книги / Общие теоремы теории упруго-пластических сред

52 § 5. Теоремы о пластическом разруш ении и теория равновесия

математической теории пластичности хорошо иллюстри­ руется тем фактом, что общая теорема Мелана (отно­ сящаяся к упруго-пластическим средам, подвергающимся

воздействию нагрузок, которые		произвольно изменяются
в заданных пределах), заключающая в себе более				общий
принцип, была получена Меланом уже			в 1938 году [58,
59]; при этом до настоящего		времени, по-видимому, не
было замечено, что теорема Мелана в			некотором	смысле
содержит в себе, как частный		случай,	первую теорему о
разрушении (см. п. 6.6).				о раз­
Следует отметить,	что доказательство теорем
рушении опирается на положительность объемного				инте­
грала от выражения,	стоящего в левой части неравенства

(2.10), и на неотрицательность объемного интеграла от выражения, стоящего в левой части неравенства (2.11). Возникал вопрос, будут ли несомненно достаточные для этого условия (2.10) и (2.11) также и необходимыми [52]. Если бы ответ оказался утвердительным, то эвристически приемлемые теоремы о разрушении явились бы дополни­ тельным обоснованием фундаментального постулата Друккера (см. также п. 3.5). Окончательного ответа на этот вопрос, по-видимому, еще нет, но было показано на при­ мере, что теоремы о разрушении несправедливы для среды, подчиняющейся критерию текучести Треска и неассоци­ ированному закону течения Леви — Мизеса [52].

Наконец, следует упомянуть, что обе теоремы о раз­ рушении для упруго-пластической среды тесно связаны с двумя теоремами о пределе текучести жестко-пласти­ ческих тел [34, 35, 54, 71]. В среде последнего типа всякие деформации отсутствуют, пока нагрузки не достиг­ ли значений нагрузок текучести, после чего может воз­ никнуть неограниченное пластическое течение. Эквива­ лентность критической нагрузки жестко-пластической среды и- разрушающей нагрузки упруго-пластической среды едва ли удивительна, поскольку доказательство теорем о раз­ рушении не связано с какими-либо ограничениями вели­ чины упругих постоянных (исключая основное подразу­ меваемое условие о малости предела текучести по срав­ нению с модулем упругости, которое обеспечивает малость упругих деформаций).

Теория предельного состояния жестко-пластического

§ 6. Теоремы о приспособляемости	53
тела, выведенная в 1951 году Хиллом [34] из	его прин­

ципа максимума пластической работы [31] и соответст­ вующей дополнительной теоремы [33, 34] (являющейся обобщением принципа Маркова [56]), развивалась одно­ временно с теорией пластического разрушения, разрабо­ танной Друккером, Гринбергом и Прагером на основе законов деформирования упруго-пластических сред [17, 18]. Пока еще не существует единого мнения относитель­ но преимуществ этих различных подходов к теории пре­ дельного равновесия. Иногда предпочтение отдается жестко­ пластическому анализу [35, 37], поскольку он исключает возможность появления больших (или даже бесконечных) локальных деформаций, характерных для упруго-пласти­ ческого анализа разрушения. С другой стороны, с физи­

ческой точки	зрения нет существенной		разницы	между
идеализированными		схемами, лежащими	в основе	обоих
подходов [54,	71].	Мы используем здесь	упруго-пласти­

ческую схему, которая обнаруживает глубокую связь между теорией разрушения при постоянных нагрузках и проблемой приспособляемости при меняющихся нагруз­ ках, рассматриваемой в § 6. Жестко-пластическая теория, очевидно, неприменима для анализа последней задачи, поскольку упругие деформации оказывают существенное влияние на поведение тела под действием меняющихся нагрузок.

§6. Теоремы о приспособляемости

6.1.Определения. Конструкция обычно подвергается воздействию нескольких нагрузок, каждая из которых может независимо изменяться в определенных пределах. Для предотвращения пластического разрушения конструк­ ции из идеально пластического материала необходимо,

очевидно, чтобы никакая комбинация нагрузок," лежащих в этих заданных пределах, не являлась системой предель­ ных нагрузок в смысле, указанном в п. 5.1. Однако это необходимое условие отнюдь не является достаточным для предотвращения пластического разрушения. Как было отмечено в п. 5.5, величина пластической работы, и общая деформация тела при сложных программах нагружения могут неограниченно возрастать, даже если никакая

54 § 6. Теоремы о приспособляемости

отдельная комбинация нагрузок не вызывает пластиче­

ского	разрушения. Основная причина этого		заключается
в том,	что при одном или нескольких определенных цик­
лах изменения нагрузки в теле		возникают	циклы	скоро­
стей пластической деформации,		которые	могут	повто­

ряться всякий раз, когда такой критический цикл изме­ нения нагрузки имеет место. Этот второй тип пластиче­ ского разрушения можно назвать разрушением вследствие циклических пластических деформаций. В этом случае конструкция обычно выходит из строя вследствие недо­ пустимого накопления общей деформации, поскольку каждый повторяющийся критический цикл изменения на­ грузки влечет за собой увеличение этой деформации. Иногда в некоторой области тела могут чередоваться циклы скоростей пластической деформации противополож­ ных направлений; в этом случае чрезмерная деформация не является неизбежной, но после сравнительно неболь­ шого числа циклов изменения нагрузки может иметь место разрушение вследствие пластической усталости.

Характерная особенность'разрушения вследствие цик­ лических пластических деформаций заключается в том, что такое разрушение не будет иметь места тогда и только тогда, когда пластическое течение, не возобнов­ ляется после начального периода такого течения на ран­ них стадиях программы нагружения. Таким образом, пластическое деформирование на ранних ' стадиях про­ граммы ■нагружения должно привести к возникновению остаточных напряжений, сумма которых с напряжениями, соответствующими вполне упругому поведению телах) при

последующем воздействии нагрузок			(изменяющихся в за­
данных пределах), ни в	одной точке не нарушает условия
текучести. Говорят, что	при	этом	тело приспособилось
к состоянию остаточных	деформаций			и соответствующих
остаточных напряжений.
Для упрощения мы ограничим изложение основных
теорем о приспособляемости		наиболее		важным случаем,

когда заданные на поверхности Su значения перемещений

х) Следует помнить, что все нагрузки прикладываются медленно; можно поэтому пренебрегать силами инерции и не учитывать дина­ мические эффекты при анализе упругого поведения тела.

§ 6. Теоремы о приспособляемости	55
равны нулю 1)._ Введем вначале некоторые	определения

и обозначения.' Обозначим через <xi3-(/), Hj(t) и еlj{t) действительные напряжения, упругие и пластические деформации налюбой стадии программы нагружения. Вполне упругое поведение в той же программе нагруже­ ния характеризуется «упругими» напряжениями Oi/(t) и соответствующими упругими деформациями е|у(£). Оста­ точные напряжения и соответствующие им упругие дефор­

мации обозначим через е«(0 и Ео>(0- Все введенные тензоры являются медленно меняющимися функциями времени; они связаны зависимостями

		-ИОй, •	(6-1)
Hi Hi +	Hi	«о I HIT -t- Hi-	(6.2)
Введем представление	о	допустимом цикле	скоростей

пластическойдеформации который характеризу­ ется тем свойством, что приращения пластической дефор­

мации в таком цикле за некоторый интервал		времени Т,
равные	т
Ае{;о=	^ Hj0 dt,	(6.3)
	о

образуют кинематически возможное распределение деформа­ ций. Следовательно, деформации (6.3) могут быть выве­ дены посредством (2.1) из поля перемещений Д&{0, рав­ ных нулю на Su.

Полю скоростей пластической деформации Hjo(t) соот­ ветствует единственное распределение скоростей остаточ­

ных напряжений Qi;0(/) (см. п. 3.4).

Пусть Еуо(^) — скорости упругой деформации, соответ­

ствующие скоростям остаточных напряжений Qt3о(0> и

пусть	ui0(t) —поле	скоростей,	которому по соотношениям
!) Читатель может убедиться,			что теоремы справедливы	также
в тех	случаях, когда	участки S u могут испытывать жесткие		сме­

щения и при этом указаны пределы изменения результирующих нагру­ зок (результирующих сил и результирующих моментов) на участках S u•

56	§ 6. Теоремы о приспособляемости

(2.2) отвечает кинематически возможное поле скоростей деформации

(6.4)

Приращения перемещений в допустимом цикле скоростей пластической деформации будут равны

(6.5)

‘о

Поскольку приращения пластических деформаций за цикл кинематически возможны, остаточные напряжения в мо­ мент времени t = T возвращаются к своим начальным значениям, имевшим место при / = 0; вследствие этого

т

(6.6)

о

Наконец, коэффициентом запаса по приспособляемости т будем называть верхнюю границу положительных чисел k, обладающих следующим свойством: приспособляемость имеет место для всех нагрузок, пределы изменения кото­ рых получены путем умножения заданных пределов на к.

6.2.' Формулировка теорем. Первая теорема о приспо­ собляемости, или теорема Мелана, заключается в сле­ дующих утверждениях. Если, можно найти такое не зави­ сящее от времени распределение остаточных напряжений

Qi;-, что их сумма с «упругими» напряжениями o\f в каж­ дой точке тела образует безопасное напряженное состояние

(т. е. напряженное состояние внутри поверхности теку­ чести) при всевозможных комбинациях нагрузок, лежа­ щих в заданных пределах, то конструкция Приспособится к некоторому не зависящему от времени (но обычно зависящему от действительной программы нагружения) распределению остаточных напряжений, и при последую­ щих изменениях нагрузок в заданных пределах поведение конструкции будет вполне упругим. С другой стороны, приспособляемость невозможна, если не существует ника­

§ 6. Теоремы о приспособляемости

57

кого не зависящего от времени распределения остаточных напряжений с тем свойством, что при всех возможных комбинациях нагрузок сумма остаточных и «упругих» напряжений является в каждой точке тела допустимым напряженным состоянием.

Вторая теорема о приспособляемости заключается в следующих утверждениях. Приспособляемость невозможна (т. е. тело в конечном счете разрушится вследствие цик­ лических пластических деформаций), если можно найти -такие внешние нагрузки X t (t), P i ( t ) , величины которых лежат в заданных пределах, и такой допустимый цикл

скоростей пластической		деформации			что	будет
справедливо неравенство
т				d t ^ l ’ (ebo)dv,		(6.7)
X tuiodv-	$ /V ' ю	}	d t
где F (eljo) — диссипативная			функция		для пластической
энергии (2.13)	в цикле	скоростей		деформации е&о(0 *)•

С другой стороны, конструкция приспособится, если

можно найти число k >	1, обладающее	тем	свойством,
что для любых внешних	нагрузок X t(t),	p^t),	величины

которых лежат в заданных пределах, и для любых допус­

тимых циклов скоростей пластической деформации будет справедливо неравенство

Т

Х хщо dv + \ Pi«i0 dS	}Л<	F (еуо) dv. (6.8)
Sp

Верхняя граница таких чисел k будет, очевидно, коэф­ фициентом запаса по приспособляемости.

6.3.Доказательство теоремы Мелана. Справедливость

второго утверждения теоремы Мелана почти очевидна;

-1) Если участки Su могут испытывать жесткие смещения, то

определение допустимого цикла скоростей следует расширить, отме­

тив допустимость на участках S u скоростей жесткого смещения

кроме того, в левые части неравенств (6.7) и (6.8) следует также добавить интеграл от скорости изменения работы результирующих внешних нагрузок на S M.

58	§ 6. Теоремы о приспособляемости
приспособляемость явно невозможна, если не существует
распределения	остаточных напряжений, сумма которых

с напряжениями, отвечающими упругому поведению тела под нагрузками, не нарушает условия текучести.

Для доказательства первого утверждения теоремы Мелана рассмотрим существенно положительную энергию упругой деформации А, соответствующую остаточным

напряжениям Qi;- — Qiy:

А = ^ ~2 Ajjhh (Qij Qij) (Qiik 6 hit) dv, (6 -9 )

где Qij — мгновенные значения действительных остаточных

напряжений, Qi; — не зависящие от времени остаточные напряжения, удовлетворяющие условию Мелана.

Производная от А по времени

	Л = ^ (©iy	Q{j) Zijr d v
■с помощью (6.2)	приводится	к виду
А =	5 (Qij - Qij) (eif - elf - e«) dv.		(6.10)
Распределение остаточных		напряжений Qij —Qц	само-

уравновешено, а поле скоростей деформации ei} — кинематически возможно (поскольку оно представляет собой разность двух кинематически возможных полей ■скоростей деформации). При этом соотношение (6.10) на основании уравнения виртуальных работ принимает вид

kjd v .

(6.11)

По определению gij = oi;- — o\f, где ai} — действительные напряжения; принимая также во внимание условие Мелана

Qn =	— ojf, находим
	А= - f a j - o ^ k j d v .	(6.12)

Теперь из (2.20) следует, что производная А будет отрица­ тельной, если в действительной программе нагружения возникают отличные от нуля скорости пластической дефор­ мации. Поскольку А не может иметь отрицательных значений, пластическое течение не может продолжаться

§ 6. Теоремы о приспособляемости

59

беспредельно; таким образом, конструкция должна при­ способиться к некоторому распределению остаточных напряжений, после чего поведение конструкции при всех последующих изменениях нагрузок в заданных пределах будет вполне упругим.

Можно было бы возразить, что в этом доказательстве (так же, как в доказательстве первой теоремы о разру­ шении) ничего не сказано о величинах пластических де­ формаций, которые могут появиться, прежде чем конст­ рукция достигнет состояния приспособляемости. К сожа­ лению, здесь невозможно дать оценку локальных пластиче­ ских деформаций. Если, однако, снова принять в качестве критерия общей деформации величину пластической работы, затраченной в программе нагружения, то можно доказать, что при коэффициенте запаса по приспособляемости т > 1 общая деформация конструкции остается ограниченной. Действительно, наличие коэффициента запаса т > 1

■обеспечивает существование распределения	остаточных
напряжений Q{j-, обладающего тем свойством, что
т (eiy + о\?) = m o\f	(6.13)

■будет допустимым распределением напряжений при всех нагрузках, лежащих в заданных пределах. Следователь­ но, с помощью (2.11) получим

(ои —tmAf) &Ь> 0-

(6-14)

При этом подинтегральное выражение в (6.12) удовлетво­ ряет неравенству

		(ои - <$)	Oj/eJy.		(6.15)
Комбинируя		(6.12) и (6.15), мы получаем такое			неравен­
ство для скорости изменения пластической				работы Wp,
затраченной		в программе нагружения:
		# р =	,d v < - Z = ± A .		(6.16)
Интегрируя		это неравенство по времени от t = 0 до t = Т,
находим
« V <	И (°) - А ™		Н	dv.	(6.17)

60 § 6. Теоремы о приспособляемости

Очевидно, что для обеспечения приемлемых пределов, общей пластической деформации достаточно, чтобы коэф­ фициент запаса по приспособляемости т лишь незначи­ тельно превосходил единицу.

6.4. Доказательство первой части второй теорем Первую часть второй теоремы о приспособляемости будем доказывать от противного, т. е. покажем, что предполо­ жение об ошибочности этой теоремы ведет к противоре­ чию. Допустим, что приспособляемость имеет место, хотя

существуют некоторые нагрузки	(t),	pt (t) (величины
которых лежат в заданных пределах)	и	некоторый допу­

стимый цикл скоростей пластической деформации е?,о (/)» удовлетворяющие неравенству (6.7). Тогда, согласно теореме Мелана, должно существовать не зависящее

от времени распределение остаточных напряжений Qiy,

сумма которых с «упругими» напряжениями a[f (t), отве­ чающими мгновенным значениям нагрузок Х{ (/), pt (t),

образует допустимые напряжения a {f(0 :

ОЙ)+ в« = <4“).

(6.18)

Поскольку скорости деформации (6-4) кинематически воз­

можны и соответствуют скоростям ui0 (t), уравнение вир­ туальных работ дает

J X iuiodv + ^ PiiiiodS = ^ t $ yelJ0dv.	(6.19)
S p

Член в правой части может быть преобразован к виду

^ a(ijreijodv= ^ Oifkjodv + ^ o{fkj0dv+ ^ Qiye(y0dv. (6.20)

Напомним, что е|уо (0 являются скоростями упругих дефор­ маций, соответствующими скоростям остаточных напря­

жений Quо (/} в цикле пластических скоростей деформа­

ции elfо(t)\ при этом теорема взаимности Бетти и уравне­ ние виртуальных работ для скоростей изменения остаточ­

ных напряжений Qt,0 (0 и кинематически возможных дефор­

		§ 6. Теоремы о		приспособляемости	61
маций elf		(t) дают
		J о £ Я о dv =		$ 'Qijos[? dv = 0.	(6.21)
Интегрируя последний член в (6.20) по времени					от t = 0
до t = T,		находим [см. (6.6)]
		т		т
		^ dt	^ Q-jB'ij-o dv =	^ Qti do jj e-yo dt = 0.	(6.22)
Интегрирование			соотношений (6.19) и (6.20) по		времени
от	/ = 0 до f = Г дает
г				т
^	| ^ Х{ы{0dv + ^ t>iUiodS |			dt = ^ dt ^ ojyVyo dt>-	(6.23)
'0			S,|	ft

Принимая во внимание основное неравенство (2.11). обна­ руживаем противоречие между (6.7) и (6.23), наличие которого доказывает первую часть второй теоремы

оприспособляемости.

6.5.Доказательство второй части второй 'теоремы.

Для доказательства второй части второй теоремы пока­ жем, что полная величина пластической работы при любой программе нагружения (величины нагрузок лежат в задан­ ных пределах) будет ограниченной, если для всех допу­ стимых циклов скоростей пластической деформации выпол­ няется условие (6.8). Рассмотрим программу нагружения

Xi(t), Pi(t) произвольной .сложности (но согласующуюся

с заданными пределами) в интервале	времени 0 < t < tu
где t = 0 соответствует естественному	исходному состоя­

нию (остаточные напряжения отсутствуют). Действитель­

ные скорости пластической деформации е]'у (t) при произ­ вольной программе нагружения Х{(7), pt (f) сами по себе не обязательно образуют допустимый цикл в интервале времени 0 < t < tlt т. е. распределение деформаций

^ ё-у dt	[(6.24)
о-

•не обязательно будет кинематически возможным. С другой стороны, скорости пластической деформации еls(t) в интер­