книги / Нефтегазовая гидромеханика

– для несцементированных песков:

		ψ (σ		н	) =	1,16(1− σн )2			,
						1,06σ3н − 0,06
	– для сцементированных песков:
	ψ (σн ) =		48(1− σн )4					, при σн ≤ 0,9.
			σн (σн − 0,5)
	ψ (σн ) =	1,2(1− σн )2					, при 0,9 ≤ σн ≤ 1,0.
			σн

(2.155)

(2.156)

(2.157)

Для нахождения величины безразмерной функции Христиановича можно воспользоваться готовым результатом интегрирования

в виде графика зависимости H* ( p* ) либо формулами, аппроксимирующими эту зависимость:

H* = 0,4 P* при P* < 15,	(2.158)
H* = 0,64 P* − 3,6 при15 < P* < 40,	(2.159)
H* = 0,72 P* − 6,8 при P* > 40.	(2.160)

Для практического вычисления значений функции Христиановича при известном давлении может быть использована следующая схема:

Pк → Pк* → H*к → Hк

Pc → Pc* → H*c → Hc .

В предлагаемой схеме этап 1 (определение безразмерного давления) следует выполнять по формулам (2.140) и (2.141); этап 2 (получение безразмерной функции Христиановича) – по специальным графикам, таблицам либо по уравнениям (2.158)–(2.160). Заключительным этапом в таком случае будет вычисление искомой функции Христиановича, для этого следует использовать формулу

91

Рис. 2.30 Рамка с жидкой пленкой

H = H* P ξ.	(2.161)
атм

Распределение функции Христиановича вдоль линий тока подчиняется логарифмическому закону:

H = Hc +	Hк − Hс			ln	rc	,
	ln	rк			r

rc

H = H − Hк − Hс ln rк .

к ln rк r

rc

2.8.2.Явления на границе раздела газа, жидкости и твердого тела

(2.162)

(2.163)

Известно, что поверхность жидкости стремится принять форму, обеспечивающую минимальную площадь. Это явление связано с воздействием на поверхность жидкости механических сил, стремящихся уменьшить площадь этой поверхности. Указанные силы называются силами поверхностного натяжения.

Рассмотрим явления, возникающие на границе раздела жидкости и газа. Пусть имеется пленка жидкости (например, мыльная пленка), натянутая на рамку с одной подвижной перемычкой (рис. 2.30).

За счет сил поверхностного натяжения пленка будет стремиться уменьшить свою площадь. Для того чтобы воспрепятствовать этому, к перемычке необходимо приложить силу F, величина которой, как показывает опыт, не зависит от площади пленки, а пропорциональна длине перемычки l:

F = 2 σ l.

(2.164)

92

Коэффициент пропорциональности σ называется поверхностным натяжением (коэффициентом поверхностного натяжения). Двойка в формуле (2.164) означает, что пленка жидкости имеет две поверхности, и если ее толщина много больше межмолекулярного расстояния, то происходит независимое воздействие двух поверхностей пленки на перемычку. Очевидно, что сила F равна силе поверхностного натяжения, и поэтому из формулы (2.164) следует, что величина силы по-

верхностного натяжения численно равна произведению поверхностного натяжения σ на длину линии контакта пленки и перемычки 2l.

Эта сила направлена по касательной к поверхности пленки.

При медленном перемещении перемычки на величину dx площадь поверхности пленки увеличивается на величину

dSповерхн = 2 l dx.

(2.165)

Требование медленности перемещения перемычки позволяет считать рассматриваемый процесс изотермическим и квазистатическим (обратимым).

С учетом выражения (2.165) элементарная работа δА′, которую

необходимо совершить против сил поверхностного натяжения, определяется по формуле

δА′ = Fdx = 2σldx = σdSповерхн.

(2.166)

Соответственно работа (dA = −dA′), совершаемая силами поверхностного натяжения, примет вид

δA = −σdSповерхн.

(2.167)

Из формулы (2.167) следует, что поверхностное натяжение численно равно работе, которую необходимо затратить при обратимом изотермическом процессе для увеличения площади поверхности жидкости на единицу. Указанная работа затрачивается на приращение энергии поверхности жидкости – свободной поверхностной энергии. Следовательно, поверхностное натяжение численно равно удельной (на единицу площади) свободной поверхностной энергии.

93

Существование свободной поверхностной энергии обусловлено силами притяжения между молекулами жидкости. В результате действия этих сил молекулы поверхностного слоя втягиваются внутрь жидкости, в то время как для молекул, расположенных внутри жидкости, равнодействующая сил притяжения равна нулю. Аналогичное явление имеет место в газе Ван-дер-Ваальса, что приводит к уменьшению давления этого газа на стенки сосуда. В жидкости силы межмолекулярного притяжения также приводят к изменению давления на ее поверхность.

Для преодоления действия межмолекулярных сил над молекулой газа необходимо совершить работу, которую надо затратить на перемещение этой молекулы из объема жидкости на ее поверхность. Величина этой работы численно равна приращению потенциальной энергии молекулы жидкости, которая и обусловливает появление сил поверхностного натяжения. Поскольку число молекул в приповерхностном слое пропорционально его площади, то суммарная потенциальная энергия всех молекул (свободная поверхностная энергия) также пропорциональна площади поверхности.

Состояние равновесия жидкости в отсутствие сил гравитационного притяжения и других внешних сил имеет место при минимальной площади поверхности, соответствующей заданному объему жидкости. Этим объясняется то, что в невесомости капля жидкости принимает шарообразную форму. Мыльный пузырь имеет почти сферическую форму вследствие малости своего веса.

Рассмотрим теперь явления, происходящие с каплей жидкости, помещенной на поверхность твердого тела. В этом случае имеются три границы раздела между фазами: газ – жидкость, жидкость – твердое тело и газ – твердое тело. Поведение капли жидкости будет определяться значениями поверхностного натяжения (удельными величинами свободной поверхностной энергии) на указанных границах раздела. Сила поверхностного натяжения на границе раздела жидкости и газа будет стремиться придать капле сферическую форму. Это произойдет в том случае, если поверхностное натяжение на границе раздела жидкости и твердого тела будет больше поверхно-

94

стного натяжения на границе раздела газа и твердого тела (рис. 2.31). В этом случае процесс стягивания жидкой капли в сферу приводит к уменьшению площади поверхности границы раздела «жидкость – твердое тело» при одновременном увеличении площади поверхности границы раздела «газ – жидкость». Тогда наблюдается несмачивание поверхности твердого тела жидкостью. Форма капли будет определяться равнодействующей сил поверхностного натяжения и силы тяжести. Если капля большая, то она будет растекаться по поверхности, а если маленькая – стремиться к шарообразной форме.

аб

Рис. 2.31. Различные формы капли на поверхности твердого тела для случаев несмачивающей (а) и смачивающей (б)

жидкости

Если поверхностное натяжение на границе раздела жидкости и твердого тела меньше поверхностного натяжения на границе раздела газа и твердого тела, то капля приобретет такую форму, чтобы уменьшить площадь поверхности границы раздела «газ – твердое тело», т.е. будет растекаться по поверхности тела (рис. 2.32). В этом случае наблюдается смачивание жидкостью твердого тела.

а

б

Рис. 2.32. Схемы к расчету равновесия капли на поверхности твердого тела для случаев несмачивающей (а) и смачивающей (б) жидкости: 1 – газ; 2 – жидкость; 3 – твердое тело

95

Для количественного описания смачивания жидкостью твердого тела рассмотрим равновесие сил, действующих на элемент 1 контура, образованного пересечением трех границ раздела фаз: газа 1, жидкости 2 и твердого тела 3.

Для случая механического равновесия имеем

	F12	+	F13		+	F23	= 0,	(2.168)
где
		F12		= lσ12 ,				(2.169)
		F13		= lσ13 ,				(2.170)
		F23		= lσ23 ,				(2.171)

где величины σ12 ,σ13 ,σ23 равны поверхностному натяжению на гра-

ницах раздела «газ – жидкость», «газ – твердое тело» и «жидкость – твердое тело».

В проекции на горизонтальную ось формулы (2.169)–(2.171) позволяют записать условие равновесия (см. рис. 2.32):

σ12cosθ + σ23 − σ13 = 0,

(2.172)

где проведено сокращение на величину длины элемента контура l. Из формулы (2.172) имеем

cosθ =	σ13 − σ23	.	(2.173)
	σ12

Как следует из этой формулы, равновесию жидкости на поверхности твердого тела соответствует вполне определенный угол θ, который называется краевым углом. Этот угол может принимать значения от 0 до π.

Поскольку cosθ ≤ 1, то из формулы (2.173) следует условие

существования устойчивого равновесия жидкости на поверхности твердого тела:

	σ13 − σ23		≤ 1,	(2.174)
	σ12

96

если это условие не выполняется, капля либо, при
	σ13 − σ23	> 1,	(2.175)
	σ12

начинает неограниченно (до толщины нескольких мономолекулярных слоев) растекаться по поверхности, либо, при

σ13 − σ23	< −1,	(2.176)
σ12

стягиваться до тех пор, пока ее общая граница с поверхностью не превратится в точку. В первом случае наблюдается явление полного смачивания твердого тела жидкостью (например, капля керосина на поверхности стекла), а во втором – полное несмачивание (например,

капля воды	на	поверхности	парафина).	Если краевой	угол
0 < θ < π/ 2,	то	имеет место	частичное	смачивание, а	при

π/ 2 < θ < π – полное смачивание.

Явление смачивания (или несмачивания) твердого тела жидкостью приводит к появлению капиллярного эффекта. Капилляром называется тонкая трубка, вставленная в сосуд с жидкостью. Капиллярный эффект связан с тем, что в зависимости от того, смачивает жидкость стенки капилляра или нет, внутри капилляра поверхность жидкости приобретает соответственно вогнутую или выпуклую форму. В первом случае давление внутри жидкости уменьшается по сравнению с внешним, и она поднимается внутри капилляра (рис. 2.33, а). А во втором – это давление возрастает, что приводит к опусканию уровня жидкости в капилляре по отношению к ее уровню в сосуде (рис. 2.33, б).

Подъем жидкости в капилляре и дополнительное давление могут бытьопределеныизусловияминимумапотенциальнойэнергии Еп:

dЕп	= 0,	(2.177)
dh

где dh – элементарное изменение высоты столба жидкости в капилляре.

97

аб

Рис. 2.33 Капилляр в смачиваемой (а) и несмачиваемой (б) жидкости

Для повышения уровня жидкости в цилиндрическом капилляре на величину dh необходимо совершит работу против сил тяжести:

dA'	= ρ g h π r2 dh	(2.178)
тяжести

и сил поверхностного натяжения:

dAнатяжения'

= (σ23 − σ13 )2πrdh,

(2.179)

где ρ – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; h – высота подъема жидкости в капилляре; r – радиус капилляра; σ23 и σ13 – поверхностное натяжение на границе раздела газа и ка-

пилляра и жидкости и капилляра соответственно. Тогда изменение энергии

dЕ	п	= dA'	+ dA'	,	(2.180)
		тяжести	натяжения
или
dЕп = ρ g h π r2 dh + (σ23 − σ13 )2πrdh.					(2.181)
Таким образом, условие (2.180) приобретает вид
ρ g h π r2 + (σ23 − σ13 )2πr = 0.					(2.182)
98

Учет формулы (2.172) позволяет записать последнее выражение в форме

ρ g h r − 2σ12cosθ = 0,

(2.183)

где σ12 – поверхностное натяжение на границе раздела газа и жидкости. Отсюда следует, что высота подъема жидкости в капилляре определяется выражением

h =	2σ12cosθ
	ρ g r .	(2.184)

Из этой формулы следует, что при 0 < θ < π / 2 уровень жидкости в капилляре повышается, а при π / 2 < θ < π – соответственно понижается.

Поскольку дополнительное давление P, создаваемое поверх-

ностью жидкости, должно уравновешиваться гидростатическим давлением, то имеем

P =	2σ12cosθ			,	(2.185)
		r
или
P =		2σ12	,		(2.186)
		R
где введен радиус сферической поверхности жидкости					R = r/cosθ

(см. рис. 2.33). Формула (2.186) называется формулой Лапласа для поверхностного натяжения.

Теоретическое описание явления поверхностного натяжения может быть осуществлено с помощью метода термодинамических потенциалов. Однако это выражение не учитывает работу сил межмолекулярного взаимодействия (сил поверхностного натяжения), которая необходима для создания единицы площади поверхности раздела фаз. Учет этой работы приводит к следующему выражению для полной механической работы, совершаемой при движении границы раздела:

99

σA = PdV − σdSповерхн,

(2.187)

где величина σ описывает поверхностное натяжение на границе раздела фаз.

Тогда, с учетом работы сил межмолекулярного взаимодействия, для дифференциала свободной энергии (термодинамического потенциала Гельмгольца) Ψ необходимо добавить новое слагаемое, которое описывает вклад поверхностного натяжения:

dΨ = −SdT − PdV + σdSповерхн.

(2.188)

Как следует из этого выражения, при описании поверхностного натяжения площадь поверхности является таким же параметром состояния, как и объем.

Пусть имеется система, состоящая из жидкости, описываемой параметрами V ′,P′, газа с параметрами V ′′,P′′ и границы их раздела.

Будем считать, что	общий объем жидкости					и	газа	постоянен:
V = V ′ + V ′′ = const, и	их температуры одинаковы:						T′ = T′′ = const.
Тогда дифференциал	dT = 0, и для такой системы дифференциал
свободной энергии принимает вид
dΨ = −P′dV ′ − P′′dV ′′ + σdSповерхн.								(2.189)
В условиях равновесия dΨ = 0 имеем
	P′dV ′ + P′′dV ′′ = σdSповерхн.							(2.190)
Поскольку V ′ + V ′′ = const, то dV ′′ = −dV ′.						Тогда		выражение
(2.190) можно преобразовать к виду
	P′ − P′′ = σ	dSповерхн			.			(2.191)
			dV ′			= 4πR2 ,V = 4 πR3 и,
Если поверхность сферическая, то Sповерхн
следовательно,								3
	P′ − P′′ =		2σ	.				(2.192)
			R
100