x→ a
2)lim f (x)iq(x) = AiB ;
x→ a
3) lim f (x) = A (при условии, что В ≠ 0). x→ a q(x) B
Непрерывность функции в точке
Определение. Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки а, называется непрерывной в точке а, ес-
ли lim f (x) = f (a).
x→ a
76
Точки разрыва
Определение. Если функция y = f (x) определена в некоторой выколотой окрестности точки а или не является непрерывной в точке а, то говорят, что точка х = а есть точка разрыва функции f (x).
Точка х = а является точкой разрыва функции f (x) в одном из следующих случаев:
1. Односторонние пределы f (x) при х→ а существуют, конечны, равны между собой, но не равны значению функции в точке х = а. В этом случае точку х = а называют точкой устра-
нимого разрыва. lim |
f (x) = lim |
f (x) ≠ f (a). |
||
x→ +a |
0 |
→x − a |
0 |
|
2. Односторонние пределы существуют, конечны, но не |
||||
равны между собой |
lim f (x) ≠ |
lim |
f (x). В этом случае точка |
|
|
x→ +a |
0 |
→x − a |
0 |
х = а называется точкой разрыва 1-го рода. Значение (А – В) – скачок функции.
3. Хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. В этом случае точка х = а – точка разрыва 2-го рода.
При решении задач полезно помнить таблицу простейших пределов:
77
lim |
|
c |
|
= ∞ , |
|
|
|
|
lim cx= ∞ |
, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→ |
0 x |
|
|
|
|
→∞x |
|
|
|
|||||
lim |
x |
= ∞ , |
|
|
|
|
lim ax= |
0, 0< |
a< 1, |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
x→∞ |
|
|
c |
|
|
|
|
→+∞x |
|
|
|
|||
lim ax = 0, a >1, |
|
|
|
|
lim ax |
= +∞ , a> |
1, |
|||||||
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→+∞x |
|
|
|
lim |
c |
= 0, |
|
|
|
|
|
lim ax |
= +∞ , a< |
1. |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
x→∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
→−x∞ |
|
|
|
|||
Выражения вида |
∞ |
|
; |
0 |
|
;(∞ i0);∞(− ∞ |
);(1∞ |
) |
принято |
|||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
0 |
|
|
|
|
называть неопределенностями.
Примеры тестовых заданий с решениями к разделу «Предел и непрерывность функции одной
переменной»
Примеры первого уровня сложности
Неопределенность |
∞ |
|
|
∞ |
|||
|
|
Ввыражении lim Pn (x) , где Pn (x) – многочлен и Qm (x) –
x→∞ Qm (x)
многочлен, мы встречаемся с отношением двух бесконечно больших величин. При вычислении предела необходимо избавиться в числителе либо в знаменателе от бесконечно большой величины. Для этого делим числитель и знаменатель дроби на старшую степень числителя (либо знаменателя).
Пример 1. Вычислить lim |
|
x2 + 2x5 |
∞ |
|
||
|
|
|
= |
|
. |
|
|
4 |
− 2x + 5 |
∞ |
|||
x→∞ |
x |
|
|
|
Решение. Делим числитель и знаменатель на старшую степень числителя х5:
78
|
(x2 + 2x5 ): x5 |
|
|
|
1 |
+ 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
||||||
lim |
|
= lim |
|
|
x |
|
|
= |
= ∞ . |
|||
(x4 − 2x + 5): x5 |
1 |
2 |
5 |
|
||||||||
x→∞ |
→∞ x |
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
x4 |
x5 |
|
|
|
Величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая.
Неопределённость 0
0
lim f (x) . Пусть f (x) и q (x) – многочлены. Если f (a) = 0
x→ a q(x)
и q (a) = 0, то число а является корнем многочлена f (x) и корнем многочлена q (x), т.е. в разложении многочленов на множители будет присутствовать сомножитель (х – а). Сократив дробь на (х – а), получаем новое выражение, предел которого равен пределу исходного.
Пример 2. Вычислить lim |
x2 − 5x + 6 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. |
|
|
|
x→ 3 x2 − 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x2 |
− 5x + 6 |
|
(x − 2)(x − 3) |
|
|
x − 2 |
|
3− 2 |
|
1 |
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
= lim |
|
|
|
= lim |
|
= |
|
= |
|
. |
||
|
x |
2 |
− 9 |
|
|
|
|
|
3 + 3 |
6 |
||||||||||
x→ 3 |
|
|
0 |
→x 3 (x − 3)(x + 3) |
→ |
x 3 x + 3 |
|
|
|
|||||||||||
В случае если неопределенность |
0 |
|
содержит тригоно- |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
метрические функции, обычно используется 1-й замечатель-
ный предел:
lim |
sin x |
=1; |
lim |
x |
=1. |
|
|
||||
x→ 0 x |
x→ 0 sin x |
Следствия: 1) lim |
tgx |
=1; 2) lim |
arcsin x |
=1; 3) lim |
arctg x |
|||
x→ 0 x |
x→ 0 |
x |
x→ |
0 x |
||||
Определение. Бесконечно малые α ( x) |
и β (x) |
(при x → |
||||||
называются эквивалентными, если lim |
α (x) |
=1. |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
x→ a |
β (x) |
|
|
|
=1.
a )
79
Обозначение: α (x) β (x). |
|
|
Имеем при α ( x)→ |
0 : |
sin α (x) α (x); tg α (x) α (x); |
arcsin α (x) α (x); arctg α |
(x) α |
(x). |
При вычислении пределов произведения и частного одну бесконечно малую можно заменять ей эквивалентной.
Пример 3. Вычислить lim |
sin 5x tg4x |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
3x2 |
|
|||||
Решение. lim |
sin 5x tg4x |
= |
|
0 |
= lim |
|
5x 4x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3x |
2 |
|
|
|
2 |
|||||||
x→ 0 |
|
|
|
|
|
0 |
→x 0 3x |
|
|||||
sin 5x 5x ; tg 4x 4x |
при x → |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Неопределенность (1∞). Второй замечательный предел
=20 , так как
3
1 |
|
1 |
|
|
lim (1 + v(x))v( x) = e ; |
lim |
1 |
+ |
|
|
|||||||
|
|
|||||||||||
v( x)→ |
0 |
|
|
|
v( x )→∞ |
|
|
|
v(x) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следствия: 1) lim |
eα ( x ) −1 |
=1; |
|
|||||||||
α |
(x) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
α ( x)→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
lim |
ln (1 |
+ α (x)) |
=1, |
тоестьпри α |
|||||||
α |
|
|||||||||||
α |
( x→) 0 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
eα ( x) −1 α (x), ln (1+ α (x)) α (x).
v ( x )
= e.
(x)→ 0 :
Второй замечательный предел используется для раскрытия неопределенности вида (1∞ ).
Пример 4. Вычислить |
x + 7 |
|||||||||
lim |
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ x −1 |
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x + 7 |
2 x |
|
x −1+1+ 7 2 x |
|||||||
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||||
x→∞ x −1 |
|
→∞ x |
|
x −1 |
2 x .
|
|
|
|
8 2 x |
||
|
= lim 1 |
+ |
|
|
= |
|
|
|
|||||
→∞ |
x |
|
|
x −1 |
|
80