книги / Общие теоремы теории упруго-пластических сред
..pdf22 § 2. Основные предположения законы пластичности
Иное обоснование было предложено в 1951 году Бишопом и Хиллом [4], которые вывели (2.11) для поликристаллического агрегата, основываяэь на свойствах отдельных кристаллов. Многообещающие результаты были также получены в 1957— 1958 годах Циглером [87, 88], который предпринял попытку включить теорию пластичности в сфе ру действия принципа Онзагера для необратимых термо динамических процессов,
В случае пропорционального нагружения элемента, т. е. при пропорциональном возрастании всех напряже ний, соотношения между напряжениями и деформациями (2.22) или (2.23) можно, конечно, проинтегрировать. По лучаемые при этом соотношения между конечными зна чениями напряжений и полными величинами пластических деформаций часто используются также при произвольных путях нагружения; соответствующую теорию обычно на зывают деформационной теорией пластичности (в отличие от рассмотренной выше теории течения).
Деформационная теория для идеально пластических материалов названа именем Генки, предложившего ее в 1924 году [27]. Дефекты деформационной теории с фи зической точки зрения были отчетливо показаны в 1947 году Хандельманом, Лином и Прагером [28]. Тем не менее, в некоторых случаях теории пластичности деформа ционного типа можно использовать с определенной уверен ностью для получения полезных приближенных решений, если пути нагружения всех элементов тела не слишком силь
но отклоняются от пропорционального нагружения. Более |
|||
того, как |
недавно показали Сандерс [78], Ходж |
[43, 44] |
|
и Будянский [8], деформационная теория для |
материалов |
||
с сингулярной поверхностью текучести может |
быть спра |
||
ведлива |
не только при пропорциональном нагружении, |
||
но и при |
более слабых ограничениях. Однако |
деформа |
ционная теория ни в коем случае не может быть приме нимой при полностью произвольных путях нагружения. Основные физические соотношения обязательно должны содержать скорости пластической деформации.
Наконец, следует также упомянуть о теории скольже ния Ба'тдорфа и Будянского [2], вызвавшей большой
интерес несколько |
лет тому назад, и о предложенной |
в 1950 году Уайтом |
[86] теории суперпозиции напряже- |
§ 3. Теоремы единственности |
23 |
пий в связанных элементах идеально пластического мате
риала, |
которая |
была |
независимо развита |
.Бесселингом |
||
в 1953 году |
[3]. |
Первоначально эти теории |
были выдви |
|||
нуты в |
качестве |
нового подхода, существенно |
отличного |
|||
от теории |
течения. |
В последующем более |
детальное |
исследование Койтера [51] обнаружило, что эти теории можно рассматривать как частные случаи общих соотно шений (2.23) для сред с сингулярной поверхностью те кучести.
§3. Теоремы единственности
3.1.Краевая задача для скоростей изменения напря жений. Рассмотрим тело, которое произвольным образом деформировано приложенными массовыми силами и по верхностными нагрузками или заданными на поверхности перемещениями. Вообще говоря, при этом некоторая об
ласть тела будет в пластическом состоянии, т. е. напря-
. женное состояние каждой точки этой области будет изображаться точкой на поверхности текучести; другая область будет в состоянии разгрузки после предшество вавшей пластической деформации; наконец, в остальной области тела всюду будут иметь место только упругие деформации. Напряженное состояние для двух последних областей лежит внутри поверхности текучести. Следует иметь в виду, что поверхность текучести может меняться от точки к точке тела; такая неоднородность обязательно будет иметь место в упрочняющемся материале вследствие того, что локальная поверхность текучести зависит от
степени упрочнения данного |
элемента. |
силы |
X iy |
по |
||||
Предположим, |
что |
внешние массовые |
||||||
верхностные |
нагрузки |
pi |
на |
части поверхности |
S p |
где |
||
эти нагрузки |
заданы) |
и |
перемещения ui0 |
на части |
(по |
|||
верхности S u (где |
заданы перемещения) возрастают с |
за |
данными скоростями X it pv ui0. 1).
J) Для упрощения мы не будем рассматривать смешанные кра евые условия, когда на части поверхности задаются, например, нормальные {к поверхности) усилия и касательные перемещения. Читатель легко проверит, что теоремы единственности и минималь* ные принципы справедливы п для таких смешанных краевых условий.
24 |
§ 3. |
Теоремы единственности |
|
|||
Если нигде |
на |
поверхности |
не |
заданы |
перемещения |
|
(Su = 0), то поверхностные нагрузки |
и массовые силы |
|||||
Х х и их скорости должны, конечно, |
удовлетворять шести |
|||||
уравнениям |
равновесия твердого |
тела. При |
этом теорема |
|||
единственности |
для |
скоростей |
изменения |
напряжений |
||
в этой краевой |
задаче состоит в том, что не может су |
ществовать более одного распределения скоростей изменения напряжений, являющегося решением, т. е. удовлетворя ющего следующим требованиям:
а) скорости изменения напряжений |
удовлетворяют |
уравнениям равновесия в объеме тела |
|
Ou.i + X t = 0; |
(3.1) |
б) скорости изменения напряжений удовлетворяют краевым условиям для напряжений на S p:
|
|
<*иЪ = Pi, |
|
|
(3.2) |
|
в) |
соответствующие |
скорости |
деформаций |
eiy{(2.24) |
||
или (2.26)] совместны, т. е. могут быть выведены |
из |
|||||
поля скоростей ut по формулам |
|
|
|
|
||
|
Ёа ~ |
~2 (wt, у "ЪWy, i); |
|
(3.3) |
||
г) скорости удовлетворяют краевым |
условиям на |
Su: |
||||
|
|
«! = ««; |
|
|
(3-4) |
|
д) для идеально пластического материала скорости |
||||||
изменения напряжений в пластической области |
тела |
та |
||||
ковы, |
что |
|
|
|
|
|
|
^а = ^ ^ |
' < 0 ’ если |
/“ = |
0- |
(3-5) |
3.2. Доказательство единственности для скоростей изменения напряжений. Теорема единственности будет доказана, если показать, что предположение о существо
вании двух различных решений (и и ai}-(2) ведет к про тиворечию. Заметим, что разность этих решений будет являть ся самоуравновещенным распределением скоростей изме
§ 3. Теоремы единственности |
25 |
нения напряжений с равными нулю на S p скоростями изме нения поверхностных нагрузок.
Разность соответствующих скоростей деформации
8tj(i) и eij(2), вычисляемых согласно (2.24) или (2.26), будет полем совместных скоростей деформации, которому отвечает поле скоростей, равных нулю на Su. Применяя уравнение виртуальных работ (2.5) к скоростям измене
ния напряжений [cr^(i) — стццг)] и к скоростям деформации
[«ij (I) — (2)], находим
^ [аи ( 1) — °а (2)] [ 8 « ( 1) — 8 у (2 )] dv = 0. |
( 3. 6) |
С другой стороны, можно показать, что подинтеграль
ное выражение в (3.6) положительно, если Щ/о) Ф 0у(2)> таким образом, будет установлено наличие противоречия. Рассматривая вначале упругие составляющие скоростей деформации в подинтегральном выражении, находим
|
— °ij (2)] [8Ц (1) — Щу (2)] = |
|
= |
(1) — O'ij (2)] [cTftft(1) — CTftfe (2)] > 0, |
(3.7) |
если CTijfi) Ф оц (2)x). Для пластических |
составляющих |
скоростей деформации имеет место неравенство |
|
[СТЩ1) — °И(2)] [8«(1) — еУ(2>] > 0> |
(3.8) |
которое в случае идеально пластического материала является прямым следствием (2. J4) и (2.16); для упро чняющегося материала это неравенство может быть выведено путем преобразования левой части с помощью (2.23) -(2.30).
3.3. Единственность скоростей деформации. На осно вании доказанного единственность скоростей деформации для упрочняющегося материала теперь вытекает непо средственно из соотношений между напряжениями и де формациями (2.26). Аналогичное заключение в случае1
1) См. примечание г) на стр. 10.
26 |
§ |
Теоремы единственности |
идеально |
пластического материала не следует, однако, |
из соотношений (2.24). В действительности, распределение скоростей деформации в теле из идеально пластического материала не обязательно единственно. Разность между двумя возможными распределениями скоростей деформации дает, конечно, чисто пластическое распределение скоростей; более того, она должна представлять собой поле совместных скоростей деформации, которому соответствует поле скоро стей, равных нулю на S u. Обозначим через Ха параметры в соотношениях (2.20), отвечающие одному распределению скоростей деформации; другие решения для скоростей деформации можно получить, если можно найти вариа
ции АХа, являющиеся скалярными функциями |
положения |
||||
в той области тела, |
где |
/а = 0 и fa —0, |
и если |
при |
этом |
|
|
а |
|
|
(3-9) |
|
|
|
|
|
|
образуют поле совместных скоростей деформации, |
кото |
||||
рому соответствует |
поле |
скоростей, равных нулю на Su |
|||
и если, наконец, всюду |
+АА,а > 0 . |
характеризуемое |
|||
Явление пластического разрушения, |
возникновением ненулевого поля скоростей деформации при постоянных нагрузках, представляет собой наиболее важный пример неединственности распределения скоростей деформации. Отсутствие единственности скоростей дефор мации может иметь место также и в случае, когда тело еще не находится в стадии пластического разрушения.
В действительности это отсутствие единственности заложено в самой концепции идеально пластического тела и не должно давать повода для необоснованных сомне ний. За исключением случая пластического разрушения, единственность скоростей деформации может быть вос становлена, если рассматривать идеально пластический материал как предельный случай упрочняющегося мате
риала, |
полагая, что обратные |
функции упрочнения hй1 |
[ср. с |
(2.26)] стремятся к нулю. |
Такой прием был недавно |
использован Хиллом для преодоления аналогичного затруд нения в теории жестко-пластических тел [38].
3.4.Единственность напряжений. Заметим, что теорема
оединственности для краевой задачи, сформулированной
§ 3. |
Теоремы единственности |
27 |
в п. 3.1, относится |
к скоростям изменения |
напряжений, |
т. е. к приращениям напряжений, соответствующим задан ным приращениям нагрузок или перемещений на поверхно сти. Отсюда следует, что напряженное состояние тела также единственно, если задана вся история нагружения тела, начиная от исходного «естественного» состояния и кончая рассматриваемыми конечными значениями на грузок и заданных на поверхности перемещений. С другой стороны, распределение напряжений в заключительной стадии нагружения существенно зависит от этой истории нагружения, т. е. от пути, по которому были достигнуты эти конечные значения нагрузок и заданных на поверхно сти перемещений. Поэтому нельзя ожидать единственности распределения напряжений, если даны только конечные значения нагрузок и перемещений, заданных на поверх ности.
Однако единственность распределения напряжений при заданных конечных значениях нагрузок и (или) переме щений на поверхности будет обеспечена, если в добав ление к этим конечным значениям нагрузок и перемещений на поверхности будет задано распределение в теле пла стических деформаций г"ц. Для доказательства этой теоремы покажем, как и ранее, что предположение о суще ствовании двух различных распределений напряжений, Стц(1) и оц(2), ведет к противоречию. Очевидно, что раз ность этих двух распределений напряжений самоуравновешена. Упругие деформации ер (() и elj (2), соответствующие двум распределениям напряжений, не обязательно будут
совместны, |
но |
поскольку |
sij(i)] |
и [ei;'+ ег/(2)] сов |
||
местны |
и |
удовлетворяют |
краевым условиям |
для переме |
||
щений |
на Su, |
разность [efr(о — е(;(2)] |
будет |
совместным |
распределением деформаций, которому отвечают переме
щения, равные нулю на Su. |
Применяя |
уравнение |
вирту |
|
альных работ (2.5) |
к |
—<Тг/(2)] |
и [e(j(1) —е(д2)], |
|
находим |
|
|
|
|
^ [®У(1) |
(2)] |
(2)1 dl>= 0. |
(3.10) |
С другой стороны, из закона Гука (2.7) следует, что подинтегральное выражение в (3.10) положительно, если она) Ф оц(2)1 таким образом, единственность доказана,
28 |
§ |
3. |
Теоремы единственности |
|
Эта |
теорема |
о |
единственности может |
быть изложена |
в несколько иной форме, которая часто |
оказывается бо |
|||
лее удобной для |
приложений. Пусть а[е) — распределе |
ние напряжений в идеально упругом материале, соответ ствующее заданным массовым силам Х 1 в объеме тела, поверхностным нагрузкам pt на 5 Р и перемещениям ui0, заданным на поверхности Su. Это «упругое» распределе ние напряжений, очевидно, единственно. Теперь действи тельные напряжения всегда могут быть представлены в форме
|
|
0и = ° # + еи, |
|
(ЗЛ1) |
|
где Qij |
будем |
называть |
остаточными |
напряжениями. |
|
Остаточные напряжения возникают |
вследствие того, что |
||||
пластические |
деформации |
несовместны |
или отвечающие |
||
им перемещения не равны нулю на |
Su. |
Упругие дефор |
|||
мации, |
порождаемые остаточными |
напряжениями в соот |
ветствии с законом Гука, необходимы для того, чтобы результирующие деформации были совместными. Иначе остаточные напряжения могут быть определены как постоянные напряжения, остающиеся в теле после раз грузки, т. е. после снятия внешних нагрузок и возвра щения перемещений, заданных на поверхности Su,
к нулевым значениям, если такая разгрузка происходит без возникновения новых пластических деформаций. Оче
видно, |
что остаточные напряжения |
самоуравновешены, |
т. е. |
удовлетворяют (2.3) и (2.4) |
при Х { = 0, P i~ 0 . |
В этих терминах теорема гласит, что может существовать не более, чем одно распределение остаточных напряже ний Qij, соответствующее заданному распределению пла
стических деформаций |
и нулевым перемещениям на |
|
Su *). Аналогично, |
распределение скоростей остаточных |
|
напряжений |
соответствующее заданному распреде- |
J) Заметим, что обратное утверждение несправедливо. Данное распределение остаточных напряжений может быть вызвано множе ством распределений пластических деформаций; добавление любого совместного поля пластических деформаций с перемещениями, рав ными нулю на S u , не влияет на остаточные напряжения-
|
$ 3. |
Теоремы |
единственности |
|
2d |
|
лению |
скоростей пластической деформации е£ |
и скоро |
||||
стям, |
исчезающим |
на Su, |
также |
будет единственным1). |
||
Следует заметить, что |
данная |
теорема |
в |
некотором |
||
смысле |
является более общей, чем |
теорема |
о единствен |
ности в краевой задаче для скоростей изменения напряже ний (3.1), поскольку здесь не существенно, являются ли заданные пластические деформации е|) действительно пластическими или они имеют иное неу'пругое происхожде ние. Поэтому, например, теорема применима также в слу чае температурных напряжений.
3.5. Исторические замечания. Теорема о единственно сти решения краевой задачи, сформулированная в п. 3.1, была установлена в 1938 году Меланом в двух важных и в высшей степени оригинальных работах как для упрочняющейся [59], так и для идеально пластической среды [58], причем в обоих случаях для произвольной регулярной поверхности текучести. Теорема единственно сти в последней работе, по-видимому, осталась не замечен ной позднейшими авторами. Она была повторно доказана в 1949 году Гринбергом [23] для идеально пластического материала, подчиняющегося критерию текучести Мизеса [60]; обобщение теоремы на случай произвольной функции текучести Хилл [33] приписывает Ф. Б. Бауэру. Обобще ние для сингулярных поверхностей текучести как для упрочняющихся, так и для идеально пластических мате риалов было получено несколькими годами позже [51].
Все доказательства единственности решения краевой задачи п. 3. 1 основаны на достаточном условии (3.8) положительности интеграла (3.6). Возникает естественный вопрос, будет ли это достаточное условие также необходи мым; необходимость условия явилась бы дополнительным обснованием соотношений между напряжениями и деформа циями, опирающихся на фундаментальный квазитермодинамический постулат. Доказательства необходимости чрез вычайно трудны, и краткие замечания Мелана по этому поводу [59] едва ли могут .быть признаны достаточными, С другой стороны, Друккер показал на простом примере [19],)*
*) Теорема единственности для краевой задачи, сформулиро ванной в п. 3.1, также может быть высказана в терминах скоростей изменения остаточных напряжений, однако такая модификация, по-видимому, не имеет каких-либо преимуществ.
30 |
§ 3. Теоремы единственности |
что отсутствие |
единственности для скоростей изменения |
напряжений может иметь место в случае применения кри терия текучести Треска и неассоциированного закона тече ния Леви — Мизеса. Представляется вероятным, что исполь зование соотношений между напряжениями и деформациями, ассоциированных с условием текучести, действительно необходимо для обеспечения единственности решения краевой задачи.
Теорема о единственности результирующего распреде ления напряжений при заданном распределении пластиче ских деформаций (п. 3.4) в значительной степени при надлежит Колоннетти [10, 11, 12]. Эта теорема была незави симо снова открыта Рейсснером [74] и Меланом [58, 59].
§4. Минимальные принципы
4.1.Определения. Чтобы иметь возможность сформу лировать минимальные принципы, соответствующие краевой
задаче п. 3.1, введем некоторые определения. Распределе
ние скоростей напряжений |
в упрочняющемся материале |
||
будем называть статически |
возможным, |
если оно |
удо |
влетворяет уравнениям равновесия (3.1) |
в объеме |
тела |
и краевым условиям (3.2) для напряжений на Sp. Статиче ски возможное распределение скоростей изменения напряже ний в идеально пластическом теле должно также удо влетворять дополнительному условию (3.5), поскольку материал не может воспринимать напряжения, превосходя щие предел текучести. Скорости деформации (2.24) или
(2.26), соответствующие статически возможным скоростям
• •
изменения напряжений ст*,, будем обозначать ег* . Заме тим, что для произвольного распределения статически воз можных скоростей изменения напряжений скорости дефор-
мации е*j несовместны.
Поле скоростей деформации е?у будем называть кине матически возможным, если оно может быть выведено
посредством (3.3) из поля скоростей и\, удовлетворяющего краевому условию (3.4) на Su. Скорости изменения напряже ний, по (единственному) обращению формул (2.24) или
§ 4. Минимальные принципы |
31 |
(2.26), соответствующие кинематически возможному рас
пределению скоростей деформации, будем обозначать о?3. Заметим, что эти скорости изменения напряжений не удо влетворяют уравнениям равновесия (3.1) или краевым условиям (3.2) для напряжений на Sp, если кинематически возможное поле скоростей деформации выбрано произ вольно.
4.2. Формулировка принципов для скоростей измене ния напряжений и деформации. Минимальный принцип для скоростей изменения напряжений теперь можно выска зать в форме следующего утверждения: абсолютный минимум выражения
■j ^ в&Ъ dv — ^ о*)UjUio dS; |
(.4.1) |
s«
определенного для всех статически возможных распреде лений скоростей изменения напряжений, отвечает действи тельному распределению скоростей изменения напряжений
Оц (являющемуся решением краевой задачи, сформулиро ванной в п. 3.1).
Аналогично, минимальный принцип для скоростей
деформации может быть |
высказан в форме утверждения.; |
|
абсолютный минимум выражения |
|
|
4* ^ °Ь’еЬ dv - |
^ X tu\ d v— ^ "руД dS, |
(4.2) |
Sp
определенного для всех кинематически возможных рас
пределений скоростей деформации, отвечает действитель-
»
ному распределению скоростей деформации ei;- и соот
ветствующих им скоростей ut (являющемуся решением краевой задачи п. 3.1). В случае идеально пластического тела действительное распределение скоростей деформации не обязательно единственно, и минимум (4.2) достигается при всех распределениях скоростей деформации, являю щихся решением краевой задачи.
Посредством равенства
^ auBi]dv= ^Xi“i £fo+ ^ PiUidS-f |
^ au nfuiodS, (4.3) |
Sp |
su |