книги / Механика деформаций гибких тел

л частпостл, рашювеспые, т. е. совершающиеся с очень малыми (в пределе — бесконечно малыми) скоростями. В реальных про­ цессах, близких изотермическому, устанавливается температур­ ное равновесие между деформируемым телом и окружающей сре­

дой. Температура аюжст слабо зависеть от времени: T - T (X, т )* Изоэнтропийпый процесс. В этом процессе плотпость энтро­ пии остается постоянно!! в каждой точке деформируемого конти­

нуума, так что S = S (X ) II б5 = 0. В качестве термоднпампческого потенциала удобно выбрать плотпость внутренней энергии, !юторая согласно (1.1.79) является функцией только параметров UXMI “ Kv-Wj:

Z = ZiUxMb	VXMU S ).	(1.1.88)
Систе.ма (1.1.72) даст уравнения состояния
= DZIdUxMb	= Q^IDYxMb	(1.1.89)

уиодоблягощне совершенный континуум в изоэнтронийном про­ цессе моханнчссюг упругому материалу о потенциалом деформа­ ции (1.1.88). Среди термодинамических ограничений (1.1.82), обеспечивахощнх существование потенциала свободной энергии. имеются уравнения

DZ^^^UDT = О, DY^^^UDT = О,

(1.1.90)

которые сог.часуюгся с (1.1.88) и (1.1.89) и обнаруживают от­ сутствие явной завнснлюсти напряжений от температуры. Урав­ нение тенлонроводпости (1.1.78) вырождается к виду

D ivQ -C^ = O,

(1.1.91)

характерному для адиабатического процесса, когда отсутствует прпток впешпего тепла п локальный теплообмен. Это значит, что у совершенного континуума адиабатический процесс является нзоэптропийным.

Вследствие (1.1.90) фспоменологичесхше определяющие урав­ нения в изоэнтронийном процессе имеют упрощенную по сравпепшо C (1.1.80) структуру:

S = S (X ), R = R(C^bK),	У^к], Л .
^ У..ЛГ1 =	^

Благодаря ей система механических уравнений оказывается не связанной C уравнением тенлопроводностп (1.1.91). В общем слу­ чае это уравнение и, следовательно, температура завнеят от ме­ ханических параметров UXM] и F WWJ. в задачах, где тензор R и

функция Q не проявляют такой зависимости, уравпенпе (1.1.91) становится чисто температурным.

Идеализироваппая модель адиабатического процесса связана C изучением теплоизолированных тел п быстро протекающих де­ формационных процессов, когда теплообмен не успевает про-

H

явиться существеппым образом. Это физический «антипод» изо­ термического процесса. Для совершенного коптпиуума адиабати­ ческий процесс является изоэнтроппйпым. В общем случае они различаются, причем изоэитропийиыи процесс играет роль тер­ модинамического «антипода» изотермического процесса. В реаль­ ных процессах, близких адиабатическому, энтропия может слабо

зависеть от времени: S =		|5(Х, т).
	Обратимый процесс. Так называется идеальный процесс, про­
исходящий без диссипации			эиергии.		Иеравепство (1.1.81) пре­
вращается в равенство
		H	R	H =	O.	(1.1.92)'
Его	следствием являются		два	тривиальных условия:		II = O п
R =	O u петриппальпое условие			антисимметрии тензора		R. Если
H =	O, то также Q = O u	Grad T = O. Следовательно, отсутствует

локальный теплообмен между частицами деформируемого тела, температура распределена равномерно и может зависеть только

от времени: Т = Т {х ). Такие условия выполняются в процессах, близких адиабатическому и изотермическому (при слабой зави­ симости температуры от времени). Равенство R = O определяет идеальный материал, нс обладающий тепловой диссипацисГ!. 1'.сли тензор R аптпеимметричеп, то Q = -R -H =J^O и условие (1.1.02) означает, что вектор скорости теплового потока в любой момент ортогоналеи вектору градиента температуры. Таким споГ1ство.м должен обладать материал, диссипативные «сиособиостп» которо­ го характеризуются аитисимметрпчиой матрицей тепловой дис­ сипации. Все имеющиеся опытные данные отрицают наличие та­ ких материалов. В итоге можно констатировать, что реальные процессы деформировашш сопершенпых материалов могут быть близки к обратимым лишь в условиях, близких к адиабатиче­ ским и изотермическим.

Анализ термодинамических уравнений показывает, что совер­ шенный момептный континуум является термоупругим материа­ лом, каждая материальная частица которого обладает шестью степенями свободы: тремя линейными и тремя угловыми. Фено­ менологические определяющие уравпепия этого материала имеют структуру (1.1.80), которая должна удовлетворять ограничениям (1.1.82).

Модель совершенного континуума — идеальная модель реаль­ ных материалов, которые не обнаруживают заметной внутренней диссипации в определенном классе термомехаиических процес­ сов. "У момептных материалов, проявляющих пластические и вязкие свойства, внутренняя диссипация становится существепиыд! фактором. При моделировании термомеханических процессов де­ формирования таких материалов в массив определяющих пара­ метров состояния приходится включать производные по времени от кинематических переменных и Елглг], а в массив опреде­ ляемых параметров — производные по времени от динамических переменных и Соответственно система определяющих

уравпений прпшшаст отличную от (1.1.80) структуру, которая должна быть термодппамическц согласованной, т. е. подчиненной ограничениям, вытекающим из законов термодинамики.

1.5.Псевдомоментный

ибезмоментный континуумы

Иа;шч11с кинематической связи

Л'*'^ид-А.„, = 0,

(1.1.93)

обеспечивающей симметрию тензора деформаций, приводит к уп­ рощенной пелHIieiiiioii модели аюмептного континуума, которая при лннеарн.зацнн сводится к известной модели «псевдокоптилуума Коссера» [33, 90]. Дeфop.миpyeмыii момептпын континуум, подчиненный кинематической связи (1.1.93), условимся называть нссвдомомеитны.м. Кинематика такого континуума тождественна кинематике классического, ибо уравнение (1.1.93) определяет вектор поворота материальной точки через вектор ее перемеще­ нии точно так ;ке, как в классической модели. PI лишь наличие моментов отличает модель псевдомомептпого континуума от классической.

IVaK и в .THIieiiiIOM варианте [33, 90], иаложепио кинематпчеcKoii связи (1.1.93) сокращает число скалярпы.х граничны.к ус-

.TOiiiiit до пяти. ДciicтвитeлыIo, ее следствием являются уравиеппя

(Лд., - Лх,) •Л«, = Л-'--^А^,.Ащ = О

и, в частности, Л’""‘А„, •A^, = 0. При дифференцировании послед­ него получается равенство

Л’"'"(А„, •6А,„, + А „,-6А „,) = 0,

которое C помощью формул бАлп = боУ X Алг], бАл-» = бд^гП пре­ образуется к виду

Л’" " ( (А„, X A^J) •б,V - A^J •б5„и) = О,

апри использовапии разложения Л®""*(Ап) X Amj)^ 2С*^Аы

—к виду

■боУ = Л='""‘А„, •5„би.

Чтобы записать это соотпошеппе па граничной поверхности тела, нужно совместить базисный вектор Аз с вектором ее нор­ мали Ev, а векторы А,„ — с ее касательными векторами Е„. Ре­ зультатом будет равенство

Ev, •боУ = (2С -) - ‘^'"™Е,„,. 5„би -

- (С^'')-‘С ^ ,- б о У ,

S E ''-(E -X E -"),

которое устанавливает па границе зависимость нормальной компопепты угловой скрости от двух остальных ее компонент и трех перемещепип.

C учетом зависимости (1.1.94) интеграл, определяющий мощ­ ность поверхностных сил, преобразуется так:

J (г,-би’ + YvejV') d^V = J (г.-еи’ + у'’”ЧЕ„.,-е,у'' +

	•В Х )	= J (Z , •е и ' + (у ™ ’ -	( С " ) - ‘ ) X
		л ,
X	Е„]-в<,У'’ +	(2С” ) - ‘ Е ^ г а д и ') d a , =
=	J ( Z , - Э „ ( У ''¾ '" ” (2C '')-^ E „]))• 6U '’<г^?v +
	Ящ/

+ | ( У '” > -У ''> С ™ (С '’'’)-*)Е „ ].6 .У '’< М .+

я^

+I « „ ( У '^ '" ” ( г с " ) - ' Ejfl-BU ') а я . .

Последний из суммируемых интегралов сводится к контурному U исчезает, поскольку поверхпостиая плотность силовой компо­ ненты является по условию конечной пеличнпон н, слодонательпо, ее контурная плотность равна пулю.

Таким образом, силовые поля, распределенные но поверх по­ сти тела из псевдомомеитпого контппуума, приводятся к тре.ч- компопентному вектору-силе

Zv ^ Z v - 5„(У"'Ч^*"'“(2С''')-‘)Е„,)

и двухкомпонептпому (в повернутом базисе!) вектору-моменту

Соответственно граничные условия требуют задания па поверх­

ности	либо пяти		!шпематически.х скалярных параметров:
	* EvJi	UmJ =	•Em]. T^mJ=	♦ Em],	ЛИбо ПЯТИ динаш1-
ческих: J v ] =		Z v -E ^	=	=	Yv-E"*^
Модель псевдомомеитпого континуума					обнарулшвает ущерб­

ность «потенциального» способа построения определяющих урав­ нений. В качестве иллюстрации рассмотрим совершенный мате­

риал. Поскольку		!шнематическая связь	(1.1.93) обеспечивает
симметрию тензора деформаций UK U I, уравнения состояния вида
(1.1.72)	и (1.1.74)	определяют лишь симметричную составляю­
щую тензора результирующих напряжений				Следовательно,
задания	термодинамического потенциала		недостаточно		для по­
строения	полной системы опреде.чяющих			уравнений.	Остается

единственный путь — пепосредствепиое феноменологическое кон­ струирование такой системы с учетом термодинамических огра­ ничений.

При наложении динамической связи

= О,

(1.1.95)

совместимой с заданными условиями Y = O, Yv = 0, моментный континуум превращается в безмомснтньнь

Следствием второго из динамичеекм.х уравнений (1.1.38) бу­ дет равенство

Ал-, X Z^ = о,

(1.1.96);

обеспечивающее симметрию тензора напряжений в мгновенном базисе:

=(1.1.97)

Благодаря (1.1.95) и (1.1.90) мощность деформации выража­ ется более npocToir по сравнению с (1.1.41) формулой

/5 = Z••^ .(aл•бU-бoVXA.v)) = Z""^бC7;,,,„

(1.1.98)

которая свидетельствует, что у безмомептпого континуума сохра­ няется онерготнческое соответствие между компонентами тензо­ ра лаиряихОНнГ! H тензора деформащпг в повернутом базисе. Сог­

ласно (1.1.90) тензор	не является снмметричны.м.
Условие (1.1.90)	позволяет преобразовать формулу	(1.1.98)
к виду
/^ = Z^ •б5.уП =		(1.1.99)

показывающему, что с компонентами тензоранапряжений в на­ чал ыюлг базисе = Z*^ •A'^ сопряжены компоненты градиента перелгещепш! в этом же базисе

^ \У„ ■А,г = Зл-Плг.

(1.1.100)

Представленный компопептамп в начальномбазисе пеепмметрпчный тензор напряжений Z*'" обычно связывают с именем Пиолы [24, 02].

Если ввести компоненты тензора напряжений в мгновенном базисе Z*'''^ = Z^ •А"'^’ л воспользоваться присущим нм свойством

симметрии (1.1.97), то формула (1.1.99)	для удельной мощно­
сти деформации может быть преобразована к виду
P = 1/2 (Z^■•'^^Aл„ •б5л-и + Z"^')Ал-) •65„П) =	(1.1.101)

показывающему, что симметричному тензору папряжепий энергетпчески соответствует симметричный тензор деформаций Грппа C компонентами

= 1/2 (Алг •	+ 5л-и -S^U) =
= 1/2	+ A^^^WsbW^rK).	(1.1.102)

Представленный компопептами в мгновенном базисе симметрич­

ный	тензор папряжепий		Z""^ связывают с именем Кирхгофа
[52,	62].
Возможность выражения мощности деформации через симмет­
ричные тензоры		и	пе зависящие от жесткого поворо­

та базиса, означает, что такой поворот не производит деформа­ ции континуума (является «скрытым», по выражению Коссера).

Поэтому в Л[одель бсзмомсптпого континуума повернутый базис вводит свободное поле поворотов, которое может быть использо­ вано для достижения вспомогательных целен, в частности для симметрнзацпи тензора деформаций согласно (1.1.93). Вообще же любые трп независимых условия для боковых компонент тензора деформации UtfMy фиксируют положенно повернутого базиса п, наоборот, любая фиксация повернутого базиса устра­ няет произвол в определении этого тензора.

Кшгсматпческая связь (1.1.93) отождествляет поворот мате­ риальной точки со средним поворотом ее окрестности, произво­ димым полем перемещепн11. Taicoir поворот мояеет быть выделен полярным разложением градиента перемс1цснн{'1. Связи (1.1.93) отвечают трсхтеомпонентныс векторы деформации. Их ко.М11011Снты подчинены условиям симметрии

t/.,, = CA,.,. с/„, = 1/.„.		(1.1.103)
Полная деформация сдвига измеряется параметрами
САз21"ЬCA,,,. C^iJ, + CA,!,. С/гц+СА.г,.		(а)-
В.место (1.1.103) могут быть использованы		менее кои-
структивные условия
tA,,, = C^,, = CA,., =	О	(1.1.104)
их транснонированпый вариант
CAJSJ = CA,., = СА.г, =	0.	(1.1.105)

Они выделяют средний поворот окрестности материальной точки таким образом, что все векторы деформации Uy становятся дву.х- компоиентными в повернутом базисе. В первом варпаите дефор­ мация сдвига измеряется параметрами

во втором —

Uzii,

UiZ],

(б)

СА,21, СА.з,, CA,,,.

(п)

Соответственно связям (1.1.103), (1.1.104) и (1.1.105) тензор

деформаций представляется матрицами

1

H

C^il

и12]

Uu]]

р

п

] С'12]

0

р 1 1 ]

0

САаз]

и22]

САзз] L

гLc^ai]

CAgS]

с^23]

,

CAgiJ САз2]

.САхз!

САзз]

CCзз]J

0

САзз]]

Lo

САз2]

САзз]]

Модпфицпроваппые

по

отношению

к

(1.1.104)

(1.1.105)

условия

CA,,, =

CA,,, =

CA,., =

о

пли

(1.1.106)

CAsa, =

CA.,, =

CA.,, =

о

(1.1.107)

представляют тензор деформации треугольными матрицами

CAiiJ С/12]

C^iaj]

\игг]

0

0

0

CAgg]

САзз] L

САзз]

0

0

0

U u ]]

Lc^ail

САзз]

С^зз]]и .

"I

При выделешш среднего поворота в случае (1.1.106) совмеща­ ются направления векторов Аз, п Аз„ в случае (1.1.107)— А,, II А,). Примепепне этп.х вариантов оправдывается при моделпровашш деформаций тол, имеющих особые направления. К та­ ковым относятся, папример, оболочко- и стержпеобразпые тела.

Если	тензор	деформаций		С/.ул,,	снммстризовап	условием
(1.1.93),	то формула		(1.1.98)	преобразуется к		виду P =
= Л^--''’бС/л-л„, где		USM, — обозначение			снмметрпзоваппого		тепзора
	— обозначение		симметричной составляющей				тепзора
		Ч-			.
		= 1/2 (Z'''-''^ +

Си.мметрнчны11 тензор USM, в квадратичном приблшкеппп совпадает с тензором «чистой деформации», введенным Био [74]. Тензор UsM], как его обобщенный вариант, называется в дальг нейшс.м тензором Бпо. Связь последнего с тензором Грппа уста­ навливается равенствами

W SM,	= 1/2 (Алг, •U;, + Ал-, •и ,, + U;. - илх) =
=	m iU sM , + UM^, -ь		(1.1.103)
обладающими явной		аналогией с равенствами (1.1.102).		При
V = о, !чогда жесткий		поворот базиса не выделяется, имеет		ме­
сто полное совпадение		(1.1.102) п (1.1.108), поскольку Ux =		W^-.

Последнее равенство свидетельствует о том, что предложенная формулировка модслн безмомептпого континуума Коши с тензо­ ром деформацш'! Био в тривиальном случае V = O вырождается в градиентную формулировку, когда в качестве меры деформации континуума используется градиент перемещений с несимметрпч-

Hoii матрицей	и в качестве	меры напряжения — тензор
Пиолы C несимметричной матрицей		При условии V = O по­

вернутый базис пе отличается от пачальпого. В общем случае оно пе совместимо пи с одним пз вариантов (1.1.103) — (1.1.107) выделения поля поворотов. Градиент перемещепий, как мера де­ формации при V = O, теряет важное свойство инвариантности относительно двпжепий жесткого тела, которое присуще тензору деформаций Био в любом из вариантов (1 .1 .1 0 3 )-(1 .1 .1 0 7 ).

Из определения (1.1.15) тензора Био может быть установлен наглядный физический смысл: если деформация происходит без пскажспия углов между коордппатпыми линиями (без сдвигов), то векторы мгповеппого базиса отличаются от векторов повер­ нутого базиса только длипой п днагопальпые компоненты UKN, тепзора Био совпадают с удлинениями коорднпатпых линейных элементов; если же, напротив, деформация измепяет углы леж ду едипичпыми базисными вектора^ш A s п Алг на величину Ф^гхг

без измепепия	их длины, то между педиагопальными компонен­
тами Umn тепзора Био и углами сдвига		устанавливается
простая связь	С/ядп = з1п(1/2Ф^гд/), M ^ N ,	причем Uitin = U sitb

если Фм.у = ФлгАг. Таким образом, компонепты USM^ тензора Био являются эксперимептальио измеряемыми параметрами.

Уравнение баланса механической энергии для безмомептпого тела принимает упрощенную по сравнению с (1.1.47) формули­ ровку

I (2;-би ) Zv•бБ''d^v = О, (1.1.109)

в которой мощность деформации может быть задана любым из равенств (1.1.98), (1.1.99) и (1.1.101). Каждое из ин.х обуслов­ ливает определенную систему кинематических и динамических параметров состояния и требует согласованной с iioii формули­ ровки определяющих уравнений. В частности, системе киноматическпх параметров, выражаемой тензором деформаций Био UNMI, должна быть соотнесена система динамических параметров, вы­

ражаемая несимметричным	тензором напряжений	который
также может быть пазван	именем Био. В тривиальном	случае

= о он вырождается в тепзор папряжепи!'! Пнолы.

Для безмомептпого континуума наиболее простую снсте.му динамических параметров состояния дает симметричныii тензор

напряжений Кирхгофа	Прп этом	энергетически	сопряжен­
ный C пнм тепзор деформаций Грипа		образует	наиболее

подходящую систему кинематических параметров. Поскольку оба тензора симметричны и BTopoii из них принимает пулевое зна­ чение на группе жестких перемещений, в совокуппостп они об­ разуют оптимальную систему кинематических и дипамических параметров состояния безмомептпого континуума.

Формулировку определяющих уравнений безмомептпого коптипуума проследим в случае совершенного (термоупругого) мате­ риала. Соответствеппо выбранной системе кинематических п ди­ намических параметров состояния получим более простую по сравнению с (1.1.80) систему определяющих уравнений:

5 = 5(Т7ья„ Г ), К = К(Т^ьк-„ Г ), = Г ). (1.1.110):

Имея зависимости (1.1.102) и (1.1.108), не составляет труда перейти в (1.1.110) к системе кинематических параметров U^,^ или WLK.

В свою очередь, зависимости

2^'^’ = {А Mк + С / м я ] ) = (AMк + WMк)

( 1. 1. 111)

выражающие несимметричные тензоры папряжепий через сим­ метричный, позволяют осуществить переход к системам динами­

ческих параметров	и	Таким образом, имея определя­
ющие уравнения вида	(1.1.110),	всегда можно преобразовать их
в систему

S = SiULNi, Т ), R = RiULKU Т ), Z^^^=Z«“ ^iULкu Т) (1.1.112)

или в систему
5 = 5(Жх.к, Т ), К = К(И^^^., Т ), Z-'-' =	Т ). (1.1.113)'

Первая из ии.у предпочтптельпее, когда мощность деформации вычисляется по формуле (1.1.98), вторая — по (1.1.99).

При использовании выражения (1.1.98) глобальное уравпеппе (1.1.109) может быть преобразовано к виду

I ((Z +	SU +	(Ад) X Z^l-SoV )йлг +
Si-
J £vЛ'Z•'^•(бU-бU)d^Э7+		I (Z v -£ v ;v Z ").б Ш ^ + = 0.
		33^

(1.1.114)

Отсюда следуют локальные дипамическпе уравнения и гранич­ ные условия безмоментного континуума:

ад-^ + г = о,	А ;,,х г ‘'' =	о V X e ^ i;	( 1 .1 .1 1 5 );
U = U	iгv^Z^' =	Zv V X e ^ + .	(1.1.116)

Как видно, у безмоментного континуума вырождается второе из дииамичсскн.х уравнений (1.1.38), выражающее баланс момен­ тов. Соответственно граничные условия (1.1.43) и (1.1.44) момептного континуума выроящаются в условия (1.1.116).

Если выбрана согласованная с (1.1.98) и (1.1.112) система

параметров состояния		UiKj и				то равенства (1.1.115) и
(1.1.116)	следует формулировать			в	разложении по повернутому
базису:
	+ Z^J =	о,	(Л!‘к	+		= 0;	(1.1.117)
U M ^ =	U M I V X e ^ 7 ;				=	V X eigf+ .	(1.1.118)
Для системы параметров			WLK и Z'^", согласованной с				(1.1.99) и

(1.1.113), и.х удобнее представить в разложепнн по начальному базису:

а„г™ + 2"_о. (A ^ K L +		(1л.ш)
UU = UM V X ^	V X	(1.1.120)

Равенства (1.1.119), (1.1.120) и (1.1.100) образуют систему механических уравнений безмоментного континуума, сформули­ рованную традиционным образом, без выделения жесткого пово­ рота базиса.

Нетрадиционная формулировка, с выделением жесткого пово­ рота, образуется из равенств (1.1.117), (1.1.118) и кинематиче­ ских зависимостей (1.1.33), (1.1.34), дополненных связями (1.1.93) или другими равенствами, нетривиальным образом опре­ деляющими вектор поворота.

Формальпьш сокращением размерности прострапства па единицу из уравнен ни трехмерного моментного континуума могут быть получены уравнения двумерного моментного коити- Hyyira. Такой континуум не является толгько математическог’ абстракцией: он имеет физический смысл модели деформируемой оболочгш.

В этом параграфе сформулирована полная система уравне­ ний, описывающая конечное деформированное состояние термо­ упругого двумериого лгомептпого континуума Коссера. Она со­ стоит из кинематических, динамических и определяющих урав­ нений. Осуществлен переход к упрощенпьиг моделям псевдомомептпого и безмомептного континуумов.

2.1.Начальное состояние континуума

При формулировке уравненш! двумерного моментного континуума под областью зФ следует понимать некоторое двумер­ ное многообразие (поверхность) погруженное в трехмерное евклидово пространство и параметризованное лаграижевыми ко­ ординатами г" (строчные латинские индексы припимают значе­ ния 1 и 2 ). Граница области ^ представляет собой одномерное многообразие (контур)

Все параметры двумерного континуума обозначаются строч­ ными буквами соответственно прописпылг буквам, обозиачающп.м параметры трехмерного континуума. В частности, х (а :")— на­ чальный позицпопный вектор пронзволыгой материальной точки

континуума; ал-(х) — начальный коордпиатный базпс,				определен­
ный па поверхности ЗФ и состоящий из			касательных векторов а„
и единичного норлгальпого вектора Зз;			е » (х )— поле	единичных
нормалей к контуру	касающихся поверхности
По определению	базисные	векторы	подчиняются	условиям
а„ = 9„х, а„ ■аз = 0. Равенства
Нл’д =	Эл' •а.лг,	Ол-лг1. = (эл* X а,и) •ах.		( 1.2.1)

вводят метрический а^зг(х) и дискриминаптпый ах.лгх,(х) тензоры начального базиса. Коитравариантный базис а "(х ) подчиняется УС.ЧОВИЮ

(1, M = N',

МфЗ.

Производные от базисных векторов подобно (1.1.2) предста­ вимы разложениями

^М,п = CnM^Lt

= —

(1.2.3)

коэффициенты которых — параметры Кристофеля второго рода — определяются равенствами