книги / Механика деформаций гибких тел

Этих условий достаточно для определепия всех компонент век­ тора поворота. Тензор метрических деформаций представляется симметрично!! матрицей

Цц]	“12] “13]
Цдз]	Mgo]	“ 23] •
	“ 23]	“ 33].

Четвертый вариант. 7Кесткпй поворот базпса исключается тривиальным условием V = O. Поверпутый базис совпадает с на­

чальным: HX J = H Y; тензор изгибаний			исчезает: Vn = O; уравне­
ния (2 .2 .8 )-(2 .2 .1 0 )	определяют	деформационные		векторы в
виде	Wn ^ 5пП, U J =			( 2.2.42)
HiI =		WJ ,	= Wj^ п.

Скалярное нродставлепис векторных п тензорных полой и урав­ нений наиболее просто осуществляется в пачальпом базисе. Согласно (2.2.42) тензор метрических деформации представля­ ется несимметричной квадратной матрицей

	Г Wii Wiz		Щ х з	I
	Wzl	“ ’Я2	“ 'зз
		*“32	“'ззJ
C компонентами	Wnn —ам •	= д„нм, W^t =		Wj •а.лг;
тензор пзгибиых деформаций — прямоугольной матрицей
	Г“ Ц	“ 12	“1з1
	[ “ 21	“ 22	“ 23 J
Dкомпопептамп	= а*г * 1“з.» = ^«!“злг-
Ципамическне уравиепия (2.2.10)			и граничные условия (2.2.17)

вразложении по начальному базису имеют вид

+Z" = О, - Z*" + у " = О,

((QiYiH +	^^’Nм) 2^^ +		(&/1ЛГ +		“«Я^) 1/”^) ~
Hw-Ujifj		WiM =	WJM		;
- _пМ	• JlI	„ , п М	* JH V		- _ G ?+
CvnZ =	Z v ,	вупУ	= V v	V x e i f i r

Зпределяющпе уравпеипя формзглируются в виде (2.2.33) плп

(2.2.35).

Поскольку компонепты WnM п Нп.зг деформациопны.х тензоров !овпадают с компонентами поверхностных градиентов пезавпеп- 1ЫХ векторпых полей и и лу,, даппую формулировку двумерной юдели оболочки уместно назвать градпептной. Ona обладает (остоипствами н недостатками градиентной модели трехмерного юптннуума п является вырожденной по отношеишо к формули- )овке C явным выделепием поля жестких поворотов.

В результате решения двумерпой задачи в любой из предлокеппых формулировок определяются двумерные кппоматичеекпе t динамические параметры деформации оболочки: скалярное по-

ле температуры векторные поля лилейных п угловых переме­ щении U и Wa, тензорные поля метрических и пзгибпых дефор­ маций Uw и Vn, внутренних усилий и моментов н у”. Оконча­ тельная цель состоит в определении объемных температурных, кинематических н динамических полей в оболочке. Температур­ ное поле восстанавливается по формуле (2.2.32), кинематические поля перемещений н деформаций — по формулам (2.2.22) п (1.1.108). Для восстановлепия поля напряжений имеются опре­ деляющие уравнения (2.2.35). Однако нахождепие нормального вектора напряжений Z* с их помощью нельзя считать удовлетво­ рительным, поскольку оно не обеспечивает выполпсипя ус.човий на внешних поверхностях оболочки. Поэтому уравнения вида (2.2.35) следует попользовать лишь для вычисления танген­ циальных векторов Z" тензора напряжений. Восстановление его нормального вектора может быть осуществлено посредством ин­ тегрирования по нормальной координате трехмерного динамиче­

ского уравнения
= - J Z - (^Z"),„,	(2.2.43)
правая часть которого у/ке известна. При иптегрироваппп	(2.2.43)

удовлетворяется силовое условие на одной из внсшппх поверх­ ностей. Условие на другой выполняется за счет двумерных ди­ намических уравнений (2.2.16). Корректность такой процедуры восстановления нормального вектора папря/кепий подтверждает­

ся	асимптотическим анализом трехмерной задачи для оболоч­
ки	[60].
	Подводя итог, можно констатировать, что для деформируе­

мых тел оболочкообразпой формы построена двумерная нелиней­ ная модель, определяющая все компоненты объемных полей на­ пряжений п деформаций. В основу модели положена кинематиче­ ская связь, допускающая однородные по толщине деформации нор­ мальных элементов. Принятая кинематическая связь дает линейную зависимость поля перемещений от иормалыю1г коор­ динаты. Она превращает деформируемую оболочку в материаль­ ную поверхпость, с каждой точкой которой связаны два незави­ симых вектора: позиционный и нормальный. Иначе говоря, трех­ мерный континуум оболочки подменяется двумерным, деформа­ ция которого обусловлена изменением этих двух векторов в каждой точке. Тем самым задача деформации оболочки как трехмерного континуума, каждая точка которого обладает тремя степенями свободы (компонепты вектора линейных перемеще­ ний), сведена к задаче деформации двумерного континуума, каждая точка которого обладает шестью степенями свободы (компоненты векторов линейных и угловых перемещений). Со­ ответственно порядок двумерной дифференциальной системы уравнений по каждой пространственной переменной в два раза выше порядка трехмерной (двенадцатый вместо шестого).

В согласии C принятой кинематической связью объемны" тензор деформаций породил два поверхностных кинематических: девятикомпоиептный тензор метрических деформаций и шести­

компонентный тензор пзгнбных деформаций, а объемный тензор напряжений — два поверхностных силовых: девятпкомпонептпыи тензор усилий и шестикомпопептпый тензор моментов.

При фopiMyлиpoDK0 системы уравнений двумерного конти­ нуума произведено явное выделение жесткого поворота из пол­ ного преобразования координатного базиса. Введенное поле по­ воротов кинематически связано с основными независимыми век­ торами линейных и угловых перемещений. Построенная двумер­ ная модель оболочки существенно отличается от двумерного контипуу.ма Коссера.

Изложенная процедура построения двумерной модели дефор- MIipyeMoii оболочки может трактоваться как метод дискретиза­ ции по переменной исходной трехмерной задачи деформирова­ ния безмомептпого тела, если аппроксимацию (2.2.3) применить

но	глобально,	а	посло11по. Тогда уравнения (2.2.9), (2.2.10) и
(2	.2 .1 5 )-(2 .2 .	1 7 )	доллшы быть отнесены к отдельному слою.

В каждом слое к основным неизвестным векторам и и Ws добав­

ляются	векторы	Zm контактных	напряжений между	слоями
(Zi на	нижней	поверхности слоя,	Z^ — па верхней).	Условия

непрерывности этих векторов и объемного вектора перемещений и на мcжcлoiiuыx поверхностях доставляют соответствующее число дополнительных уравнений.

§ 3. НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБОЛОЧКИ

C ЖЕСТКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ ВОЛОКНАМИ

Наибольшего согласования ме?кду моделью оболочки и моделью двумерного моментного континуума можно достичь посредством подчинения деформации оболочки дополнительной кинематической связи, допускающей жесткий поворот попереч­ ных волокон без изменения длины. Математическая формули­ ровка такой связи наиболее просто осуществляется в первом ва­ рианте модели. G DTOii целью условие коллинеарности векторов аз] и аз) заменяется более жестким условием их полного совпа-

деппя
аз) = аз].	(2.3.1)

Ему отвечает равенство Из = 0. Два остальных вектора метриче­ ских деформаций вычисляются через векторы перемещения и по­

ворота по формуле (2.2.8),	установленной в теории	двумерного
моментного континуума. Из	(2.2.10) следует простое выражение
для тензора изгибных деформаций
	= Vn X а,J.	(2.3.2)
Здесь Vn — введенный для	моментного континуума	тензор чи­

стых изгибаний, который по формулам (2.2.6) вычисляется через вектор поворота. Следствием (2.3.2) является равенство у„ •аз] = = 0, утверждающее, что тензор изгибных деформаций имеет че­ тыре ненулевых компоненты в повернутом базисе. Равенствц

(2.2.3) п (2.2.7) дают следующую аппроксимацию объемных кппематичесшгх полей оболочки:

		U = U +	жЧу з, лу, =	аз1 — а з =	Фз,
		и„ =	и„ + х’Уп, из = Нз =		0.
C	учетом дифференциальных			зависимостей		бWз = б¢vXaзJ,
боУ„ =	боУп X аз]	уравнение (2.2.11)		баланса	механической энер­
гии оболочки преобразуется к виду
		\ (2-би+(аз] X у)*боУ — /?)гШ +
		Зй
	+	I (zv•бu^ + (аз] X Уу)•боУ'') dW = О,				(2.3.3)
		P = Z- •бои„ + (а„ X y ")- боУп				(2.3.4)

имеет смысл поверхностной плотности мощности деформации.

Благодаря равенствам (1.2.14) она выражается также			формулой
P = Z" - (Зяби — боУХа„)) + (аз1Ху")-^„боУ.			(2.3.5)
Из сравнения уравнений	(2.3.3)	и (2.3.5) с соответствующи­
ми уравпеппямп (1.2.24) и	(1.2.23)	двумерного момептиого кон­

тинуума видно, что эти две группы уравнений тождественны друг другу при выполнении условий

Y = аз] X у, Yv = 3з1 X yV, Y" = аз] X у".

Вместе с равенствами (2.2.2) и (2.3.1) опи устанавливают те связи, которые превращают гипотетическую модель двумерпого моментного континуума в модель оболочки с педеформируемыми поперечными волокнами.

Следствием (2.3.3) и (2.3.5) являются локальные динамиче­ ские уравнения

а „ г " + Z = O,

(2.3.6)

дп(аз] X у") + а„) X Z" + Эз) X у = о

п граничные условия на контуре

U = и, V X аз] = V X аз] Vx е

^vnZ" = Zv, Cvn (BJJ X у") = а,] X yV V x e

Формулировка второго из динамических уравнений (2.3.6), выра­ жающего баланс локальных моментов в мгновенном состоянии, имеет внешне мало общего с формулировкой уравнения момен­ тов (2.2.16). В действительности же она является частным следствием последней. Достаточно заметить, что второе из уравнений (2.2.16) с помощью третьего приводится к двум

уравиопиям

(^нУ" — + у) •а’’ = О,

дп (аз, X у") + а„) X Z" + аз, X у = О,

первое из которых является условием баланса моментов в на-

правлепип вектора аз),		второе — в нормальных к нему	паправ-
леппях. При	условии	(2.3.1) последнее тождественно	второму
из уравнений	(2.3.6).

Как видно, в данной формулировке упрощенной модели обо­ лочки все кинематическпс переменные вырая^аются через два независимых вектора: вектор перемещения и и вектор поворо­

та V. Прпчел! условие (2.3.1) пе определяет		однозначно послед­
ний,	поскольку допускает возможность свободного поворота ба­
зиса	OTiUJGHTC-UbHO вектора аз>. Проще всего устранить эту не-
оиредслениость условием
	V •Яз) = О,	(2.3.7)

полностью исключающим такой попорот. Оно предпочтительнее прочих в данном случае, потому что сохраняет псзавпспмость вектора поворота от вектора перемещения.

Благодаря (2.3.1) условие (2.3.7) приобретает адекватную запись V •аз) = V •аз = О, которая утверждает, что в начальном и повернутом базисах введсиный вектор поворота имеет лишь две !«омноненты.

Скалярная формулировка получоппой системы уравнений осу- п^естпляотся с помощью разло?кепий (2.2.18). Она включает в себя кинематические уравнепия

MfI-W] = (рмп + (амк + <рмк)

Мптп] = л 'з т К ,я ], Упз] =		о, WoM=	<РзМ,
WnL =	^nM] = (м.«к + <р-чк)		(2.3.8)
VnL = ('ф1Млп. +		+ (фзЗпф) VL ,
<рл'дг = (piClifMLV^+	фг(м«Млг “	O^HMVLV^),	= Уз = 0;

динамические уравнения

		(2.3.9)
	+ (а^пк + а^М пь])	= 0;
	граничные условия
	Ua — U a, Vm -	V x
		(2.3.10)

Vx e

=Zv

иуравнения для восстановления объемных кинематических по­ лей в деформированно!! оболочке

UM = C^f. (UL + ^^IVOL),

UnMl = (UnLl + ^^VnLl),

к группе кинематических уравнений относятся также уравневпя совместности деформаций (1 .2 .2 1 ), которые способны заменить часть из уравнепий (2 .3 .8 ). Локальным динамическим уравнениям (2.3.9) и граничным условиям (2 .3 .10) эквивалеитпо глобальное уравнение баланса механической энергии оболочки

J (	—p)d^ +
SS
P —
Формулируемая системой	уравнений (2 .3 .8 )-(2 .3 .1 0 ) дву­

мерная модель оболочки не учитывает нормальных компонент у векторов внутренних и внешних моментов и не содержпт в числе искомых переменных динамический вектор составляющпй энергетическую пару с кинематическим вектором Из. В скалярной форму.чировке модель имеет пять независимых кинематических параметров: три компоненты вектора перемещения и две колшоненты вектора поворота. На контуре базовой повер.хности она требует задания пяти граничных условий. Модель описывает деформацию оболочки, сопровождающуюся сдвигами поперечных волокон без изменения длины. Мерой этих сдвигов служат ком­ поненты Unsi тензора метрических деформаций. В нелипейпых задачах поворот поперечных волокон относительно базовой по­ верхности изменяет толщину оболочки. Следовательно, даже при неизменной длине волокон присутствует эффект поперечпого об­ жатия оболочки.

Двумерная формулировка определяющпх зфавпепий должна производиться на основе зависпмостей (2.2.34) и (2.2.35). Одпако, как и в модели Кирхгофа — Лява, было бы некорректпы.м

пспользовапне в этой	процедуре	аппрокепмацпонного условия
Us “ Us = О, поскольку	опо не согласовано		с граничными усло-
внямп на внешних поверхностях		оболочки.	Поэтому процедура

формулировки двумерных определяющих уравнений модифици­ руется следующим образом: при условии Us 0 с помощью (2.2.35) устанавливаются зависимости динамических параметров Z'^, у" от кинематических параметров Пл-, Vn, затем привлекается условие Z* = о как уравнение относительно югнематического век­

тора UJ .	Таким образом, при формулировке двумерных опреде­
ляющпх	уравнений вместо	условия Us = 0	следует	использовать
2 ®= 0. Для восстановления		нормального	вектора	папряжеиий
применяется уравнение (2.2.43).

§ 4. НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБОЛОЧКИ СО СВЯЗЯМИ КИРХГОФА — ЛЯВА

Для построенной во втором параграфе обобщенной модели оболочки естественпым образом формулируются допол- «пггртьяия связи, при которых СПЯ в1^ож дается в нелппейную

модель Кирхгофа — Лява. Одна из связей имеет кинематический смысл, другая — динамический [41, 91].

Согласно кинематической связи Кирхгофа оболочка деформи­ руется таким образом, что ее поперечные волокна совершают жесткш'! поворот, оставаясь нормальными к деформирующейся базово11 поворхпостн. Математическую формулировку такой свя­

зи проще всего	осуществить	в рамках	второго варианта обоб-
щсшюн модели.	C этой целью достаточно отождествить мгновен-
Ubiii вектор аз>	с повернутым	вектором	Эз], который является

вектором нормали к деформируемой базовой поверхности. Зна­ чит, дополнительная кинематическая связь для упрощения обоб­ щенной модели вводится равенством

Яз) = Зз],

(2-4.1)

которое по форме совпадает с (2.3.1), но имеет более узкий кипоматическш! смысл, поскольку справедливо в рамках второго варианта модели с дополнительным условием (2.2.39). Благодаря последие.му равенство (2.4.1) обеспечивает также ортогональность обоих векторов к деформпроваппой базовой иоверхности. Связь (2.3.1), принятая в рамках первого варианта, такой орто­ гональности не обеспечивает и должна быть дополнена условием (2.2.39). Итак, в рамках первого варианта обобщенной модели К11нематичсская связь Кирхгофа формулируется двумя дополни-

тельпыми условиями (2.3.1) и (2.2.39), в				рамках	второго вари­
анта— одним условием	(2.4.1).		Именно	поэтому	^вырождение
обобщенной кюдсли в модель		Кирхгофа — Лява удобнее просле­
дить в рамках второго варианта.			(2.2.39)	являются равенства
Следствием условий	(2.4.1)	и
Нз = 0,		Unаз] = о,			(2.4.2)

согласно которым матрица компонент тензора метрпческпх де­ формаций в повернутом базисе имеет вид

Uii]	UiO]	Ol
Uoi]	игг]	О Unm] = Un-Oni].	(2.4.3)

ОО О

Всоответствш! с (2.4.2) тензор пзгнбных деформаций опреде­ ляется равенствами

v,v = V „X a,J,			Vn-Ba = O, Уз = O	(2.4.4)
п имеет матрицу такого же вида
Ull]		О
и21]	иг2]	О	Unm] S
О	О	.0

Векторы деформаций и„ и V» выражаются через векторы пере­ мещения H поворота формулами (2.2.6), (2.2.8) и (2.4.4), причем второе из равенств (2.4.2) дает две скалярные связи между ком-

поиентамп двух послсдппх векторов. Этп связп определяют тан­ генциальные компоненты вектора поворота через компопситы вектора перемещения. Нормальную компоненту вектора попорота можно исключить npocTeiiuiiiM условием (2.2.37) или симметрпзующим тензор метрическпх деформаций условием (2.2.41). Соответственно матрица (2.4.3) будет иметь иесимметрпчиую пли симметричную структуру. Радп определеппости в далы1е1’ш1см пспользуется условие (2.2.37).

Для поверхностпои плотности мощности деформации оста­ ется справедливым выражение (2.3.4), уравнение баланса ме­ ханической энергии сохрапяет вид (2.3.3). Отличие заключается лишь в том, что угловая скорость в данном случае нс является

свободным кинематическим вектором.	Днффереицпроваппс по
времени (2.2.39) обнаруживает следующую зависимость		вектора
угловой скорости от градиента линейной скорости:
Эп) •баз, = а„) •(боУ X аз]) =	-В з, •5„би.	(2.4.5)

Она справедлива во внутренних точках базово]"! поверхности. Для корректной формулировки граничных услошиг, отвечающих кппематической связи Кпрхгофа, необходимо обеспечить выполне­

ние зависимости (2.4.5)	на грапичном контуре и		произвести
такое преобразование контурного		интеграла в (2.3.3), которое
выявило бы незавпспмыс	скорости	кинематических	персмсипых.

На контуре зависимость (2.4.5) выражается равенствами

	B(X) * бЭэ] — Зц) • (боУX Я з])=		Вз] • дцби,	(2.4.6)
	Bv, • баз, =	ач.) • (боУ X Зз]) =* —Зз, • 5ч.би.
	Если вектор контурных моментов представить разложеппем
	Yv =	+ yV^V) +	У?^Вз]|	(2.4.7)
	Syv-O**'	= Yva *

то можно устаиовпть равенство

(аз] X Уг)-боУ = Yv (боУ X Зз]) =

= — IZv^ag]•5цби — Уу^Зз] •5уби.

C его помощью контурный интеграл из (2.3.3) после пптегрировапия по частям преобразуется следующим образом:

J (Zv•би^' + (Зз] X Уv)•бoУ'’)	=
= J (г(!'-би'’ + ZZv^av)-б а з ] ) — [уу^аз]-би'']^,,		(2.4.8)
Z^ = Zv 4* CiZv^ag]),р,.		(2.4.9)

Квадратная скобка вбирает в себя все имеющиеся па контуре скачки заключенной в ней велпчипы.

Следстипем уравнения (2.3.3) с прообразопапиым согласно (2.4.8) коитурпы.м интегралом являются локальные днпампческпе уравнения

,

а . * " + о ,

^

(а», X y ") + а„) X Z" + аз) X у = о,

полностью совпадающие с (2.3.6), п спловые условия на гранпчпом контуре

где соответственно (2.2.12), (2.4.7) п (2.4.9)

г;!" = ^vnz" + (Л э ]).ц ,

• а'"\ IjV = «упУ"*а''\

Для непрерывного па контуре вектора уу последнее пз равенств (2.4.11) в1)1надает, н силовые граничные условия формулируются в виде

Z j- - Z + ,

(2.4.12)

Вектор Xv — это обобщенная силовая реакция на контуре, сосласовапная с книематпческо]'! связью Кирхгофа.

Альтернативно!: будет сптуацпя при задании на контуре кинематических ограинченпи. В этом случае наряду с условием

U = U на контуре необходимо обеспечить выполиенпе второго из равенств (2.4.6), первое же будет следствием внутренней кине­ матической связи (^ 4 .5). Поскольку второе равенство (2.4.6) представляет собой следствие условия Кирхгофа

Hv,-аз] = 0,

(2.4.13)

оно лгожет быть зал1енено последним. Принимая во внимание, что ау) = Cy + ^yU, аз] = аз + фз.лга", аз •ву = 0, можно представить (2.4.13) в развернутом виде:

аз] •5уН = — аз] •ву = — (pom^V •

Таким образом приходим к полно!: формулировке кинематиче­ ских граничных условп!: для нелииепио!: модели Кирхгофа — Лява:

= и, аз]-SyU = — ерзт.

(2.4.14)

Здесь величина фзт вычисляется по заданному па контуре зна­

чению вектора поворота V в соответств::и с (2.4.15). Условия (2.4.14) требуют задания на граничном контуре веххтора пере- к:ещення н нормальной к поверхности составляющей его гради­ ента вдоль нормального к контуру направления.

Как видно, при выводе двумерных динамических ypannenHii модели Кирхгофа — Лява привлекалась лишь кинематическая связь. Динамическая связь не понадобилась. Она существенно используется при построении двумерных определяющих урав­

нений.

C помощью разложений (2.2.18) осуществляется скалярная формулировка полученной системы уравпепи!! модели Кирхго­ ф а— Ляпа. Она включает в себя кипематичешше уравнения

UnMi фмп "t"(UM K + фмк) Л*’“ 1Упь, Mnsi “

Mnm] = Usm^nIji МпЗ] “

	W nL — dnUb,	VnM ] = {лмк + фмк) 0.^'^‘ Уп ь,			(2.4.15)
	V n L = (ф1ам1, + фгМмькМ^')		+(ф$5„ф) VL ,
	фкм= ф1Ммм1,м‘ + (P z iV x V M — OX M V L V ^ ) ,
	V^ = VJ -O , Шзм^фзм,
	динамические уравнения
				О,
	Мп1.и.3/У	J +			(2.4.16)
	+ (м^пК + Л^^Мп!,]) 2”^*^ +			= О
	И граничные условия
	Мы =* MJifi Зз] •^vU = — б\'фзт Vx е			;	(2.4.17)

JjV = Iv

К группе кинематических уравнений относятся также уравнения совместности деформаций (1.2.21), дополняемые в данной моде­

ли равенствами м„з] = 0.

Локальным динамическим уравнениям (2.4.16) п граничным условиям (2.4.17) эквивалентно глобальное уравнение баланса механической энергии

	f ( 2 ¾	! +	aZlУ^^6vш - р ) ( 1 ^		+
	Я
	+ J ( 2+	¾ !	+ у ^ ^ а „ ).б а з ])= о,				(2.4.18)
в котором величина
	V =	г ””'^6ипт] + 2/""*’бу„т]					(2.4.19)
имеет смысл поверхностной			плотности	мощности		дефордхацип,
скалярное произведение		Ву) •6а$] вычисляется			с	помощью ра­
венств (2.4.6) для каждого из участков				9 ’” н ’ё’+ в отдельности.
Система	двумерных	уравнений (2 .4 .1 5 )-(2 .4 .1 9 )					описывает
деформацию	оболочки как материальной поверхности						Кирхгофа.