книги / Оксидные композиционные материалы

ски прогнозировать упругие и прочностные свойства решетчатых конструкций в целом при заданной схеме действующей нагрузки. При этом прочностные, упругие и геометрические характеристики материала играют роль параметров, которые характеризуют воздействие окружающей среды и структурные изменения физико-химического происхождения в процессе эксплуатации, позволяя прогнозировать показатели ресурса конструкции в целом при сложных условиях на основании опытных данных, относящихся к достаточно простым условиям испытаний образцов из керамического материала каркаса.

Таким образом, задача прогнозирования срока службы конструкции решетчатой структуры на основе краевых задач теории упругости решена путем последовательного решения краевых задач теории упругости микромеханики неоднородных сред с различными исходными прочностными, упругими и геометрическими характеристиками, учитывающими их изменение в течение реального срока эксплуатации изделий. Такая постановка задачи по определению долговечности блочных носителей катализаторов решетчатой структуры на основе диоксида титана предполагает физико-химическую природу временного характера изменения прочности конструкции в целом при отсутствии свойств долговременной прочности собственно у керамического материала, условия эксплуатации которого исключают физикохимическое воздействие окружающей среды.

Основные трудности проектирования сотовых конструкций на основе керамики связаны со сложной геометрией решетчатой конфигурации и прежде всего с малой толщиной стенок каркаса, что определяет в качестве важнейшей задачи при разработке такого рода изделий обеспечение с минимальными весовыми затратами прочности и жесткости конструкции при различных видах сложного напряженного состояния и уровнях действующей нагрузки.

Указанное обстоятельство не позволяет с достаточной степенью точности рассчитать обычными методами напряженнодеформированное состояние всей решетчатой детали или конструкции. Аналитическое решение в рамках теории упругости затруднено быстрой осцилляцией коэффициентов дифференци-

71

альных уравнений, описывающих процессы в таких средах; использование численных методов ограничено ресурсами ЭВМ, не позволяющими построить для исследуемой детали сетку приемлемой точности.

В этом случае плодотворным оказывается подход с использованием методов микромеханики неоднородных сред. Основной идеей методов микромеханики является выделение в рассматриваемой детали или конструкции двух уровней исследования: макроуровня – для расчета напряженно-деформированного состояния и оценки работоспособности конструкции в целом

имикроуровня – для исследования механического поведения ее структурных элементов в некоторых, наиболее опасных точках.

На макроуровне деталь представляется изготовленной из некоторого модельного сплошного материала с «эффективными» свойствами, отличающимися от свойств материала, из которого «вырезана» решетка, и соответствующими жесткости самой решеточной конструкции. Поля макронапряжений и макродеформаций, рассчитанные для всей детали с использованием «эффективных» характеристик, будут удовлетворять условиям ее равновесия, покажут в ней более нагруженные и опасные области, но ничего не скажут о характере распределения напряжений и деформаций в стенках решетки. Для более подробного изучения особенностей распределения напряжений и деформаций в структурных элементах решетки используется микроуровень исследования. Размер рассматриваемой области, называемой макрообъемом, выбирается много меньше характерных размеров конструкции, но достаточно большим по сравнению

сразмерами структур элементов. Связь полей микронапряжений

имикродеформаций в стенках решетки с величинами макронапряжений и макродеформаций в данной точке осуществляется

спомощью операции осреднения микрополей по исследуемому объему. Равенство осредненных микрополей соответствующим значениям макровеличин становится замыкающим в задаче об определении напряженно-деформированного состояния в элементах решетчатой структуры, а кроме того, позволяет вычислить и эффективные характеристики модельного материала, необходимые для исследования на макроуровне.

72

Описанная процедура может включать в себя и расчет прочности детали или конструкции с использованием имеющихся критериев прочности для исходного материала решетки. В этом случае начало разрушения элемента конструкции еще не означает разрушение макрообъема, а последнее означает общую потерю прочности только в случае однородного поля макронапряжений. При наличии существенных градиентов макронапряжений потребуется циклическая схема решения последовательности задач на макро- и микроуровне для выявления всех резервов работоспособности конструкции.

На основе представленного подхода проведено прогнозирование эффективных упругих и прочностных свойств керамических материалов и сотовых конструкций. Каркас конструкции представляет собой систему пересечения достаточно тонких полос, протянутых в каждом из координатных направлений, образующих систему периодических ячеек с квадратными порами

(см. рис. 18).

6.2.1. Постановка и алгоритм решения краевой задачи микромеханики решетчатой структуры

Введем понятие плоской решетки, являющейся геометрической моделью материалов или конструкций.

Пусть на плоскости задана сетка Sа с координатами узлов

(k1a, k2a) = ka, где k = (k1, k2) – целочисленный вектор, а < 1 – малый параметр, состоящий из прямых П1k2 и П2k2, проходящих че-

рез узлы (k1a, k2a) и параллельных осям координат х1 и х2 соответственно. Обозначим через В2k2 и B2k1 полосы, состоящие из точек, удаленных от П1k2 и П2k2 менее чем на δa, где δ < 1 – второй малый параметр. Объединение всех полос В2k2 и B2k1 называется прямоугольной периодической решеткой В [77]:

+∞	(B1k UBk2 ).
B = U		(33)
k =−∞

Таким образом, решетка В представляет собой систему тонких полос, протянутых в каждом из координатных направле-

73

ний (рис. 20, а). Обобщая модель плоской решетки, можно добавить полосы, ориентированные в некоординатных направлениях; для примера на рис. 20, б, в показаны более сложные типы плоских решеток.

а

б

Рис. 20. Решетчатые структуры: а – прямоугольная простая; б – усложненная; в – усложненная

в

Аналогичным образом строятся трехмерные пространственные и многомерные решетки. Поскольку сотовым конструкциям соответствуют плоские решетки, ограничимся рассмотрением данного типа структур.

Пусть область G с границей Г заполнена упругой каркасной средой В. Рассмотрим краевую задачу, моделирующую стационарное упругое поле В∩ G при заданных граничных условиях. Уравнение равновесия при отсутствии объемных сил имеют вид

∂		r	∂u	r	R N ,
		cijkl(r )	k	= 0, r		(34)
∂r	j		∂r
			l

где C%(rr) – тензор упругих характеристик материала, из которого изготовлен («вырезан») каркас; u(rr) – вектор перемещения материальных точек.

74

Искомое непрерывное векторное поле перемещений ur(rr) на границе Г удовлетворяет условию

u	(rr)			=u0	,	(35)
i			Г	i

где ur(rr) – заданная векторная функция. Коэффициенты уравне-

ний (34) являются быстроосциллирующими кусочно-непрерыв- ными периодическими функциями, причем во всех точках области G выполняется условие равномерной эллиптичности

k0hij hij ≤ Cijmn (rr)hij hmn ≤ K0hij hij ,

(36)

где k0 и K0 – положительные скалярные величины.

Тензорную функцию C%(rr) удобно представить через

произведение тензора, не зависящего от координат, соответствующего упругим характеристикам материала каркаса, и индикаторной функции χ(r ) , описывающей только геометрию ре-

шетчатой структуры и принимающей два значения: χ(r ) = 1 – в точках, принадлежащих материалу, χ(r ) = 0 в точках, принад-

лежащих порам:

Cijkl (r) = Cijkl χ(r ) ,

1, r Vm,

χ(r ) =

0, r Vp.

(37)

(38)

Для периодической структуры индикаторные функции являются также периодическими

χ(r ) = χ(rr + naer),

(39)

где n – произвольное целое число; a – период решетки; e – единичный вектор базиса периодической решетки.

Уравнения (34), (35) составляют краевую задачу для струк- турно-неоднородной области G, неравенство (36) является условием существования и единственности ее решения. Хотя коэффициенты уравнения (34) являются периодическими функциями (37), (38), решение его достаточно сложно, поскольку искомая

75

функция не является периодической в силу граничных условий (за исключением случая ui0 =εij0 rj , когда периодическим являет-

ся хотя бы поле εij0 ). Поэтому широкое распространение по-

лучил подход, ограниченный определением «осредненных» плавных составляющих структурных полей деформирования. Для этого системе уравнений структурно-феноменологической модели (34), (35) ставится в соответствие система уравнений для осредненных величин, которые называются макроскопическими. На физическом уровне строгости от структурных переменных деформирования регулярной среды к макроскопическим можно перейти, используя операцию интегрирования по объему, занимаемому периодической ячейкой V [78]:

%*	=	1		%	% *	=	1		%	(40)
ε		V		∫ε(r)d υ,	σ		V		∫ σ(r ) dυ.
				V					V

Таким образом, краевой задаче (34), (35) ставится в соответствие краевая задача для макровеличины:

C*ijkl	∂			∂					u (rr) = 0	(41)
	∂r			∂r
		j							k
							l
	u*	(r)							=u0 .	(42)
	i						Γ		i

Тензор С%* , так же как и тензор С%(r) , входящий в уравнение (41), равномерно эллиптический, т.е.

m0hijhij ≤C*ijmnhijhij ≤ M0hijhij,

что является условием существования и единственности решения краевой задачи (41), (42). Между макронапряжениями и макродеформациями существует единственное и взаимообратное соответствие

σ*ij = C*ijklε*kl,
ε*jl = (C *ijkl )−1 σkl,	(43)

76

определяемое тензором эффективных упругих характеристик

неоднородной среды С%* , который, надо отметить, не определяется простым интегрированием тензора упругих констант структуры аналогично (40), а ищется из решения краевой задачи (41), (42). Это решение, однако, не содержит информации о характере напряжений, деформаций и перемещений внутри элементов решетчатого каркаса. Приближенно, в предположении о достаточной гладкости полученного решения, распределение этих величин в периодической ячейке находят из решения краевой задачи (34), (35) с заменой граничных условий исходной задачи условиями вида

u	i		=ε* r	.	(44)
			ij i

Для решения исходной системы (34), (35) может использоваться также асимптотическое разложение в ряд по малому параметру а (в качестве которого обычно выбирается отношение величины периода а к размеру типа G):

ui (rv) = ui (rr) + αui(1) (rr) + α2ui(2) (rr) +…,

(45)

причем первое слагаемое ряда (45) является решением краевой задачи (41), (42). Из разложения (45), а также в силу единственности и существования решение краевой задачи (41), (42) следует

lim				ui (rr) −ui*(rr)				=0 .	(46)

Условие сходимости в норме пространства Соболева для периодических операторов исследовано в работе [78]. Далее асимптотический метод приводит к двум реккурентным последовательностям задач: к последовательности краевых задач Д(n), n = 0, 1, 2, ..., для однородной анизотропной области с эффективными модулями и к последовательности периодических задач Ж(т), т = –1, 0, 1..., [78] на ячейке периодичности для определения так называемых локальных функций и эффективных модулей. Краевую задачу о стационарном упругом поле в решетчатой конструкции можно усложнить учетом деформа-

77

ций, вызванных медленным однородным изменением температуры на величину ∆Т. Систему уравнений в этом случае можно представить в виде

σijj (rr) = 0,

σij (r) = Cijkl (rr)[εkl (rr) −αkl (rr)∆T ],

r		r	r	/ 2,	(47)
εij (r ) = Uij(r ) +u ij (r )

где α% – тензор коэффициентов теплового расширения. От системы (47), описывающей упругое поле в неоднородной среде, можно перейти к осредненным уравнениям. В этом случае уравнение Дюамеля–Неймана будет иметь вид

σ*ij =Cijkl* (ε*kl −α*kl ∆T ).

(48)

Если при этом на границе Г заданы условия, соответст-

вующие свободной кромке, то σ%* = 0 и уравнение (48) вырождается в равенство

ε*ij = α*ij ∆Т.

(49)

Таким образом, после решения системы (47) и осреднения поля структурных деформаций εij (rr) найти эффективные коэф-

фициенты теплового расширения α*ij не составляет труда.

Для расчета прочностных свойств решетчатой конструкции система уравнений (34), (35) или (47) дополняется некоторым

критерием прочности Ф(σ%(rr)), указывающим на возможность разрушения микрообъема в точке r при Ф( σ%(r )) ≥ 0 и сохранения работоспособности при Ф(σ%(rr)) ≤ 0 . При этом краевая задача становится нелинейной, поскольку коэффициенты, входящие в уравнение (34) Cijkl (rr,σ%(rr)), будут зависеть от микро-

структурных напряжений. В такой постановке система уравнений будет описывать процесс деформирования материала

78

с учетом кинетики разрушения, т.е. развития в нем поврежденных областей, для описания которых потребуется вводить дополнительные условия. Так, поврежденный материал может оказывать сопротивление приложенной нагрузке – работать на сжатие, но рассыпаться как «песок» при возникновении растягивающих напряжений.

В результате решения задачи (34), (35) можно получить эффективный критерий прочности каркасной конструкции

ψ(σ* ), зависящий только от величины микронапряжений, ко-

торый вместе с тензором эффективных характеристик С%* будет полностью описывать процесс макродеформирования и макроразрушения конструкции.

Решение нелинейной задачи с быстроосциллирующими коэффициентами сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому в большинстве случаев для ее решения используются численные методы [79–84].

В настоящей работе для расчета эффективных характеристик, полей микроструктурных напряжений и деформаций, а также оценки прочности материала решетчатой структуры используется метод локального приближения [78]. Метод основан на принципе локальности, заключающемся в том, что при взаимодействии структурных элементов основной вклад вносят силы ближнего порядка. Следовательно, для анализа микронапря- женно-деформированного состояния достаточно рассмотреть фрагмент, содержащий конечное и достаточное малое число структурных элементов. Для периодических структур предложено [78] рассматривать ансамбль девяти периодических ячеек, помещенный в дополнительную материальную область. Область нагружается таким образом, чтобы напряжения, осредненные по центральной периодической ячейке, равнялись заданным макронапряжениям. При этом, в силу условия периодичности, напряженное состояние всего решетчатого каркаса, состоящего из элементов, аналогичных центральному, будут также удовлетворять заданным условиям макронагружения, а распределение микроструктурных напряжений в центральной периодической ячейке рассматриваемого ансамбля будет соответствовать иско-

79

Рис. 21. Расчетная схема краевой задачи

мому распределению в реальной периодической структуре. Таким образом, вычисления эффективных характеристик, полей микронапряжений и микродеформаций, а также оценка прочности решетки при произвольных вариантах нагружения в поперечной плоскости могут осуществляться на основе решения краевой задачи для ансамбля девяти ячеек, которое можно получить, используя один из численных методов, например МКЭ, и разработанные программные комплексы.

Расчетная схема краевой задачи микромеханики представляет собой ансамбль ω∑ из девяти ячеек

решетчатой конструкции (рис. 21). Ансамбль помещается в область Ω, на границе Г которой задаются не зависящие от координат детерминированные напряжения σij . В ан-

самбле ωΣ выделяется центральная

ячейка, образуемая пересечением перпендикуляров к серединам отрезков, соединяющих центры пор

(см. рис. 21). Тензор граничных условий σ для области Ω будем подбирать таким образом, чтобы после решения краевой задачи напряжения, осредненные по центральной ячейке σ*ij, совпадали с заданными микронапряжениями Sij.

Математическая постановка задачи о плоской деформации описывается следующей системой уравнений:

σij, j (rr) = 0,

εij (rr) = ui, j (r ) + u j,i (rr) , 2

σij (rr) = Cijkl (rr,σ%(rv)εkl (rr),

Сijkl (rr,σ%(rr))= ∑2 Cijkl( p) (σ%(rr))χ( p) (rr),

p=1

80