книги / Обыкновенные дифференциальные уравнения
..pdfДля доказательства вычислим производную W ′(x) , по столбцам:
dy1(1)
dx
′ dy1(2)
W (x) = dx
...
dy1(n)
dx
y(1) |
... |
y(1) |
|
y(1) |
2 |
|
n |
|
1 |
y(2) |
... |
y(2) |
+ |
y(2) |
2 |
|
n |
1 |
|
... ... ... |
|
... |
||
y(n) |
... |
y(n) |
|
y(n) |
2 |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dy2(1) |
... |
y(1) |
|
y(1) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
dx |
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
dy2(2) |
|
... |
y(2) |
+...+ |
y(2) |
||
|
|
||||||
|
dx |
|
|
|
n |
1 |
|
... |
... ... |
|
... |
||||
dy2(n) |
|
... |
yn(n) |
|
y1(n) |
||
|
|
|
|||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцируя
(1) |
|
|
dyn(1) |
|
|
|
y2 ... |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||
(2) |
... |
dyn(2) |
|
|
||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|||
... ... |
... |
|
|
|||
|
|
|
||||
(n) |
... |
dyn(n) |
|
|
||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Заменив в каждом определителе в правой части производные |
dy i(k ) |
их |
|
dx |
|||
|
|
выражениями из системы (5.7), мы получим, например, для первого слагаемого:
|
y (1) |
y |
(1) |
|
|
|
1 |
|
2 |
− a11 |
y |
(2) |
y |
(2) |
1 |
|
2 |
||
|
|
... |
||
|
|
... |
||
|
y |
(n) |
y |
(n) |
|
1 |
|
2 |
... − a1n
...
...
...
...
yn(1) yn(2)
...
yn(n)
yn(1) yn(2)
...
yn(n)
y2(1) y2(2)
...
y2(n)
− a12
...
...
...
...
так как определители, кроме первого,
y2(1) |
y2(1) ... |
yn(1) |
|
|
y (2) |
y(2) ... |
yn(2) |
− ... |
|
2 |
2 |
|
|
|
... |
... |
... |
... |
|
y2(n) |
y2(n) ... |
yn(n) |
|
|
yn(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn(2) |
= −a11W (x) |
, |
|
|
... |
|
|||
|
|
|
|
|
yn(n) |
|
|
|
|
имеют по два равных столбца.
Аналогично, второе слагаемое дает a22W (x) …, n-е слагаемое – annW (x) . Таким образом,
|
n |
|
|
|
|
dW |
|
|
n |
|
|
W ′(x) = − |
∑ aii (x) W (x) |
, или |
= − |
∑ aii (x) dx . |
|||||||
|
|||||||||||
i =1 |
|
|
|
|
W |
i =1 |
|
||||
Кроме того, W (x0 ) = W0 . Решив эту задачу Коши, получим формулу |
|||||||||||
Остроградского – Лиувилля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∫ |
|
∑ aii (t) dt |
|
|
|
|||
|
|
W (x) =W0e |
x |
i=1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этой формулы и следует, что если W (x0 ) ≠ 0 , то W(x) ≠ 0 для всех x (a;b).
Определение. Любая система вида (5.8) из n линейно независимых частных решений системы (5.7) называется фундаментальной системой решений системы (5.7).
111
Теорема 6. Если функции (5.8) образуют фундаментальную систему решений системы (5.7), то общее решение системы (5.7) имеет вид
n
yi = ∑Сk yi(k) , i = 1, 2, …, n, (5.11)
k =1
где C1,C2 ,..., Cn – произвольные постоянные.
Доказательство проводится по определению общего решения системы дифференциальных уравнений.
Замечание. Как и в случае уравнения n-го порядка фундаментальная система решений (5.8) однозначно определяет линейную однородную систему (5.7). Если задана линейно независимая система решений (5.8), то задача построения системы однородных линейных уравнений разрешается следующими формулами:
dyi
dx
W (x) = y1 y2
...
yn
Заметим, что
|
dy(1) |
|
dy(2) |
... |
|
dy(n) |
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y(1) |
|
y(2) ... |
|
y(n) |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
= 0 (i =1, 2, |
… , n). |
|||||
|
y(1) |
|
y(2) ... |
|
y(n) |
|
|||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
|
|||
|
y(1) |
|
y(2) ... |
|
y(n) |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
коэффициентом |
при |
производных |
|
dyi |
является |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
определитель Вронского W(x). Если W(x) не обращается в нуль в интервале (a; b), то, деля на W(x), получаем линейную систему уравнений в нормальной форме.
Пример 3. Найти линейную однородную систему двух уравнений, допускающую следующую систему решений:
y(1) = ex |
cos x, |
y(1) |
= ex sin x, |
|
1 |
|
2 |
|
|
y(2) = −sin x, |
y(2) |
= cos x. |
||
1 |
|
2 |
|
|
Искомые уравнения будут: |
|
|
|
|
dy1 |
e |
x |
(cos x − sin x) |
−cos x |
|
|
dy2 |
e |
x |
(cos x + sin x) |
−sin x |
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
ex cos x |
−sin x |
= 0, |
|
y |
|
|
ex cos x |
−sin x |
= 0, |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
ex sin x |
cos x |
|
|
y |
2 |
|
|
ex sin x |
cos x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или, развертывая определители по первому столбцу и деля оба уравнения на W(x) = ex , получаем искомую систему:
112
|
dy1 |
|
|
− cos2 x y + (1 − sin x cos x) y |
|
= 0, |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dy2 |
− (1 + sin x cos x) y1 − sin |
2 |
x y2 |
= 0. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений |
|||||||||||||
Рассмотрим неоднородную систему |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
dyi |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ ∑aij (x) y j = fi (x) |
, i = 1, 2, …, n. |
(5.12) |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
dx |
|
j =1 |
|
||||||||
Теорема. Если функции (5.8) являются фундаментальной системой |
|||||||||||||
решений однородной системы (5.7), а |
yi* , i = 1, 2, …, n, есть какое-нибудь |
частное решение неоднородной системы (5.12), то общее решение системы (5.12) имеет вид
n
yi = ∑Сk yi(k ) + yi* , i = 1, 2, …, n.
k =1
Доказательство проводится по определению общего решения системы дифференциальных уравнений.
Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Снова рассмотрим неоднородную систему (5.12). Пусть функции (5.8) есть фундаментальная система решений однородной системы (5.7), соответствующей системе (5.12). Тогда общее решение системы (5.7) согласно теореме 6 имеет вид
|
n |
|
|
|
y |
= ∑С y(k) |
, i = 1, 2, …, n. |
(5.13) |
|
i |
k |
i |
||
|
k =1 |
|
|
|
Будем рассматривать Ck, k = 1, 2, …, n, как неизвестные функции от x. Подберем Ck(x) таким образом, чтобы функции (5.13) являлись решением неоднородной системы (5.12). Для этого продифференцируем равенства
(5.13) по x:
dyi |
= С |
dyi(1) |
+ С |
dyi(2) |
+...+ С |
dyi(n) |
+ y(1) |
dС1 |
+ y(2) |
dС2 |
+...+ y(n) |
dСn |
|
(5.14) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dx 1 dx |
2 dx |
n dx |
i dx i dx |
i dx , |
i = 1, 2, …, n.
Подставим выражения (5.13) и (5.14) в систему (5.12). Первые строки правых частей формул (5.14) имеют такой вид, как если бы СI были постоянными;
поскольку yi(1) , yi(2) ,..., yi(n) представляют решения однородной системы, то
при подстановке эти члены дадут нули; действительно, в результате подстановки в i-е уравнение системы (5.12) получим:
113
n |
|
(k ) |
n |
|
dСk |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
dyi |
|
|
|
|
|
|
|
(k ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
∑ С |
k |
+ ∑ y |
(k ) |
+ a |
∑С |
k |
y(k ) + a |
∑С |
k |
y |
... + a |
∑С |
k |
y |
(k ) = f |
(x) |
||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
k =1 |
dx |
k =1 |
i |
dx |
i1 |
k =1 |
1 |
i2 |
k =1 |
|
in |
k =1 |
|
n |
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
n |
dy(k ) |
+ ai1 y |
|
|
∑ Сk |
|
i |
(k ) |
|
k =1 |
|
dx |
1 |
|
|
|
|
и для определения ddxСk
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dС1 |
|
|
dСn |
|
|
|
|
+ a |
i2 |
y |
(k ) + ... + a |
in |
y |
(k ) |
+ y |
(1) |
+ ... + y |
(n) |
= f |
i |
(x) |
, |
||
|
i |
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
n |
|
i |
dx |
|
dx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем линейную систему:
n |
dСk |
|
|
|
|
∑ y(k) |
= f |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|||
i |
dx |
i |
|
, i = 1, 2, …, n. |
(5.15) |
k =1 |
|
|
Определитель системы (5.15) есть W(x) , причем W(x) ≠ 0 в силу теоремы 4.
Следовательно, система (5.15) имеет единственное решение |
dСk |
= ϕ k (x) |
|
||
|
dx |
|
k = 1, 2, …, n, откуда |
|
|
Сk = ∫ ϕ k ( x)dx + γ k , k = 1, 2, …, n |
|
|
( γ k – произвольные постоянные).
Подставляя найденные значения Сk в формулы (5.13), получаем общее решение системы (5.12) в виде
n |
n |
|
|
|
yi = ∑γ k yi(k) + ∑ yi(k) ∫ϕ k (x)dx, i = 1, 2, …, n. |
||||
i=1 |
i=1 |
|
|
|
Пример 4. |
|
|
|
|
|
dy |
− z = cos x, |
dz |
+ y = 1 . |
|
dx |
|
||
|
|
dx |
В примере 1 мы нашли общее решение соответствующей однородной системы: y = C1 cosx + C2 sin x , z = −C1 sin x + C2 cos x . Подставляем эти значения в данные уравнения, считая C1 и C2 неизвестными функциями x . После приведения получим следующую систему:
dC1 cosx + dC2 sin x = cosx , dx dx
−dC1 sin x + dC2 cosx =1, dx dx
откуда, разрешая относительно |
dC1 |
и |
dC2 |
|
и затем интегрируя, находим: |
|||||||||||
dx |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||
|
dC1 |
= cos2 x − sin x , C1 |
= |
x |
+ |
1 |
sin xcosx + cosx + γ |
1 , |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
dx |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dC2 |
= sin xcosx + cosx , C2 |
= − |
1 |
cos2 x + sin x + γ 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
( γ1 и γ 2 – произвольные постоянные).
114