книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 1 Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия
.pdfЗадача № 1.2.14 |
|
|
||
Система |
6x1 |
+ ax2 |
= 1, |
несовместна при а, равном … |
|
+ 12x2 = 3 |
|||
|
8x1 |
|
Решение
Неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными несовместна, т.е. не имеет решений, если главный опреде-
литель системы |
= 0 и хотя бы один из определителей |
x или y |
||||||||||
отличен от нуля. |
|
|
|
|
||||||||
= |
|
6 |
a |
|
|
= 0, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
8 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
72 − 8a = 0, |
|
|
|
|
||||||||
a = 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = |
|
6 |
1 |
|
= 18 − 8 = 10 ≠ 0 , т.е. |
при a = 9 система решений не |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
8 |
3 |
|
|
|
|
|
||||
имеет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: 9. |
|
|
|
|
|
|||||||
Задача № 1.2.15 |
|
|
|
|||||||||
Система |
x1 |
+ ax2 = 3, |
имеет |
бесконечно много |
решений, |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 − 4x2 = 6 |
|
|
|
при а, равном…
Решение
Неоднородная система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений, если = 0 , при этом x = 0 , y = 0 .
Из уравнения = 0 найдем а.
=1 a = 0,
2 −4
−4 − 2a = 0, a = −2.
21
Проверим, что при a = −2 x = 0 , y = 0 .
3a
x= 6 −4 = 0,
13
y= 2 6 = 0.
При a = −2 система имеет бесконечно много решений.
Ответ: –2.
Задача № 1.2.16
3x1 − x2 + x3 = −6, |
||||
Сумма решений x1 , x2 , x3 системы 2x1 |
+ x2 + 2x3 |
= −1, рав- |
||
4x |
+ 7x |
− x |
= −2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
на…
Решение
Решение неоднородной системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными определяется по формулам Крамера:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
|
x1 |
, x = |
x2 |
, x = |
x3 |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|||||
Вычислим |
, |
|
x |
, x |
, x . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||
= |
|
3 |
|
|
−1 |
1 |
|
= −45. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
4 |
7 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
−6 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
= |
|
|
−1 |
1 |
|
2 |
|
= 90. |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
−2 |
7 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
−6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x2 |
= |
|
2 |
−1 |
|
2 |
|
|
= −45. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
−2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
|
|
3 |
−1 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x = |
|
2 |
1 |
−1 |
|
= −45. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
4 |
7 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда x |
= |
|
x1 |
= −2, x = |
|
x2 |
= 1, |
x = |
|
x3 |
= 1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача № 1.2.17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9 |
x2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Сумма решений уравнения |
|
|
−2 |
−3 |
|
x |
|
= 0 равна… |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Найдем определитель по правилу треугольников:
4 |
9 |
x2 |
= −12 + 9x − 4x2 + 3x2 − 8x + 18; |
−2 |
−3 |
x |
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
−x2 + x + 6 = 0; x2 − x − 6 = 0;
x1 = 3, x2 = −2 – решения уравнения. Сумма решений равна x1 + x2 = 1 .
Ответ: 1.
23
II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§2.1. Вопросы тестовых заданий
Вопрос 2.1.1
Модуль вектора AB , где A(x1, y1, z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) , равен…
1)(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ;
2)(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ;
3)(x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 );
4)(x2 − x1 )( y2 − y1 )(z2 − z1 ).
Решение
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала
AB = { x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1}.
Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его координат, т.е.
AB = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
Верный ответ № 2.
Вопрос 2.1.2
Для вектора c = a + b справедливы высказывания…
1)вектор c можно найти по правилу треугольника;
2)вектор c может быть коллинеарен каждому из своих слагаемых;
3)вектор c перпендикулярен вектору d = a − b ;
4)вектор c имеет длину, равную сумме длин векторов a и b;
5)вектор c коллинеарен вектору g = 2a + 2b.
24
Решение
Рис. 2.1
Суммой двух векторов a и b называется вектор, направленный из начала первого вектора a в конец второго вектора b , при
условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a
(рис. 2.1), т.е. первое высказывание верно.
Если векторы a и b коллинеарны, то сумма a + b является вектором, коллинеарным векторам a и b , поэтому второе выска-
зывание верно.
Если векторы a и b представить как стороны параллелограм-
ма, то векторы a + b и a − b совпадают с диагоналями параллелограмма. Диагонали параллелограмма перпендикулярны только в том случае, когда параллелограмм является ромбом или квадратом, т.е.
когда a = b , поэтому третье высказывание неверно.
Если векторы a и b совместить со сторонами треугольника, то
вектор a + b совпадет с третьей стороной. Для сторон треугольника справедливо утверждение: любая сторона треугольника не превосходит суммы двух других сторон. Поэтому четвертое утверждение неверно.
Используя свойство операций сложения векторов и умножения вектора на число, имеем g = 2a + 2b = 2(a + b ). По определению
операции умножения вектора на число вектор 2(a + b ) коллинеарен вектору a + b , поэтому пятое утверждение верно.
25
Вопрос 2.1.3
Если координаты векторов a = {ax , ay , az } и b = {bx ,by ,bz } про-
порциональны, то векторы … .
Решение
Если координаты векторов пропорциональны, то выполнено
соотношение |
a |
x |
= |
ay |
= |
a |
z = λ . Отсюда |
a |
x |
= λb , a |
y |
= λb ,a |
z |
= λb . |
|
|
|
||||||||||||
|
bx |
|
by |
|
bz |
|
x |
y |
z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что a = λb . По определению операции произведения вектора на скаляр векторы a и b коллинеарны.
С другой стороны, из равенства a = λb следует, что a − λb = 0 . Левую часть последнего равенства можно рассматривать как линейную комбинацию векторов a и b с нетривиальным набором скаляров {1,−λ} . По определению векторы a и b являются линейно за-
висимыми.
Вопрос 2.1.4
Пусть ненулевые векторы a и b линейно зависимы, тогда…
1)a и b коллинеарны;
2)координаты векторов a и b пропорциональны;
3)существует такое действительное число λ , что λ = ba ;
4)существует такое действительное число λ , что a = λb;
5)сумма a + b есть нулевой вектор.
Решение
Пусть векторы a и b линейно зависимы, тогда найдутся два числа, одновременно не обращающиеся в ноль, такие что
λ1a + λ2 |
|
= |
|
. |
Без ограничения общности будем полагать, что λ1 ≠ 0. |
|||||
b |
0 |
|||||||||
Тогда a = − |
λ2 |
|
|
, т.е. вектор a равен вектору |
|
, умноженному на |
||||
|
b |
b |
||||||||
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скаляр |
|
− |
λ2 . Из определения операции умножения вектора на ска- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ляр следует, что векторы |
a и |
|
|
коллинеарны. Первое утвержде- |
|||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ние верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Как |
было |
отмечено |
выше, |
a = − λ2 |
|
. |
Поэтому a |
|
= − |
λ 2 b , |
||||||||||||||||||
|
|
|
b |
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
||
a |
|
= − |
λ |
2 |
b |
|
, |
a |
|
= − |
λ |
2 b . |
Отсюда |
a |
x |
= |
|
ay |
= |
a |
z . Второе предложе- |
||||||||||
y |
|
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
bx |
|
|
by |
|
|
bz |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ние верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
Операция деления векторов не определена, поэтому выражение |
||||||||||||||||||||||||||||||
не имеет смысла. Третье предложение неверно. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
b |
|
λ 2 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Как было отмечено ранее, a = − |
|
|
. Полагая λ = − |
полу- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
λ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чаем a = λb . Четвертое утверждение верно.
Из определения линейной зависимости векторов следует существование таких чисел λ1,λ2 , одновременно не обращающихся в
ноль, что справедливо равенство λ1a + λ2b = 0 . При этом λ1 и λ2 не обязательно равны единице, поэтому пятое утверждение неверно.
Вопрос 2.1.5
Установите соответствие между проекцией прl a и взаимным расположением вектора a с осью l.
<А>
Рис. 2.2
27
<Б>
<В>
<Г>
Рис. 2.2. Окончание
<1> прl a > 0, <2> прl a < 0, <3> прl a = 0, <4> прl a = a , <5> прl a > l , <6> прl a = 1,
Решение
Проекция вектора a на ось l равна модулю вектора a , умноженному на косинус угла ϕ между вектором и осью: прl a = a cosϕ ,
28
где ϕ – угол поворота оси l против часовой стрелки до совпадения с направлением вектора a .
<А>
Рис. 2.3
На рисунке <А> угол ϕ – острый, следовательно, cos ϕ > 0 . Поэтому прl a > 0 .
Рисунку <А> соответствует ответ № 1.
<Б>
Рис. 2.4
На рисунке <Б> угол ϕ – тупой, следовательно, cos ϕ < 0 . Поэтому прl a < 0 .
Рисунку <Б> соответствует ответ № 2.
<В>
Рис. 2.5
На рисунке <В> угол ϕ – прямой, следовательно, cos ϕ = 0 . Поэтому прl a = 0.
Рисунку <В> соответствует ответ № 3.
29
<Г>
Рис. 2.6
На рисунке <Г> угол ϕ = 0°, следовательно cos ϕ = 1. Поэтому,
прl a = a .
Рисунку <Г> соответствует ответ № 4.
Вопрос 2.1.6
Если два вектора перпендикулярны, то скалярное произведение этих векторов равно … .
Решение
Скалярным произведением двух векторов называется число, равноепроизведениюмодулей этихвекторовнакосинусугламежду ними,
a b = a b cos ϕ.
|
|
Рис. 2.7 |
|
В данном случае векторы перпендикулярны (рис. 2.8), |
т.е. |
||
ϕ = 90° , cos 90° = 0, следовательно, скалярное произведение |
этих |
||
векторов равно нулю ( a |
|
= 0 ). |
|
b |
|
Рис. 2.8
30