книги / Методы самосогласования механики композитов

или с учетом pавенств (2.165), (2.166)

nk(12g ) k( g )12 = k12o[ F ] nk(12g +1) ,

n( g )	G	( g )12	= Go[ F ] n( g +1)
G12			12 G12

получим зависимости

(2.173)

(2.174)

k12o[ F ] nk(	12g +1) +G12* nk(		12g ) = ζ( g ) (k12* +G12* ),		(2.175)
G12o[ F ] (k12* + 2G12* )nG( g12+1)		+ k12* G12* nG( g12) = ζ( g ) 2G12* (k12*		+G12*	). (2.176)
Pазложения (2.171), (2.172) позволяют пеpейти от (2.175), (2.176)
к равенствам
H			H	+G12* ),
k12o[ F ] ∑ζ( −t +g +1) ν(k−12t )		+G12* ∑ζ(−t +g ) ν(k−12t ) = ζ( g ) (k12*
t =0			t =0
	H		H
G12o[ F ] (k12* + 2G12* )∑ζ( −t +g +1) νG( −12t ) + k12* G12* ∑ζ( −t +g ) νG( −12t )					=
	t =0		t =0

= ζ( g ) 2G12* (k12* +G12* ),

или после гpуппиpовки слагаемых получим систему линейных алгебpаических уpавнений ( g = 0, H ) относительно искомых коэф-

фициентов ν(k−12t )

и νG(−12t ) :

H

k o[ F ]ζ

+G* ζ

ν(−t )

= ζ

( g ) (

k*

+G*

(−t +g +1)

(−t +g )

,

∑

12

12

k12

12

12 )

t =0

(2.177)

H

k*

νG(−12t ) = ζ( g ) 2(k12*

+G12* ).

∑ G12o[ F

]

12

+ 2

ζ(−t +g +1) + k12* ζ

(−t +g )

*

G12

t =0

Систему (2.177) необходимо дополнить зависимостями

k12*

= kM 12 + vo (k(0)12 − kM 12 )nk(0)12 ,

(2.178)

G12*

= GM 12 + vo (G(0)12 −GM 12 )nG(0)12 ,

(2.179)

111

полученными из формулы (2.68) с учетом разложений (2.159)–(2.161) в плоскости изотропии однонаправленного волокнистого композита r1Or2 . С учетом зависимостей (2.173) и (2.174) запишем выражения

(2.178), (2.179) для эффективных упругих модулей k12* и G12* в виде

k *

= k

M 12

+v

o

(k o[ F ] n(1)

−k

M 12

n

(0) ),

12

12

k12

k12

G*

= G

M 12

+ v

o

(G o[ F ] n(1)

−G

M

12

n(0)

)

12

12

G12

G12

через соответствующие коэффициенты концентраций nk(012) , …, nG(112) осредненных деформаций ε( g ) (ξ) (2.161) на включении υ для g = 0

иg = 1 локально-осредненных краевых задач или, с учетом (2.171)

и(2.172), можем записать выражения для эффективных упругих модулей:

H ( )

k * = k +vo ∑ k o[ F ]ζ − + −k ζ − ν(−t ) ,

12 M 12 12 ( t 1) M 12 ( t ) k12 t =0

H ( )

G* = G +vo ∑ G o[ F ]ζ − + −G ζ − ν(−t )

12 M 12 12 ( t 1) M 12 ( t ) G12 t =0

через искомые константы разложения ν(k−12t ) и νG( −12t ) . Таким обpазом, искомые коэффициенты ν(k−12t ) и νG( −12t )

(2.180)

(2.181)

возможно

опpеделить как pешения соответствующей системы нелинейных алгебpаических уpавнений (2.177), (2.180) и (2.181).

В частном случае, в пpедположении малой относительной объемной доли волокон vo коэффициенты ν(k−12t ) и νG( −12t ) опpеделяются как

pешения соответствующих независимых систем линейных алгебpаических уpавнений:

H [k o[ F ]ζ − + + G ζ − + ]ν(−t )

∑ 12 ( t g 1) + M 12 ( t g ) k12 t =0

H				k	M 12
		o[ F ]
∑ G12							+ 2	ζ	( −t +g +1)	+ kM 12 ζ( −t +g )
				G		M 12
t =0

= ζ( g ) (kM 12 +GM 12 ),

	( g ) 2(kM 12	+GM 12 ).
νG( −12t ) = ζ

112

В табл. 2.12 для различных значений параметра H представлены результаты расчета объемного модуля плоской деформации k( g )12 , модуля сдвига G( g )12 в плоскости r1Or2 волокна υ для g-й ло- кально-осредненной краевой задачи и искомые эффективные объемный модуль плоской деформации k12* и модуль сдвига G12* в плоскости изотропии r1Or2 однонаправленного волокнистого композита с полидисперсной структурой (см. рис. 1.1, е) при относительном объемном содержании волокон vo = 0,6, коэффициент χ равномерно распределен на отрезке [0,8; 1,2]. Модули Юнга и коэффициенты Пуассона для матрицы и волокон, соответственно: EM = 1 ГПа, νM = 0,35

и E o[ F ] = 20 ГПа,								νF = 0,4. В табл. 2.13 приведены значения эффектив-
ных модулей k12*								и G12* , рассчитанные при H = 10 и при различных зна-
чениях относительного объемного содержания волокон vo .
																						Таблица 2.12
	Упругие модули k( g )12 , G( g )12 волокна υ для g-й осредненной
	задачи и эффективные модули k12* , G12*																композита при vo = 0,6
Упругие				H = 0				H = 1					H = 2							H = 10
модули				g = 0			g = 0			g = 1	g = 0		g = 1		g = 2			g = 0	g = 1		...			g = 9		g = 10
k(g)12,				13,89			13,89			13,89	13,87	13,89			14,10			13,87	13,89		...			15,15		15,25
ΓΠa
G(g)12,				8,33			8,33			8,33	8,32	8,34			8,46			8,32	8,34		...			9,09		9,15
ΓΠa
k *	k	M 12		3,29				3,28				3,28								3,31
12
G*	G		M 12	4,77				4,75				4,75								4,89
12
																						Таблица 2.13
						Эффективные упругие модули композита
			vo			0				0,2	0,3		0,4				0,5		0,6				0,7			0,8
	k12*		kM 12			1				1,30	1,55		1,88				2,42		3,31				4,65			6,54
G*			G			1				1,42	1,77		2,30				3,20		4,89				7,35			11,16
	12		M 12

113

Для анализа точности представленных алгоритмов расчета обобщенным методом самосогласования на основе разложений (2.133) рассмотрим сравнение численных решений для эффективных упругих модулей k12* и G12* с аналитическими решениями для k12*

и G12* , полученными без привлечения разложений (2.133). Для композитов с полидисперсными структурами аналитическое решение для тензора деформаций εF (χ) , которое в общем случае может быть

определено обобщенным методом самосогласования через аппроксимацию вида (2.132), может быть получено непосредственно из решения задачи об одиночном включении, например, волокне с тензором упругих свойств χCo[ F ] в однородной среде с тензором упругих

свойств C* при заданном на удалении от включения однородном поле

деформаций ε* .

Для однонаправленного волокнистого композита с полидисперсной структурой аналитические решения для объемной Θ12F (χ) и сдвиговой γ12F (χ) составляющих тензора плоских деформаций εF (χ) имеют вид [19]

*

*

H

F

(χ) =

k12

+ G12

*

≈ ∑ χ

−t

( −t )

*

Θ12

Θ12

νk12

Θ12 ,

(2.182)

o[ F ]

*

χk12

+ G12

t =0

*

*

*

H

F

(χ) =

2G12 (k12

+ G12 )

*

≈ ∑

−t

( −t ) *

γ12

γ12

χ

νG12

γ12

,

(2.183)

* *

o[ F ]

*

*

k12G12

+ χG12

(k12

+ 2G12 )

t =0

аналогично (2.163) и (2.164), на основе которых возможно получить решения для приведенных объемного модуля плоской деформации k(0)12 и модуля сдвига G(0)12 волокна и коэффициентов nk(012) и nG(012) ,

необходимых для расчета эффективных упругих констант k12* и G12* композита (2.178), (2.179); например, для равномерного закона распределения f[ χ] (1.38), когда α и χ статистически независимы:

114

(0)

k12*

+ G12* b

dχ

k12*

+ G12*

bk12o[ F ] + G12*

n

k12

=

∫

=

ln

,

(2.184)

b

− a

χk o[ F ]

+ G*

k o[ F ]

(b − a)

ak o[ F ]

+ G*

a

12

12

12

12

12

n(1)

=

k12*

+ G12*

b

χdχ

=

k12

b − a

∫a χk12o[ F ] + G12*

k * + G

*

G*

bk o[ F ] + G*

=

12

12

1 −

12

ln

12

12

;

(2.185)

k o[ F ]

k o[ F ] (b

− a)

ak o[ F ] + G*

12

12

12

12

аналогично

2G*

(k *

+ G

*

) b

dχ

2G

*

(k

* + G*

)

A

+ B

b

nG(012) =

12

12

12

∫

=

12

12

12

ln

2

2

, (2.186)

b − a

A

+ χB

B

(b − a)

A

+ B

a

2

2

2

a

2

2

n

(1)

=

2G12*

(k12*

+ G12* ) b

χdχ

=

G12

b − a

∫a A2 + χB2

2G* (k * + G* )

B

A

A + B b

12

B

12

(b − a)

A + B a

=

1

−

ln

,

(2.187)

2

2

2

2

где

(k *

).

A = k

*

G*

, B

2

= G o[ F ]

+ 2G*

2

12

12

12

12

12

Приведенные объемный модуль плоской деформации k(0)12 и мо-

дульсдвига G(0)12 вплоскостиизотропии r1Or2

волокнапримутвид

k

= k o[ F ]

nk(1)12

=

k12o (b − a)

− G

* ,

(2.188)

nk(012)

bk o[ F ]

+ G

(0)12

12

*

12

ln

12

12

+ G

ak o[ F ]

*

12

12

G		= G o[ F ]	nG(112)
	(0)12	12 n		(0)
				G12

b − a

= G o[ F ]

−

A2

;

(2.189)

A + B b

B2

12

ln

2

2

+ B

A

a

2

2

115

эффективные объемный модуль плоской деформации k12* и модуль сдвига G12* в плоскости изотропии однонаправленного волокнистого

композита с полидисперсной структурой могут быть рассчитаны по формулам (2.178), (2.179) через найденные решения для величин

k(0)12 , G(0)12 (2.188), (2.189) и nk(012) , nG(012) (2.184), (2.186).

На рис. 2.10 и 2.11 представлены результаты расчета эффективных упругих модулей плоской деформации k12* и сдвига G12* в плоскости изотропии r1Or2 однонаправленного волокнистого композита

с полидисперсной структурой в сравнении с соответствующими точными решениями (2.182)–(2.189) для различных значений относительного объемного содержания волокон vo ; коэффициент χ равно-

мерно распределен на отрезке [1 – ∆; 1 + ∆], где ∆ – варьируемый параметр ширины разброса случайного коэффициента χ. Предельное значение ∆= 0 соответствует волокнам с детерминированными упругими свойствами, когда χ = 1. Модули Юнга и коэффициенты

Рис. 2.10. Зависимости эффективных упругих модулей	k *	и G*	волок-
	12	12
нистого композита от величины содержания волокон	vo :	___ – решение
для ∆ = 0 ( ), 0,4 ( ), 0,8 ( ) и 1 ( ); • – точное решение

116

Рис. 2.11. Влияние параметра ∆ на значения эффективных упругих модулей k12* и G12* волокнистого композита: ___ – решение для H = 0 ()

и H ≥ 1 (); • – точное решение

Пуассона для матрицы и	волокон, соответственно: EM = 1 ГПа,
νM = 0,35 и E o[ F ] = 100 ГПа,	νF = 0,4. Решение для композита без раз-

броса упругих свойств волокон ( ∆= 0) тождественно решению для композита с разбросом упругих свойств ( ∆ ≠ 0) при значении H = 0.

Таким образом, результаты расчета эффективных упругих модулей k12* и G12* для однонаправленного волокнистого композита

с полидисперсной структурой (см. рис. 1.1, е), полученные обобщенным методом самосогласования в приближениях при H ≥ 1, практически совпадают с точным решением.

117

2.3. КОМПОЗИТЫ СО СЛУЧАЙНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ ВКЛЮЧЕНИЙ

Пусть включения имеют случайную форму, размеры и расположение в объеме композита. При этом включения v(k ) , в общем,

неправильной формы, размещены внутри соответствующих непересекающихся между собой канонических областей vс(k ) , где k =1, N ,

N – число включений в представительной области композита V; например, внутри пунктирных окружностей, которые без пересечений между собой статистически однородно распределены на плоско-

сти r1Or2 (рис. 2.12).

Рис. 2.12. Схемаописаниянеправильности геометрической формы поперечногосеченияволокна(а) ипримерыслучайных структур(б), (в)

Статистический разброс размеров включений задан через коэффициенты подобия α( k ) размеров канонических областей

v	с( k )	= αβ	υ	с	,	(2.190)
		( k )
где показатель степени β	равен 2 или 3 для однонаправленного

волокнистого и гранулированного композитов соответственно, υс – некоторая каноническая область с нормированными размерами. Начало локальной системы координат ξ совмещено с центрами

канонических областей vс( k ) и υс . Координаты r связаны с локальными координатами ξ выражением

118

r ≡ r( k ) + α( k ) ξ ,

где r( k ) и α( k ) – радиус-вектор центра и коэффициент подобия размеров k-й канонической области vс( k ) .

Пусть объем k-го включения v( k ) пропорционален объему со-

ответствующей канонической области vс(k ) (2.190). Следовательно,

для всех k =1, N будет выполняться равенство

v( k ) = αβ(k ) υ,

(2.191)

аналогичное равенству (2.190), и где величина нормированного объема

υ ≡ ∫ ω( k ) (ξ)dξ	(2.192)
υс

не будет зависеть от конкретного значения k, где индикаторная функция в локальной системе координат k-го включения

ω( k ) (ξ) ≡ ω(r( k ) + α( k ) ξ) .

Равенство (2.191) следует из разложений

v( k ) ≡ ∫ dr = ∫ αβ( k ) dξ = αβ( k ) ∫ ω( k ) (ξ)dξ			(2.193)
v( k )	v( k )	vс

с учетом обозначения (2.192). В (2.191), (2.192) величина υ – среднеарифметическийобъемвсехN включенийкомпозита:

υ = VF ,

N

так как суммарный объем всех включений

N	N
VF ≡ ∑ v( k )	=∑ αβ( k )	υ = Nυ
k =1	k =1

119

сучетом формул (2.191) и при условии выполнения равенства

1N

∑αβ( k ) =1 .

N k =1

Искомый тензор C* эффективных упругих свойств композита рассчитывается по формуле

Cijmn* = CijmnM +vo		ijpq N pqmnF	(2.194)
	C

через тензор концентраций осредненных деформаций

	< εij	>F = NijmnF ε*mn
на	области включений VF ,	где			тензор		разности		≡ CF −CM ,
								C
CF и CM – тензоры упругих свойств включений (волокон) и матрицы
композита, оператор осреднения
				V	∫
	<... >		=	1		...dr
		F
				F V
					F
по	области вкючений композита				VF ,		ε* – тензор	однородной

макродеформации композита.

Таким образом, расчет тензора эффективных упругих свойств C*

сводится к нахождению тензора N F концентраций осредненных деформацийнавключенияхкомпозита.

Для определения тензора N F тензор осредненных деформаций

< ε >F в формуле (2.194) представим в виде

		1		1	N
	< ε >F ≡		∫ ε(r)dr =		∑k =1		∫ ε( k )
		V		V
		F VF		F		v( k )

(ξ)αβ( k ) dξ

120