книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия

		Рис. 3.22
В	основании	пирамиды,	ограниченной	плоскостью
2x − 3y + 6z − 12 = 0		и координатными плоскостями,		лежит прямо-

угольный треугольник с катетами 6 и 4, высота пирамиды h = c = 2 .

V

=

1 S

h =

1

4 6

2 = 8.

пир.

3

осн.

3

2

Ответ: 8.

Задача 3.2.30

Направляющий вектор прямой

x − 1

=

y + 3

=

z − 5

имеет коор-

2

−4

динаты ...

6

1)

{1;3;−2} ,

2)

{1;3;2} ,

3)

{−1;3;−5} ,

4)

{1;−3;5}.

Решение
Канонические уравнения							прямой,	проходящей	через	точку
M0 (x0 ; y0 ; z0 ),					параллельно		вектору	s = {l;m;n} ,	имеют	вид
x − x0	=	y − y0		=	z − z0	.
l		m
					n

В данном случае s = {2;6;−4} .

91

Из предложенных ответов выберем вектор, коллинеарный данному, т.е. имеющий координаты {1;3;−2} .

Верный ответ № 1.

Задача 3.2.31

x = 5t − 8

Прямая y = −4t + 7 проходит через точку с координатами ...

z = 13t − 15

1)(−8;7;−15),

2)(8;−7;15),

3)(5;−4;13),

4)(−5;4;−13).

Решение

x = x0 + mt

Параметрические уравнения прямой имеют вид y = y0 + nt ,

z = z0 + pt

где M0 (x0 ; y0 ; z0 ) – точка, через которую проходит прямая. В данном случае M0 (−8;7;−15) .

Верный ответ – № 1.

Задача 3.2.32
Направляющим вектором прямой 3x − 2 y − z + 4 = 0		является
	2x + y − 3z − 4 = 0
вектор с координатами ...
1)	{1;1;1} ,
2)	{1;−1;−1} ,
3)	{1;−1;1} ,
92

4) {1;0;−1}.

Решение

Данная прямая в пространстве задана как линия пересечения

двух плоскостей	A1x + B1 y + C1z + D1	= 0	, где	n	= { A ; B ;C	}
				1	1 1 1
	A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

и n2 = { A2 ; B2 ;C2} нормальные векторы первой и второй плоскости

(рис. 3.23).

Найдем направляющий вектор s = {l;m;n} прямой. Поскольку он должен быть перпендикулярен нормальным векторам данных плоскостей n1 = {3;−2;−1} и n2 = {2;1;−3} , то он коллинеарен векторному произведению векторов n1 и n2 . Найдем векторное произведение n1 × n2 :

i

j

k

n1 × n2 =

3

−2 −1

= 7i + 7

+ 7

.

j

k

2

1

−3

Рис. 3.23

В качестве направляющего вектора прямой может быть выбран любой вектор, коллинеарный найденному. Выберем вектор в 7 раз

короче, чем вектор n1 × n2 .

s = 17 (n1 × n2 ) = {1;1;1}.

Верный ответ – № 1.

Задача 3.2.33

93

Если	ϕ – острый угол между прямой l:	x − 1	=	y + 3	=	z − 5
				6		−4
	2

и осью Ox , то значение выражения 14 cosϕ равно...

Решение

Косинус острого угла между прямыми найдем как модуль косинуса угла между направляющими векторами этих прямых.

У прямой l направляющий вектор sl = {2; 6; − 4} .

У оси Ox направляющий вектор sOx =

= {1;0;0} .

i

sl sOx

=

cos(l ^ Ox) = cos(sl ^ sOx ) =

sl

sOx

2 1+ 6 0 + (−4) 0

=

=

22 + 62 + (−4)2 12 + 02 + 02

=

2

=

2

=

1

.

4

+ 36 + 16

56

14

Значение выражения

14 cosϕ равно 1.

Ответ: 1.

Задача 3.2.34

Вектор

= {2; − 3;5}

является направляющим вектором прямой,

a

проходящей через точки M1 (1; −1;2)

и M2 (−1;α; − 3), при значении

параметра α , равном…

Решение

Рис. 3.24

94

Если вектор

a

является направляющим вектором прямой, то

вектор

и вектор

1

2

{

}

коллинеарны (рис. 3.24),

a

M

M

=

−2;α+1;

− 5

следовательно, координаты векторов пропорциональны:

−2

= α + 1

=

−5 .

2

−3

5

Отсюда α = 2.

Ответ: 2.

Задача 3.2.35

Ордината точки пересечения прямой l:

x

=

y − 1

=

z + 2

с плос-

2

костью Oxy равна…

3

1

Решение

Плоскость Oxy имеет уравнение:

z = 0.

Прямая l задана каноническим уравнением

x

=

y − 1

=

z + 2

.

3

Найдем точку пересечения прямой l

2

1

с плоскостью Oxy :

x

=

y − 1

=

z + 2

M0

2

1 .

: 3

= 0

z

Подставляя z = 0 в канонические уравнения прямой, получаем систему, решая которую, находим координаты точки пересечения прямой с плоскостью:

	x	=	2
	3		1			x = 6
					2
y −			1
				=		y = 5.
		2			1
z		= 0				z = 0

95

Ответ: 5.

Задача 3.2.36

Точка A(α; − 6;2)

принадлежит прямой, проходящей через точки

M1 (−3; − 4;3)

и M2 (−6; − 2;4) , призначениипараметра α , равном…

Решение

Уравнение

прямой,

проходящей через две

данные

точки

M

1

(x ; y ; z

)

и

M

2

(x ; y ; z

2

)

имеет вид

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

.

1

1

1

2

2

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

В данном случае

x + 3

=

y + 4

=

z − 3

;

−6 + 3

−2 + 4 4 − 3

x + 3

=

y + 4

=

z − 3

.

−3

2

1

Точка

A принадлежит прямой, следовательно,

ее координаты

удовлетворяют

каноническим уравнениям

прямой

α + 3 =

−3

= −6 + 4

= 2 − 3

. Отсюда α = 0 .

2

1

Ответ: 0.

Задача 3.2.37

Если ϕ – острый угол между прямой

x − 2 y − 3z = 0

и осью

x + y − z = 0

Ox , то значение выражения

38 cosϕ равно...

Решение

Прямая в пространстве рассматривается как линия пересечения двух плоскостей α1 и α2 .

Найдем направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов плоскостей:

96

j

k

i

sl = n1 × n2 =

1 −2 −3

= 5

− 2

+ 3

.

j

k

i

1

1

−1

Ось Ox имеет направляющий вектор sOx =

= {1;0;0} .

i

cos(l ^ Ox) =

cos(sl ^ sOx )

=

sl sOx

=

1 5 + 0 (−2) + 0 3

=

5

.

sl

sOx

1 52 + (−2)2

+ 32

38

Значение выражения 38 cosϕ равно 5.

Ответ: 5.

Задача 3.2.38

Если прямая x + 2 y + z + D = 0

0

проходит

через

точку

2x + By − 3z + 3 =

M (1;2;1), то произведение B D равно...

Решение

Прямая в пространстве задана как линия пересечения двух

плоскостей. Если прямая проходит через точку			M (1;2;1), то точка
M принадлежит как первой, так и второй плоскости.
Подставим координаты точки M (1;2;1) в			уравнение	первой
плоскости,	получим	1+ 4 + 1+ D = 0 , D = −6 .	Аналогично для
второй	плоскости	2 + 2B − 3 + 3 = 0 ,	B = −1 .	Значит,

B D = (−6) (−1) = 6 .

Ответ: 6.

Задача 3.2.39

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно плоскости 2x − 3y + 4z − 5 = 0 , имеет вид…

1) 2x − 3y + 4z = 0,

97

2)x + y − z = 0,

3)2x − 3y + 4z + 5 = 0,

4)12 x − y + 14 z = 0.

Решение

Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости 2x − 3y + 4z − 5 = 0 , то в качестве ее нормального вектора можно

взять нормальный вектор данной плоскости n = {2;−3;4} . Составим уравнение плоскости, проходящей через точку O(0;0;0) , перпендикулярно вектору n .

2x − 3y + 4z = 0.

Верный ответ № 1.

Задача 3.2.40

Прямая 1x = 2y = 3z

1)параллельна плоскости Oyz ,

2)параллельна оси Ox ,

3)проходит через начало координат,

4)не существует.

Решение

Прямая задана каноническими уравнениями. Вектор s = {1;2;3}

является направляющим вектором прямой. Поскольку все три координаты направляющего вектора отличны от нуля, то прямая не перпендикулярна ни одной из координатных осей, следовательно, она не может быть параллельна какой-либо координатной плоскости или какой-либо координатной оси. Поэтому варианты ответов № 1, 2, 4 не верны.

Из уравнения видно, что точка O(0;0;0) принадлежит прямой.

Верный ответ № 3.

98

Задача 3.2.41

Даны прямые l1 : x − 2 = y + 3 = z − 4 3 5 7

Верным утверждением является…

1)прямые l1 и l2 перпендикулярны;

2)прямые l1 и l2 параллельны;

3)угол между прямыми l1 и l2 равен

иl2

α=

x = −7t + 5

: y = 5t − 4 .

z = −3t + 2

	−	17		;
arccos		83

	4) угол между прямыми l1 и l2			17
		равен α = arccos	−			.
				33	83
	Решение	точку M1 (2;−3;4) и
	Прямая l1 проходит через				имеет

направляющий вектор s1 = {3;5;7} . Аналогично прямая l2 проходит через точкуM2 (5;−4;2) параллельно вектору s2 = {−7;5;−3} .

Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны направляющие векторы этих прямых. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

В данном случае s1s2 = 3 (−7) + 5 5 + 7 (−3) ≠ 0 ,	следовательно,
прямые не перпендикулярны.
Прямые параллельны тогда и только	тогда, когда

направляющие векторы этих прямых коллинеарны и точка M1 первой прямой не принадлежит второй прямой.

Проверим условие коллинеарности векторов s1 и s2 – условие пропорциональности координат:

	3	≠	5	≠	7	;	следовательно,	прямые	не	являются
	−7		5		−3

параллельными.

99

cos(l1 l2 ) = cos(s1 s2 ) =

s1s2

=

s

s

2

1

=

3 (−7) + 5 5 + 7 (−3)

= −

17 .

32 + 52 + 72 (−7)2 + 52 + (−3)2

83

−

17

Таким образом, угол между прямыми равен arccos

83

.

Верный ответ № 3.

Задача 3.2.42

y − 2

z − 1

Точка пересечения прямой l :

x

=

=

с

плоскостью

−1

1

3

α: 2x − 3y + z + 13 = 0 имеет координаты ...

1)(−1;−5;0),

2)(0;2;1),

3)(1;0;−15),

4)(1;5;0).

Решение

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости требуется

x

=

y − 2

=

z − 1

,

3

−1

решить систему 1

2x − 3y + z + 13 = 0.

Для решения системы удобно перейти от канонических уравне-

ний прямой к параметрическим.

x = t ,

Запишем уравнения

прямой

в

параметрическом виде:

y = 2 + 3t , z = 1− t .

Подставляя значения

x , y , z

в

уравнение плоскости,

имеем

2t − 3(2 + 3t) + 1− t + 13 = 0 .

Откуда t = 1.

100