книги / Моделирование технологического оборудования

Гидравлическая (пневматическая) подсистема

Основными фазовыми переменными гидравлической (пневматической) подсистемы являются поток жидкости (расход) Q и давление жидкости Р - аналоги соответственно токов и напряжений.

Основные элементы этой подсистемы - масса, отображающая свойство инерционности жидкости; пружина, отображающая свойство упругости гид­ равлических полостей; сопротивление, отображающее потери энергии при те­ чении жидкости по трубопроводам.

Компонентные уравнения основных элементов. Уравнение элемента сопротивление отражает потери энергии при ламинарном течении жидкости по

участку трубопровода:
		Q = P /R t	( 1. 18)
где	Rr - аналог электрического сопротивления;
		Л, = 12810"*v р//(ти/4),
здесь	v -	кинематическая вязкость;
	d,l	- диаметр и длина трубопровода;
	р - плотность жидкости.
	Уравнение элемента пружина отражает связь величины расхода, затрачи­

ваемого на сжимаемость жидкости в некотором объеме, с изменением перепада давления на этом элементе:

		Q= 1/C, (d P/dO,	( U9 )
где	1/Сг = ег = V I E - податливость объема жидкости (аналог электриче­
		ской емкости);
		С, - жесткость жидкости;
		V - объем жидкости;
		Е - модуль упругости жидкости.
	Закон движения идеальной жидкости (уравнение Эйлера)
		Q = (\/L ,)lP d i,	(1.20)
где	Lr- инерционность потока идеальной жидкости (аналог электриче­
	I	ской индуктивности), Lv= / / S;
		- длина участка трубопровода;
	S	- площадь поперечного сечения трубопровода.
	Топологические уравнения. Аналогом уравнения первого закона		Кирхго­

фа в гидравлической подсистеме выступает уравнение равновесия в узлах схе­ мы, т.е. сумма всех расходов, притекающих или утекающих от узла, равна ну­ лю.

Z e * = o ,
*=•	( 1.21)

где Qk- расход жидкости, подтекающей к узлу или оттекающей от него. Аналогом второго закона Кирхгофа является уравнение неразрывности

подсистемы, т.е. сумма падений давлений при обходе по замкнутому контуру

равна нулю.	Р, = 0.
I		( 1.22)
;=1	■

где Р j - падение давления на ветви, входящей в контур.

Тепловая подсистема

Основными фазовыми переменными тепловой подсистемы являются теп­ ловой поток Ф и температура 0 - аналоги соответственно токов и напряжений.

Основные элементы этой подсистемы - участки среды, которые обладают теплоемкостью Ст и теплопроводностью .

Компонентные уравнения основных элементов. Уравнение элемента теп­ лопроводность отражает зависимость теплового потока при кондукционном и конвекционном теплообмене от перепада температуры на этом элементе. Из за­ конов Фурье и Ньютона

		ф = е / д г,	(1.23)
где	Rr= I / (XS)	- сопротивление тепловому потоку при кондукционном
		теплообмене (аналог электрического сопротивления);
	RT= II (SaKom) - сопротивление тепловому потоку при		конвекцион­
		ном теплообмене;
	X - коэффициент теплопроводности;
	Якоии - коэффициент теплообмена через конвекцию;
	S	- площадь поперечного сечения участка;
	/	- длина участка.
	Уравнение элемента теплоемкость отражает взаимосвязь количества под­
водимого тепла и изменения температуры тела:
		Ф = CT-(d 0 /dr)*	(1.24)
где	Ст = ст - теплоемкость тела (аналог электрической емкости);
	с - удельная теплоемкость;
	т - масса тела.

Для данных фазовых переменных (тепловой поток и температура) компо­ нентное уравнение, соответствующее тепловой индуктивности, не имеет физи­ ческого смысла.

Топологические уравнения. Аналогом уравнения первого закона Кирхго­ фа в тепловой подсистеме выступает уравнение равновесия в узлах схемы, т.е сумма всех тепловых потоков, притекающих или оттекающих от узла, равна

1 Ф* = о ,
к=\	(1.25)

где Ф* - тепловой поток, подтекающий к узлу или оттекающий от него. Аналогом второго закона Кирхгофа является уравнение неразрывности

подсистемы, т.е. сумма разностей температур при обходе по замкнутому конту­

ру равна нулю:	«
	2 . 0 у = ° .	(1.26)

У-1

где Qj- разность температур на участке, входящем в контур. Представим указанные аналогииа виде табл. 1.1.

Таблица 1.1

Аналогии между физическими подсистемами

Электрич.

/

и

Резистор

Емкость

Индуктив.

1= U /R

/= CdUldt

'U=LdI/dt

i

!

Й*

о II

! Щ = 0

I ' ________

	Мех. пост.	Мех. вращ.	Гидравл.	Тепловая	Примеч.
					Пер. типа:
	F	M	Q	Ф	потока,
					потенц.
	V	(0	p	6
	Сопротив.	Сопротив.	Сопротив.	Теплопров.	Осн. физ.
	Инерцион.	Инерцион.	Сжимаем.	Теплоемк.	явления
	Податлив.	Податлив.	Инерцион.
		Компонентные уравнения
	F = v /Я м	M - со / Лвр	Q = P / Rr	Ф = е //? т	Сопротив­
			Rr=	Rr=l/QS)	ление
			= 1 2 8 v /W )	RT=l l(SaKOUti)
	F = Cdv/dt	М= Cdw/d/	Q=CdP/dt	Ф = CdQ/dt	Емкость
	С —т	C = J	C= VIE	C = cm		|
	v = LdFIdt	со = LdM/dl	P = LdQ/dl		Индуктив­
	L = к	L = l/(GJp)	L = l/S		ность
	L = l!(ES)	Топологические уравнения
	XF, = 0			1Ф* = 0	Закон равно-(
		ш к= о	m = o
					вссия	1
	L Vj = 0	Scoу = 0	LPj = 0	10, = 0	Закон непре­
					рывности.	1

1.1.4. Построение эквивалентной схемы

Эквивалентная схема объекта, являющаяся графическим отображением реального объекта, дает представление о структуре системы.

Построение эквивалентных схем каждой из подсистем складывается из ряда этапов.

Получение исходной схемы

Исходной схемой может служить кинематическая схема объекта или его принципиальная схема. На рис. 1.1 представлен пример принципиальной схе­ мы системы трех грузов на пружинах.

Рис. 1.1. Принципиальная схема трех грузов

Переход от принципиальной схемы к схеме механической цепи

Переход от принципиальной схемы к схеме механической цепи является наиболее ответственным этапом процесса математического моделирования фи­ зических объектов методом прямой аналогии. Суть перехода заключается в вы­ делении существенных физических явлений, происходящих в реальном объекте и оказывающих решающее влияние на его поведение. Каждое из физических явлений отображается в виде графического элемента механической цепи. Вы­ деленные элементы соединяются друг с другом линиями взаимного влияния сил и скоростей, возникающих в результате внешнего воздействия. Полученная совокупность взаимосвязанных элементов представляет собой схему механиче­ ской цепи системы. В некоторых случаях этот этап не выполняют графически, а сразу от принципиальной схемы переходят к эквивалентной схеме. Однако мысленный процесс выделения элементов всякий раз оказывается необходи­ мым. Для графического изображения элементов механической цепи применя­ ются специальные обозначения [22, 30, 31, 32]. Некоторые из них приведены в табл. 1.2.

Этап перехода от принципиальной схемы к схеме механической цепи раз­ бивается на две фазы.

В первой фазе производится выделение существенных физических явле­ ний в реальном объекте. В реальном физическом объекте нет участков, которые бы характеризовались только каким-либо одним физическим явлением и кото­ рые можно было изобразить одним графическим элементом механической

Таблица 1.2

Элементы механической цепи

Механическая подсистема

- А Л Л -

т

ч = ! Ь -

R

F

— Ь н |

V

- с н

N

•— 3 3 —

Упругость

Инерционность

Вязкое (линей­ ное) сопротивле­ ние

Источник силы

Источник скоро­ сти

Нелинейное со­ противление

Передаточное от­ ношение

Гидравлическая подсистема

F

•—О ^ - •

с

н ш ь

R

Л

О

•— С н

"

Z > d

Полость гидродвигагеля

Упругость жид­ кости

Линейное со­

противление

i

Источник дав­ ! ления

Источник | расхода

1Нелинейное со­ противление

!

I

цепи. Каждый участок (трубопровод? ёмкбсть жидкости, массив и 1.д.) характе­ ризуется всегда совокупностью физических явлений. Решение о том. какими элементами должен быть отражен тот или иной участок реальной системы, принимает исследователь, исходя из поставленной задачи, своего опыта и ин­ туиции. Можно сформулировать общее правило, которым должен руководство­ ваться исследователь: все физические явления в реальном объекте, оказываю­

щие существенное влияние на результат решения поставленной задачи, должны быть отражены в схеме механической цепи. Несущественными явлениями не­ обходимо пренебречь при решении конкретной задачи, так как учет этих явле­ ний приводит к усложнению механической цепи и математической модели. В результате такого выделения происходит переход от реального физического объекта к идеализированной системе взаимосвязанных физических явлений.

Вторая фаза построения схемы механической цепи связана с соединени­ ем выделенных элементов друг с другом. При этом руководствуются следую­ щими правилами:

-элементы цепей, находящиеся под действием одного и того же давления либо двигающиеся совместно, соединяют параллельно;

-элементы цепи, обтекаемые одним и тем же потоком либо находящиеся под действием одних и тех же усилий, соединяют последовательно;

-элементы упругости и сопротивления механической цепи включают между теми участками объекта, с которыми образуют взаимодействие: элемен­ ты упругости - между телами, соединенными упругой связью, а элементы со­ противления - между контактирующими телами или параллельно элементам упругости при отображении внутреннего сопротивления упругих элементов;

-элемент инерционности механической цепи имеет два полюса, одним полюсом его соединяют с базовым элементом, характеризующим инерционную систему отсчета, другим полюсом, представляющим собственно массу тела, - с взаимодействующими внешними телами, б качестве базового элемента, пред­ ставляющего неподвижную систему координат, при моделировании металло­ режущих станков и их узлов фактически принимается станина станка, фунда­ мент и т.д.

Пример построения механической цепи системы трех грузов (см. рис.

1.1) на пружинах представлен на рис. 1.2.

С,

С3

F

л,

Рис. 1.2. Механическая цепь системы трех грузоп

PNRPU

Здесь отражены: упругость пружин элементами С„ инерционность гру­ зов элементами /я„ трение грузов о плоскость линейными элементами /?,. Ос­ тальными физическими явлениями пренебрегли из-за их малого влияния на движение грузов.

Переход от механической цепи к эквивалентной схеме

Переход от механической цепи к эквивалентной схеме имеет во многом формальный характер и осуществляется заменой элементов механической цепи элементами эквивалентной схемы. Целью данного перехода является получение единообразной системы графических элементов для всех выделенных разно­ родных физических подсистем, что позволит в дальнейшем объединить их в единую систему и составить по ней систему уравнений, описывающую дина­ мику исходного объекта. Для эквивалентной схемы нет однозначной системы терминов и обозначений. За основу берутся терминология и теория электриче­ ских цепей, что позволяет использовать хорошо разработанные в электротехни­ ке методы анализа и синтеза таких цепей.

Можно указать ряд правил, которыми следует руководствоваться при составлении эквивалентных схем различных физических объектов:

1.Эквивалентная схема состоит из множества ветвей и множества узлов.

2.Каждая ветвь относится к одному из пяти возможных типов: ветвь ис­ точника потенциала, ветвь источника потока, ветвь емкостная, ветвь индуктив­ ная и ветвь резистивная. Графическое изображение основных элементов экви­ валентной схемы, основой которых служат условные обозначения элементов электрической цепи, приведено в табл. 1.3.

3.Каждому узлу эквивалентной схемы соответствует определенное зна­ чение потенциала ср, а каждой ветви - комбинация значений потенциалов и по­ тока V = Дф, I. Потенциалы и потоки в ветвях являются фазовыми переменны­ ми, которые образуют вектор неизвестных в математической модели и характе­ ризуют поведение объекта.

4.Каждой ветви соответствует выражение I = f(U), связывающее фазо­ вые переменные на этом элементе и называемое компонентным уравнением. Каждый тип ветви характеризуется своей формой компонентного уравнения. Компонентные уравнения ветвей источников потока и потенциала представ­ ляют собой функцию величины внешнего воздействия от времени /.

E= f(t).	(127)
/= /(/) .	(1.28)

Емкостная ветвь является дифференцирующим звеном, а компонентное уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение.

Таблица 1.3

Графическое обозначение элементов эквивалентной схемы

	Условное обозначение	Наименование ветви
		Ветвь источника потенциала
	/	Ветвь источника потока
	С	Емкостная ветвь
	— 11—
	L	Индуктивная ветвь
	R	Резистивная ветвь
	— 1______\— •

Индуктивная ветвь является интегрирующим звеном, а компонентное уравнение представляет собой интеграл:

i= L -\m t.

(1.зо)

Компонентное уравнение резистивной ветви представляет собой алгеб­ раическое уравнение:

1= U/ R.

(1.31)

Компонентные уравнения обладают свойством обратимости их значений и аргументов. При наличии зависимости величин коэффициентов в компонент­ ных уравнениях С, L, R от значений фазовых переменных /, U говорят о зави­ симых ветвях.

5.Соединение ветвей в схеме должно отражать взаимодействие элементов в системе.

Процесс замены элементов механической цепи элементами эквивалент­ ной схемы может производиться по методу двухполюсников или по методу че­ тырехполюсников, он зависит также от того, какую систему аналогий мы вы­ брали для каждой физической подсистемы.

При использовании метода двухполюсников каждый элемент механиче­ ской цепи заменяется двухполюсным элементом эквивалентной схемы, пред­ ставляющим собой ветвь с двумя полюсами.

При использовании метода четырехполюсников элементы механической цепи заменяются четырехполюсниками эквивалентной схемы. Четырехполюс­ ник представляет собой электрическую цепь, состоящую из двух ветвей и имеющую две пары полюсов, причем протекающие через них токи попарно равны по величине и противоположны по направлению. В табл. 1.4 приведены примеры замещения элементов механической цепи элементами эквивалентной схемы при использовании метода четырехполюсников и компонентные уравне­ ния соответствующих элементов относительно физических координат.

Таблица 1.4 Примеры замещения элементов механической цепи и эквивалентной

схемы

Элемент механиче­	Элемент эквивалент­	Компонентное урав­
ской цепи	ной схемы	нение элемента
1		F = c h ' d t
-А Л Л /--
		М= C-jiod/
		F=mdV/dt	- ч
		М - /w-dto/d;
		F = VIR
		М = o)/R
		F= VIR
F		/г =.Дг,0
1- 6 —	"2 Й
C		Q = (\/C)dP'dt
H k W N H
R,	R,	Q = PIR,

			Окончание табл. 1.4
1		2	3
N	«	N	0 =(lMOV(7j
—ЧУ“		•
	'	*	Р=Л0
			-------------------------------- 1

Q=A0

7Ш Г .

Всилу того, что теория анализа электрических цепей [4, 3 1], которую предлагается использовать далее, накладывает ряд ограничений на структур) эквивалентной схемы, необходимо придерживаться следующих рекомендаций при составлении эквивалентных схем. Необходимо избегать последовательного соединения источника типа потока (/) и индуктивного элемента (Z.), а также па­ раллельного соединения источника типа потенциала (£) и емкостного элемента

(С). Для устранения подобных соединений нужно дополнительно учесть дейст­ вующее в реальном объекте физическое явление, которым ранее пренебрегли: в узел соединения ветвей типа I и L подключить ветвь типа С или /?, между вет­ вями типа Е й С включить ветви типаR или L (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Недопустимые соединения ветвей и примеры решения проблемы