книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения
..pdfВычислим выражения последовательных производных от y по x через производные по t, использовав теоремы о производной сложной функции и производной обратной функции:
dy = dy dt = e−t dy ;
dx dt dx |
dt |
d |
2 y |
|
d |
|
|
|
= e−t |
|
e−t |
dx2 |
|
|||
|
dt |
dy |
|
|
2 |
y |
|
|
|
|||
|
−2t d |
|
|
|
dy |
|||||
|
|
= e |
|
|
|
|
− |
|
; |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
dt |
|
dt |
|
|
|
dt |
мы замечаем, что выражения первой и второй производной по x содержат множители e –t и e –2t. Допустим, что k-я производная имеет вид
где α 1, α 2 ,...,α d k +1y
dxk +1
d |
k |
y |
|
|
k |
y |
|
d |
k −1 |
y |
|
|
|
||
|
= e |
−kt d |
|
+ α 1 |
|
|
+ ... + α k −1 |
dy |
|||||||
dx |
k |
|
|
|
k |
dt |
k −1 |
|
, |
||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
k −1 – постоянные. Тогда производная (k + 1)-го порядка
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k +1 |
y |
|
|
|
d |
k |
y |
|
|
|
|
|||
= e |
−t d d |
|
y |
= e |
−(k +1)t d |
|
|
+ (α |
|
− k) |
|
+ ... − kα |
|
dy |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
k +1 |
1 |
dt |
k |
k −1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
dt dx |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
т.е. опять множитель e−(k +1)t впереди, а в скобке – линейная комбинация производных от (k + 1)-го до первого порядка с постоянными коэффициентами. Итак, это свойство доказано для всякого натурального k. Когда мы будем вычисленные нами производные подставлять в уравнение (4.65), нам
придется при всяком k умножать |
d k y |
на a xk = a ekt; при этом |
|
|
|||
|
dxk |
k |
k |
|
|
|
показательные множители, содержащие t, сократятся, и мы получим линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Пример 12.
x2 |
d2 y |
+ 3x |
dy |
+ y = 0 . |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
dx2 |
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
d 2 y |
dy |
|
|||
Замена переменного x = et дает |
|
|
+ 2 |
|
+ y = 0; характеристическое |
||||
|
dx2 |
dx |
|||||||
уравнение k 2 + 2k + 1 = 0 имеет равные корни |
k1 = k2 = −1. Общее решение |
||||||||
в функции от t: |
|
|
|
|
|
|
|
y = e−t (C1 + C2t) ,
а в функции от x:
y= 1 (C1 + C2 ln x). x
Заметим, что в преобразовании уравнения, в случае отсутствия кратных корней характеристического уравнения, частные решения имеют вид: ekt = (et)k; следовательно, в исходном уравнении они имеют вид xk. Поэтому можно непосредственно задаться этим видом частного решения и подставить его в уравнение (4.65). При этом
101
xm |
d m (xk ) |
= k (k −1)...(k − m + 1)xk , m ≤ k , |
|
dxm |
|||
|
|
внося эти выражения в уравнение (4.65), после сокращения на xk, получим алгебраическое уравнение n-й степени для определения k:
k(k −1)...(k − n +1) + a1k(k −1)...(k − n + 2) + ... + an−2k(k −1) + an−1k + an = 0 . (4.66)
Из предыдущих рассуждений очевидно, что уравнение (4.66) совпадает с характеристическим уравнением для дифференциального уравнения в переменном t. Каждому действительному простому корню k уравнения (4.66) соответствует частное решение xk уравнения (4.65), двойному корню соответствуют два решения xk и xklnx, …, корню кратности r соответствуют r решений xk, xklnx, xk(lnx)2, …, xk(lnx)r–1. Паре простых сопряженных корней
α |
± iβ уравнения (4.66) будут, таким образом, соответствовать два решения |
||||||||||
уравнения (4.65): y = xαcos(βlnx) и y = xαsin(βlnx). Если корни α |
± iβ |
имеют |
|||||||||
кратность r, то уравнение (4.65) будет иметь частные решения: |
xα cos(β |
ln x), |
|||||||||
xα |
sin(β ln x) , …, |
xα |
(ln x)r −1 cos(β |
ln x) , xα |
sin(β ln x), xα (ln x)sin(β ln x), |
…, |
|||||
xα |
(ln x)r−1 sin(β ln x). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y′′ + 3xy′ + 5y = 0. |
|
|
|
|||
|
Разыскивая частное решение в форме |
y = xk, приходим к квадратному |
|||||||||
уравнению для k: |
k(k −1) + 3k + 5 = 0, или k 2 + 2k + 5 = 0 . Отсюда k = −1 ± 2i. |
||||||||||
Общее решение |
y = |
1 |
(C cos(2ln x)+ C sin(2ln x)) |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
1 |
2 |
|
|
|
|
|||
|
Замечание 1. Уравнение (4.65) можно рассматривать и для x |
(−∞ ;0) . |
В этом случае необходимо сделать замену независимой переменной x = −et . Замечание 2. Подобно тому как для линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно найти частное решение в случае
правой части специального вида f (x) = eα x Pn (x) , так и для уравнения Эйлера такое нахождение возможно, если правая часть имеет вид f (x) = xα Pn (lnx).
Пример 14. Найти общее решение неоднородного уравнения Эйлера
|
|
x3y′′′ − x2 y′′ + 2xy′ − 2y = x3, x > 0 . |
(4.67) |
||
Структура общего решения (как и для всякого линейного уравнения) |
|||||
имеет вид y = |
|
+ y* . Найдем общее решение |
|
соответствующего |
|
y |
|||||
y |
|||||
однородного уравнения: |
|
||||
|
|
x3y′′′ − x2 y′′ + 2xy′ − 2y = 0 . |
|
102
Составляем характеристическое уравнение:
|
|
|
|
|
k(k −1)(k − 2) − k(k −1) + 2k − 2 = 0 |
или |
||||
|
|
|
|
|
(k −1)(k2 − 3k + 2) = 0 , |
|
(4.68) |
|||
откуда k |
= k |
|
= 1, k |
= 2 |
. Тогда |
|
= (C + C ln x)x + C x2 . |
|
||
2 |
y |
|
||||||||
1 |
|
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
Найдем частное решение y* уравнения (4.67). Для этого перепишем уравнение (4.68) в виде
k 3 − 4k 2 + 5k − 2 = 0.
По этому уравнению составим левую часть уравнения с постоянными коэффициентами, а правую часть получим из правой части уравнения (4.67)
заменой x = et :
|
|
y − 4y + 5y − 2y = e3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.69) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку α = 3 |
не является |
корнем характеристического |
уравнения, то |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
3t |
|
|
|
|
|
||
частное решение |
уравнения |
(4.69) |
|
ищем в виде |
|
y |
* |
|
|
|
|
. |
Подставляя |
||||||||||||||
|
|
|
(t) = Ae |
|
|||||||||||||||||||||||
в уравнение (4.69), |
находим |
|
A = |
1 |
|
|
|
следовательно, |
~* |
(t) |
= |
1 |
|
|
3t |
, а |
частное |
||||||||||
|
|
|
, |
|
y |
|
|
|
e |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
решение уравнения |
(4.67) |
y*(t) = |
x3. Таким |
|
|
образом, |
общее |
решение |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
уравнения (4.67) имеет вид |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y = (C + C ln x)x + C x2 + |
1 |
x3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
II. Уравнение Лагранжа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(ax + b)n y(n) + a (ax + b)n−1 y(n−1) +...+ a |
|
(ax + b)y′ + a y = 0 |
, |
(4.70) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
где a, b, a1, a2, …, an – действительные постоянные.
Как и в случае уравнения Эйлера, замена независимой переменной ax + b = et (ax + b >0) приводит уравнение (4.70) к уравнению с постоянными коэффициентами, а потому частное решение уравнения (4.70) следует искать
в виде y = (ax + b)k .
Пример 15. Найти общее решение уравнения
(x |
+ |
1)2 y′′ |
− |
2(x |
+ |
1)y′ |
+ |
2y |
= |
0, x |
1 |
|
|
|
|
|
|
> − . |
|||||
Будем искать частные решения в |
виде y = (x +1)k . Подставим эту |
||||||||||
функцию в исходное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x +1)2 k(k −1)(x +1)k −2 − 2(x +1)k(x +1)k −1 + 2(x +1)k = 0. |
|||||||||||
Разделив обе части на |
(x +1)k , |
получим |
характеристическое уравнение |
||||||||
k(k −1) − 2k + 2 = 0 или, откуда k1 = 1, k2 = 2. |
|
|
|
103
Следовательно, общее решение (k −1)(k − 2) = 0 есть
y= C1(x +1) + C2(x +1)2.
III.Уравнение Чебышева
(1− x2)y′′ − xy′ + n2 y = 0,
где n – действительное число.
Пусть x −( 1;1). Сделаем замену независимого переменного x = cos t.
Тогда
|
|
|
y′ = |
dy |
= |
dy |
|
|
dt |
= − |
dy |
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt sint |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dt dx |
d 2 y |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
d |
|
dy 1 |
dt |
|
|
1 |
|
|
|
|
dy cost |
||||||||||||||||
y′′ = |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 |
sin2 t |
|
|
|||||||||||||||||
|
dt |
|
dt sint dx |
|
|
|
|
|
dt sin3 t |
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем
d 2 y + n2 y = 0 . dt2
Его общее решение, очевидно, имеет вид
y(t) = C1 cos nt + C2 sin nt.
Возвращаясь к переменной x , находим общее решение исходного уравнения:
y(t) = C1 cos(narccosx) + C2 sin(n arccosx).
Замечание. В случае x (1+; ∞ ) производится замена x = cht, а если x −(∞ ;1), то x = – cht. В итоге получаем уравнение
d 2 y − n2 y = 0 . dt2
104
Глава 5. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему из n дифференциальных уравнений в нормальной форме
|
dy k |
|
= f |
|
( x, y , y |
|
|
,..., y |
|
) |
, k = 1, 2, …, n. |
(5.1) |
||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
k |
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|||||||||||
Рассмотрим также начальные условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
y ( x |
0 |
) = y 0 |
, y |
2 |
( x |
) = y0 , |
…, |
y |
n |
( x |
0 |
) = y 0 . |
(5.2) |
||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
||||||||
Ранее было показано, что если функции |
|
fk (x, y1, y2 ,..., yn ) непрерывны |
||||||||||||||||||||
в ограниченной замкнутой области D, |
содержащей точку |
(x, y10 , y20 ,..., yn0 ), |
и удовлетворяют в этой области условию Липшица по аргументам y1, y2 ,..., yn, то задача Коши (5.1), (5.2) имеет единственное решение, определенное для x [x0− h; x0+ h] (теорема Коши – Пикара).
Дадим теперь определение общего решения системы (5.1). Определение. Общим решением системы (5.1) называется совокупность
функций
y |
|
= ϕ |
1 |
(x,C ,C |
2 |
,..., C |
n |
), |
||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
y2 |
= ϕ |
2 (x,C1 |
,C2 |
,..., Cn ), |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.3) |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
n |
= ϕ |
n |
(x,C |
,C |
2 |
,..., C |
n |
), |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
удовлетворяющая следующим условиям:
1) функции (5.3) удовлетворяют системе (5.1) при любых константах C1,
C2, …, Cn;
2) каковы бы ни были начальные условия (5.2), можно единственным
образом определить |
C = C0 |
,C = C0 ,...,C = C0 |
что функции (5.3) |
при |
|||
1 1 |
2 |
2 |
n |
n так, |
|||
таких константах будут удовлетворять этим начальным условиям (5.2). |
|
||||||
При этом предполагается, |
|
что |
точка |
(x, y10 , y20 ,..., yn0 ) D, |
где |
||
выполняются условия теоремы Коши – Пикара. |
|
|
|||||
Частным случаем системы (5.1) является одно уравнение n-го порядка, |
|||||||
разрешенное относительно старшей производной: |
|
|
|||||
|
y( n ) |
= f ( x, y, |
y′, y′′, ..., y( n−1) ). |
|
|
Как показано выше, введением новых функций:
y1 = y′, y2 = y′′, ..., yn−1 = y( n−1)
оно заменится следующей системой n уравнений:
105
dy |
= y |
, |
dy1 |
= y |
|
,..., |
dyn −2 |
= y |
|
||||||
|
|
2 |
|
n −1 |
|||||||||||
dx |
1 |
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dyn −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= f (x, y, y , y |
2 |
,..., y |
n −1 |
) |
|
||||||||||
|
|||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что и обратно, нормальная система n уравнений первого порядка (5.1) эквивалентна одному уравнению порядка n.
5.1. Метод исключения неизвестных
Продифференцируем первое из уравнений (5.1) по x:
|
|
|
d 2 y |
|
= |
∂ f |
|
|
+ |
|
∂ f dy |
+ |
|
∂ f dy |
2 |
|
+ ... + |
∂ f |
dy |
n |
||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
dx2 |
|
|
∂ x |
|
|
|
∂ y1 |
|
dx |
∂ y2 |
|
dx |
|
∂ yn |
dx |
||||||||||||||||||||||
Заменив |
dyk |
через их выражения fk(x, y1, y2, …, yn), получим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
d |
2 y |
|
= |
∂ f |
|
+ |
|
∂ f |
|
+ |
|
∂ |
f |
|
|
|
|
+ ... + |
∂ f |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
f |
|
|
|
1 |
|
f |
2 |
|
1 |
f |
n |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
∂ x ∂ |
1 |
|
|
|
∂ y2 |
|
|
|
|
|
∂ yn |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
т.е. выражение вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 y |
|
= F (x, y , y ,...,y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
(5.42) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученное уравнение (5.42) снова дифференцируем по x; принимая во внимание уравнения (5.1), получим:
|
d |
3 y |
∂ F |
∂ F |
|
|
|
∂ F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ F |
|
||||||||||||
|
|
1 |
= |
2 |
+ |
|
|
2 |
|
f + |
|
2 |
|
f |
2 |
+ ... |
+ |
|
2 |
f |
n , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dx3 |
∂ x |
|
∂ y1 |
1 |
|
|
∂ y2 |
|
|
|
|
|
∂ |
yn |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d3 y |
|
= F (x, y , y ,...,y ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
(5.43) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx3 |
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Продолжая этот процесс, получим далее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d 4 y |
|
= F4 (x, y1, y2,...,yn ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(5.44) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d n−1y |
|
= F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
−1 |
(x, y , y |
2 |
,..., y |
n |
) |
, |
|
|
(5.4n–1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dxn−1 |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
d n y |
|
= F (x, y , y ,...,y ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
(5.4n) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dxn |
|
n |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Предположим, что из системы (А) n – 1 уравнений, составленной из |
|||||||||||||||||||||||||||||||
первого уравнения |
системы (5.1) |
и |
из |
(5.42), |
(5.43), …, (5.4n–1), можно |
106
|
|
|
dy |
d n−1y |
|
|
определить n – 1 величин |
y2 , y3 ,..., yn через |
x, y1, |
1 |
,..., |
1 |
: внося эти выра- |
|
dxn−1 |
|||||
|
|
|
dx |
|
жения в (5.4n), мы получим уравнение вида:
d n y |
|
|
|
dy |
d n−1y |
|
|
|
|||
|
1 |
= Φ |
x, y , |
1 |
,..., |
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n−1 |
|
|
|||||
dx |
|
|
1 |
dx |
dx |
|
, |
(5.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
т.е. одно уравнение n-го порядка. Из самого способа его получения следует, что если y1(x), y2 (x),..., yn (x) представляют решение системы (5.1), то y1 удовлетворяет уравнению (5.5). Обратно, если мы имеем решение y1(x)
|
dy |
d n−1y |
||
уравнения (5.5), то, дифференцируя это решение, мы вычислим |
1 |
,..., |
1 |
|
|
dxn−1 . |
|||
dx |
||||
Подставим значения, как известные функции от x , в систему (А); |
мы, по |
предположению, можем разрешить эту систему относительно y2 , y3 ,..., yn , т.е.
получить выражения y2 , y3 ,..., yn |
|
|
|
как функции от |
|
x . Остается показать, |
что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции y1, y2 ,..., yn |
|
удовлетворяют системе (5.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Действительно, |
условие |
|
|
разрешимости |
|
|
системы |
|
(А) |
относительно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y2 , y3 ,..., yn состоит в том, |
|
что якобиан |
|
D( f1, F2 ,..., Fn −1) |
|
|
|
|
отличен от нуля при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( y2 , y3 ,..., yn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
рассматриваемых значениях |
y2 , y3 ,..., yn. В наших предположениях функции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y1(x), y2 (x),..., yn (x) обращают |
|
в |
|
|
|
тождества |
все |
|
|
|
уравнения |
системы |
(А); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в частности, имеем |
|
|
тождество |
|
|
dy1 |
|
= f (x, y , y |
2 |
,..., y |
|
|
) |
|
|
|
|
|
Дифференцируя |
это |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
∂ f |
|
|
∂ f dy |
|
|
|
|
|
|
∂ f dy |
2 |
|
|
|
∂ f |
|
dy |
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
тождество по |
|
x, |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
, |
но |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
∂ x |
|
∂ y1 |
|
dx |
∂ y2 |
|
|
dx |
|
|
∂ yn |
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в силу (5.42) имеем тождество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= F |
|
|
= |
|
1 |
+ |
|
|
|
1 |
|
f |
+ |
|
1 |
|
f |
|
|
+ ... + |
|
|
|
1 |
|
f |
n. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ y1 |
∂ y2 |
|
|
∂ yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
∂ x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычитая одно тождество из другого, находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ f |
1 |
|
|
dy |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
f |
1 |
|
dy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ f |
1 |
|
dy |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
f |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
f |
|
+ ... |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− f |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ y1 dx |
|
1 |
|
|
|
|
∂ y2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
∂ yn dx |
|
|
|
|
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Аналогично, дифференцируя тождество (5.42) по x и вычитая из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полученного результата тождество (5.43), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ F |
|
|
dy |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
F |
|
|
dy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ F |
|
|
dy |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
− |
f1 |
|
+ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− f 2 |
+ ... + |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
f n |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂ y1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
∂ y2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ yn dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и т.д., наконец,
∂ F |
dy |
1 |
|
|
|
|
∂ F |
dy |
2 |
|
|
|
|
∂ F |
|||
n −1 |
|
|
− |
f1 |
|
+ |
n −1 |
|
|
− |
f 2 |
|
+ ... + |
n −1 |
|||
∂ y1 |
dx |
∂ y2 |
dx |
∂ yn |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
n |
|
|
|
||
|
|
− |
f n |
= 0 . |
||
dx |
||||||
|
|
|
|
107
Замечая, что в силу тождества dydx1 = f1 первые члены всех равенств исчезают, и рассматривая оставшиеся равенства как систему n – 1 уравнений
с n – 1 неизвестными dyk − fk , заключаем (так как по условию определитель dx
системы не равен нулю), что имеют место тождества dy2 = f2,..., dyn = fn , т.е. dx dx
y1(x), y2 (x),..., yn (x) действительно решения системы (5.1).
Таким образом, при сделанных предположениях интегрирование одного уравнения n-го порядка (5.5) дает возможность путем дифференцирований и разрешений найти решение системы (5.1).
Пример 1. Найти общее решение системы уравнений
dy |
= z, |
||
|
|
|
|
|
|
||
dx |
|
||
|
dz |
|
= −y. |
|
|
|
|
dx |
|
Дифференцируем первое уравнение: |
d 2 y |
= |
dz |
используя второе, |
|||
|
|
; |
|||||
dx2 |
|
||||||
|
|
|
|
dx |
|
||
находим: |
d 2 y |
+ y = 0, откуда y = C1 cos x + C2 sin x; далее из первого уравнения |
|||||
|
|||||||
|
dx2 |
|
|
|
|
z= dy = −C1 sin x + C2 cosx. dx
Пример 2. Проинтегрировать систему уравнений
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = y |
+ sin t, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Продифференцируем первое уравнение: x = 2yy + cost. |
Заменяя y из |
||||||||||||||
второго |
|
уравнения, получаем |
x = x + cos t. |
|
Найдем |
|
= C1et + C2e−t , |
||||||||
|
|
x |
|||||||||||||
а x* = − |
1 |
cost. Следовательно, |
x = C et |
+ C e−t − |
1 |
cost. Из первого уравнения: |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y2 = x − sint = C et − C |
2 |
e−t − |
1 |
sint |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108
5.2. Системы линейных дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему из n линейных уравнений
|
dyi |
n |
|
|
|
|
|
|
+ ∑a (x) y |
j |
= f |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
ij |
i |
|
, |
(5.6) |
|
|
j =1 |
|
|
|
|||
где i = 1, 2, …, n, aij ( x), f i ( x) |
– непрерывные функции. Если не все |
fi (x) |
тождественно равны нулю, то линейная система (5.6) называется
неоднородной; если же все fi (x) ≡ |
0 , то система |
|
||||
|
dyi |
|
n |
|
|
|
|
+ ∑a (x) y |
j |
= 0 |
|
||
|
|
|
||||
|
dx |
ij |
|
(5.7) |
||
|
j =1 |
|
|
называется линейной однородной, соответствующей системе (5.6).
В указанных предположениях соответствующая задача Коши для системы (5.6) (а следовательно, и для системы (5.7)) имеет единственное решение, поскольку выполнены, очевидно, все условия теоремы Коши – Пикара (в области непрерывности функций aij ( x), f i ( x) , i, j = 1, 2, …, n).
Свойства линейных однородных систем
Теорема 1. Если совокупность функций yk(1) , k = 1, 2, …, n, есть частное решение системы (5.7), то совокупность функций Cyk(1) (где C – произвольная постоянная) – также частное решение системы.
Теорема 2. Если yk(1) и yk(2) , k = 1, 2, …, n, есть два частных решения системы (5.7), то yk(1) + yk(2) – также частное решение системы (5.7).
Справедливость этих теорем следует из основных правил дифференцирования.
Рассмотрим n частных решений системы (5.7): |
|
||||
yk(1) , yk(2) ,..., yk(n) , k = 1, 2, …, n. |
(5.8) |
||||
Определение. Система функций (5.8) называется линейно независимой |
|||||
на (a; b), если система тождеств |
|
|
|
||
n |
|
|
(k ) = 0 |
|
|
∑α |
k |
y |
, i = 1, 2, …, n |
(5.9) |
|
k =1 |
|
i |
|||
|
|
|
|
|
(где α 1, α 2 ,..., α n – постоянные числа) имеет место на (a; b) лишь в случае,
когда α 1 = α 2 = ... = α n = 0 .
В противном случае система (3) называется линейно зависимой на (a;
b).
109
Определение. Определитель
y1(1) W (x) = y1(2)
...
y1(n)
y2(1) ... |
yn(1) |
|
y2(2) ... |
yn(2) |
|
... |
... |
... |
y2(n) ... |
yn(n) |
называется определителем Вронского функций (5.8).
Теорема 3. Если система функций вида (5.8) линейно независима на
(a; b), то W(x) ≡ 0 на (a; b).
Доказательство. Рассмотрим равенства (5.9) как систему из n алгебраических уравнений с n неизвестными α 1, α 2 ,..., α n . В силу линейной
зависимости функций (5.8) среди чисел α 1, α 2 ,..., α нуля, а потому определитель системы (5.9) будет равен нулю для каждого
Следовательно, W(x) ≡ 0 на (a; b).
Теорема 4. Если частные решения системы (5.7) функции (5.8) линейно независимы на (a; b), то W(x) ≠ 0 , для каждого x (a;b).
Доказательство. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что существует точка x0 (a;b) такая, что W (x0 ) = 0 . Тогда система (5.9) при x = x0 имеет решение α 1, α 2 ,..., α n , причем среди чисел α k есть отличные от нуля.
Рассмотрим функцию
|
|
n |
|
|
|
|
|
= ∑α |
|
y(k) |
|
y |
k |
(5.10) |
|||
|
i |
i , i = 1, 2, …, n. |
|||
|
|
k =1 |
|
|
|
Функция (5.10), очевидно, является решением системы (5.7) и согласно равенствам (5.9) удовлетворяет начальным условиям
В силу теоремы Коши – Пикара система (5.7) имеет только одно решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Тривиальное
решение yi ≡ |
0 , i = 1, 2, …, n, как раз этим условиям удовлетворяет, а потому |
|||||||
решение |
|
i |
, i = 1, 2, …, n, совпадает с тривиальным, и из равенств (5.10) |
|||||
y |
||||||||
следует |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
y(k ) ≡ 0 |
|
|
|
|
|
|
∑α |
k |
, i = 1, 2, …, n. |
|
||
|
|
|
k =1 |
i |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, система функций (5.8) линейно зависима, что |
||||||||
противоречит условию. Таким образом, W(x) ≠ 0 для всех x |
(a;b). |
|||||||
Теорема 5. Если W (x0 ) ≠ |
0 |
для некоторого x0 (a;b) , |
то W(x) ≠ 0 для |
|||||
любого x (a;b). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
110 |
|