книги / Методы самосогласования механики композитов

Индикаторная функция			ωf (r)	f-й фазы включений
в представительной области композита V задана в виде
	1,		r V	,
ωf			( f )	(1.7)
	(r) =	0,	r V
				,
			( f )

где V( f ) – область f-й фазы включений в области V. Относительное

объемное содержание f-й фазы включений в представительной области V композита есть

v f

≡< ωf (r) >,

(1.8)

где оператор осреднения по представительному объему

<... >=

1

∫...dr .

(1.9)

V V

Аналогично оператору осреднения < ... >

в дальнейшем будем

использовать и операторы осреднения

<... > f =

1

∫...dr ,

<... >M =

1

∫...dr ,

(1.10)

VM

V( f ) V

V

( f )

M

соответственно по

области

f-й

фазы включений V( f )

и области

матрицы

VM

= V

F

/

U V( f )

f =1

из представительной области композита V.

Для случая r V( f )

функция ωf (r)

связана с нормированной

индикаторной функцией

κf

(ξ)

в локальной системе координат ξ

равенством

ωf (r) = κ f (ξ)ω(r)

11

благодаря геометрическому подобию всех включений в представительной области композита V; индикаторная функция составных включений

F

ω(r) ≡ ∑ωf (r) .

f =1

Относительное объемное содержание составных	волокон
в композите
F
vo ≡< ω(r) >= ∑v f	(1.11)
f =1

с учетом равенства (1.8).

Представительная реализация cтатистически однородного эргодического тензорного поля упругих свойств C(r) композита в об-

ласти V задана разложением

F +1
C(r) = ∑ ωf (r)C( f )	(1.12)

f =1

через поля индикаторных функций (1.7) и тензоры упругих свойств C( f ) фаз композита. Поля индикаторных функций ωf (r)

комплексно учитывают случайное взаимное расположение, форму и размеры включений в объеме композита и расположение фаз, например, внутри составных включений.

При рассмотрении композита со случайными свойствами фаз включений считаем, что упругие свойства некоторого целого числа F1 фаз варьируются пропорционально единому случайному коэффициенту χ, а упругие свойства остальных F − F1 фаз включений и матрицы детерминированы, где 0 ≤ F1 ≤ F . Представительную реализацию поля упругих свойств C(r) в области V возможно представить разложением

F N

C(r) = ∑∑ω(( kf )) (r)C( f ,k ) + (1 −ω(r))CM

f =1 k =1

12

или

F	N	+(1 −ω(r))CM
C(r) = ∑Co[ f ] ∑ω(( kf )) (r)χ( f ,k )			(1.13)
f =1	k =1

через индикаторную функцию включений

F N

ω(r) = ∑∑ω(( kf )) (r)

f =1 k =1

и индикаторные функции f-й фазы k-го включения

ω((kf )) (r) ≡ ωf (r)ω(k ) (r) ,

где использованы индикаторные функции ωf (r) (1.7) для области f-й

фазы включений V( f ) и

1,	r V(k ) ,					(1.14)
ω(k ) (r) =	r V(k ) ,
0,
для области k-го включения V( k ) в области композита V; CM						– тензор
упругих свойств матрицы; Co[ f ]	– номинальные значения					тензора
упругих свойств f-й фазы; коэффициенты
	f =1, F1 ,
χ(k ) ,
χ( f ,k ) =						(1.15)
	1
1,	f = F +1, F ,

задают пропорциональное отклонение действительных значений компонент тензора упругих свойств

C( f ,k ) = χ( f ,k ) Co[ f ]

(1.16)

для f-й фазы k-го включения от соответствующих номинальных значений компонент тензора Co[ f ] для f-й фазы.

13

1.2. ПРИВЕДЕННЫЕ ПОЛЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СТРУКТУР

Особенности взаимного расположения включений в композите можно учесть, например, через приведенные поля вероятностей различных порядков g = 0, 1, 2, …: для f-й фазы включений

ω(fg ) (ξ) ≡ 1	N
	∑αβ(k )χ(gk )ωf (r(k ) +α(k )ξ),

N k =1

ωf (ξ) ≡ ω(0)f (ξ),

для составных включений в целом

F

ω( g ) (ξ) ≡ ∑ω(fg ) (ξ),

f =1

ω(ξ) ≡ ω(0) (ξ),

и смешанные моменты

				1	N
ζ( g )	≡ ω(f g ) (ξ)		=		∑χ(gk )	αβ( k ) .
		ξ υ( f )
				N k =1

(1.17)

(1.18)

(1.19)

Отметим, что из формул (1.5) и (1.19) при g = 0 следует равен-

ство вида
ζ(0) =1 .					(1.20)
Для точек ξ , у которых расстояние
ξ ≡		ξ			(1.21)

до центра нормированного включения υ превышает радиус корреляции случайной структуры композита, например при ξ → ∞, выполняется равенство

ω(f g ) = ζ( g ) v f .

(1.22)

Рассмотрим основные модели исследуемых случайных структур.

14

Предельно полидисперсные структуры. Наиболее простыми для исследования являются предельно полидисперсные модели случайных структур композитов, например, с составными включениями, когда каждое включение состоит из некоторого числа F изотропных упругих фаз (рис. 1.1). Например, полидисперсные модели на рис. 1.1, а – в представляют структуру композита совокупностью сферическихчастицдвухтипов. Частицы1-готипасостоятизсоставного F-слойного сферического включения, окруженного сферическим слоем с упругими свойствами матрицы композита; r(i−1) и r(i ) – ра-

диусы концентрических сфер, ограничивающих i-ю фазу составного

включения, r(0) ≡ 0 . Радиусы r( F )	и r( F +1) связаны между собой зави-
симостью
r( F +1) = r( F ) (1+ς)		(1.23)
и соответствуют сферическому	слою матрицы,	ς 100 % – мини-

мальная гарантированная прослойка матрицы между составными включениями композита в процентах от величины внешнего радиуса

Рис. 1.1. Фрагменты полидисперсных сред c составными сферами (а – в) и однонаправленными волокнами (г – е)

15

включения r( F ) . Величина прослойки ς [0;		ςmax ], где максимально
допустимое значение прослойки
ςmax =	1 −1	(1.24)
3	v
	o

при заданной величине относительного объемного содержания составных включений в композите vo . Частицы 2-го типа однородны

и с упругими свойствами матрицы композита.

Распределение частиц по размерам достаточно широко, включая и бесконечно малые, что обусловливает возможность заполнения частицами всей области композита, не допуская корреляции размеров и типов для различных частиц такой полидисперсной структуры. Для частиц 1-го типа отношения соответствующих радиусов концентрических сфер есть величины постоянные, например,

r

3

q =

(i−1)

= const

(1.25)

r

(i )

(i )

для значений i =

2, F + 1 ; выполняется дополнительное равенство

1

3

q

( F +1)

=

.

(1.26)

1+ ς

Относительный объем композита, занимаемый

частицами

1-го типа,

q( F +2)

=

vo

q( F +1)

или после подстановки (1.26) получим зависимость

q( F +2) = vo (1+ ς)3 .

(1.27)

16

PNRPU

Таким образом, в предельных случаях, когда ς = 0 (см. рис. 1.1, в) и ς = ςmax (см. рис. 1.1, a), имеем равенства: q( F +2) = vo и q( F +2) =1 соответственно; относительный объем для частиц 2-го типаравен 1−q( F +2) .

Для однонаправленного волокнистого композита можем записать аналогичные (1.25) соотношения:

= r(i−1) q(i )

r(i )

2

(1.28)

для значений i =

2, F

,

1

2

2

q

( F +1)

=

,

q

( F +2)

= v (1+ς)

,

(1.29)

+ς

1

o

параметр ς [0; ςmax ], где

ς

max

=

1

−1,

(1.30)

vo

r(i−1) и r(i ) – радиусы концентрических окружностей, ограничивающих i-ю фазу составного волокна в плоскости изотропии r1Or2 , v° – отно-

сительное объемное содержание составных волокон в композите. Приведенные поля вероятностей (1.17) при g = 0, например,

для полидисперсных моделей с детерминированными упругими свойствами двухфазных (F = 2) включений

		1,	0 ≤ξ≤ r(1) ,					0,			0 ≤ξ≤ r(1) ,
											r(1) <ξ≤ r(2) ,
ω (ξ) =		0, r	<ξ≤ r		(1+ς),	ω	(ξ) =	1,						(1.31)
1		(1)		(2)		2			0, r		<ξ≤ r		(1+ς),
	v ,		ξ > r (1+ς),							(2)		(2)
	1		(2)					v		,	ξ > r	(1	+ς),
									2		(2)

представлены на рис. 1.2, относительные объемные содержания 1-й и 2-й фаз

17

v

= qβv

D

,

v

2

= v

D

−v

(1.32)

1

1

составного включения,

параметр

q =

r(1)

, показатель

β= 3 – для

r

(2)

сферических включений и β= 2 – для волокон.

Рис. 1.2. Кусочно-постоянные приведенные поля вероятностей ϖ1 (а) и ϖ2 (б) полидисперсных структур с прослойкой ς (), предельныеслучаи: – ς = 0 и – ς = ςmax

18

Будем рассматривать также полидисперсные структуры с однородными (F = 1), но случайными упругими свойствами включений, когда коэффициенты отклонений упругих свойств χ и подобия

размеров α включений – непрерывные случайные величины с функциями плотностей вероятности совместного распределения f[ χ,α] (χ, α) и каждой из величин в отдельности:

∞	∞
f[ χ] (χ) = ∫ f[ χ,α] (χ, α)dα ,	f[α] (α) = ∫ f[ χ,α] (χ, α)dχ .	(1.33)
−∞	−∞

Размеpы фоpмального включения υ, относительно котоpых заданы коэффициенты подобия α всех включений композита, опpеделены из условия (1.5) в виде

+∞
∫ αβ f[α] (α)dα =1.	(1.34)

−∞

Для полидиспеpсных стpуктуp функция плотности веpоятностей f[α] для pаспpеделения коэффициентов подобия α неизвестна и не может быть выбpана пpоизвольно. Чтобы избежать необходимости вычисления функции f[α] , будем считать, что χ и α – статистически независимые величины и выполняется pавенство

f[ χ,α] (χ, α) = f[ χ] (χ) f[α] (α) ,		(1.35)
коэффициенты ζ( g ) (1.19) могут быть pассчитаны по фоpмулам
	+∞+∞
ζ( g ) ≡ ∫ ∫ χg αβ f[ χ,α] (χ, α)dχdα =
	−∞−∞
		(1.36)
+∞	+∞
= ∫	χg f[ χ] (χ)dχ ∫ αβ f[α] (α)dα
−∞	−∞

или с учетом (1.34)

19

+∞
ζ( g ) = ∫ χg f[ χ] (χ)dχ	(1.37)

−∞

без конкретизации вида функции f[α] . Напpимеp, если пpедположить, что случайная величина χ pаспpеделена по pавномеpному закону

		1		χ [a,
f[χ]			,		b],
	(χ) = b −a				(1.38)
		0,		χ [a,	b],

где параметры a > 0 и b > a , тогда начальный момент g-го поpядка

		bg +1 −ag +1							g ≠ −1,
								,
		(b −a)(g			+1)
ζ( g )									(1.39)
	=	1				b
									g = −1.
				ln			,
			b −a			a
Пусть математическое ожидание M[χ] случайной величины χ
задано
			M[χ] = 1 ;						(1.40)

следовательно, математическое ожидание M[CF ] тензора упругих

свойств включений CF (1.15) будет равно заданному тензору Co[ F ] , так как выполняются равенства

M[CF ] = M[χ]Co[ F ] = Co[ F ] ,	(1.41)
как следствие, будем иметь
ζ(1) = 1, (a + b) 2 =1.	(1.42)

Монофракционные структуры с конечной вариацией размеров включений. На рис. 1.3 представлены фрагменты реализаций для двух квазипериодических моделей сферопластика, основанных на гексагональной плотно упакованной укладке сфеpических ячеек 3.

20