книги / Моделирование технологического оборудования

Или	иначе
	Ф(у‘ю) = Р(со) + jQ( со) = А(т)ем<а),	(2.47)
где Р((й)	- действительная частотная характеристика системы;
Q(со)	- мнимая частотная характеристика системы;
А((й)	- амплитудно-частотная характеристика системы;
ф(со)	- фазочастотная характеристика системы.

Формулы, позволяющие найти частотные характеристики по известной передаточной функции Ф(5), при S =уш имеют следующий вид:

ac + bd

bc-ad

Q(©) =

(2.48)

А(а>)

\ c 2+d2’

ф(со) = arctg bc-ad ac-\-bd

Функции P(iо) и е(ш) связаны с функциями Л(ю) и ср(со) соотношениями

Р(со) = Л соб(ф);

0 ( со)= Л бш(ф);

(2.49)

А(<о) = ^ Р 2+Q2-

<р(го) = arctg

Схема алгоритма вычисления частотных характеристик показана на рис.

2.18.

3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ УЗЛОВ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.1. Моделирование рычажной системы

Рычажная система представляет собой три груза, соединенных пружина­ ми и двумя рычагами, имеющими неподвижные оси вращения. Расчетная схема такой системы показана на рис. 3.1. В ней пружины представлены жесткостями

Рис. 3.1. Принципиальная схема рычажной системы

С|, Сг, Сз, грузы - массивами, имеющими массы mb т 2, т 3, а рычаги - невесо­ мыми, абсолютно жесткими элементами. Плечи рычага обозначены как ап Ь,.

При моделировании методом прямой аналогии рычажная система долж­ на быть разделена на три поступательных механических подсистемы, связь ме­ жду которыми осуществляется посредством рычагов и характеризуется переда­ точным отношением к{= Ъ-J ah

Схема механической цепи рычажной системы представлена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Механическая цепь рычажной системы

Для построения эквивалентной схемы рычажной системы используем вторую систему аналогий. Формальные правила замены элементов механиче­ ской цепи элементами эквивалентной схемы позволяют получить эквивалент­ ную схему, показанную на рис. 3.3.

с А	сЛ	J
> /И |1	1	m i :

qv	0	0Р 0	(j
JL F ]	ELF у	JLF ^ ELF 1

Рис. 3.3. Эквивалентная схема рычажной системы

Взаимодействие между подсистемами на эквивалентной схеме отражено включением фиктивных источников типа потока JLF и типа потенциала ELF, которые обеспечивают трансформаторный тип связи.

По эквивалентной схеме, используя метод узловых потенциалов, легко получить математическую модель рычажной системы, которая описывает ди­ намические процессы в рычажной системе и представляет собой систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений:

тхх , + Схх х+ (ххкхС2 - х2кхС2) = О,
т2 х 2 +(х2 - к ххх)С2 + (х2к\С3 ~ х 3к2С3) = 0, >	^ .1 )

т3х 3 + (х3С3 к2С3х2) —F ,

где /и1.2.3 - массы грузов, кг; С|.2.з - жесткости пружин, соединяющих грузы, Н/м;

^1.2 - передаточные отношения рычагов. После преобразований получим:

тхх х+ хх(Сх+ кхС2) - х 2кхС2 =0;

т2 х 2- ххкхС2 + х2(С2 + к;С3) - х3к2С3= 0;

т3х 3- х2к2С3 + х3С3= F.

Имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными, решение кото­ рой может быть найдено одним из известных методов (см. п. 2.2).

При использовании компьютерной программы PAN, в которой реализу­ ется операторный способ решения дифференциальных уравнений, необходимо исходные данные представить в виде табл. 3.1.

		Исходные данные рычажной системы			Таблица 3.1
	Ветвь	Узел	Значение
№	тип	от до вли­	C.R.I.	E.J,k	Знак
		яния

1	L	1	0
2	С	1	0
3	JLF	1	0	2
4	ELF	2	0	1
5	С	2	0
6	JLF	2	0	3
7	ELF	3	0	2
8	С	3	0
9	J	3	0

L = 1/С| С = Ш|

и_ )

-j и С —Ш2

L = 1/С3 и £ С = ту

*•	1		O'
1	II	О О"
	1
		-
	i

-к2— Ь2/а2 ~к2 = -Ь2/а2

J = F

-1

Полученная математическая модель с помощью программы PAN может быть использована для исследований статики и динамики рычажной системы. В статике программа позволяет определить координаты узлов системы и усилия в элементах системы при приложении нагрузки к узлам. В динамике определяют­ ся корни системы, переходные процессы, амплитудно-частотные и амплитудно­ фазочастотные характеристики для перемещений и усилий в элементах при приложении ступенчатой, импульсной или периодической нагрузки к узловым точкам системы. Знак при передаточном отношении kt в табл. 3.1 отражает на­ правление взаимодействия подсистем. Отрицательный знак говорит о разнона­ правленном перемещении грузов при повороте рычага, соединяющего их.

3.2.Моделирование взаимодействия твердых тел

3.2.1.Особенности моделирования динамики твердых тел

Для взаимодействия двух твердых тел (рис. 3.4) характерно сложное движение. Поэтому при моделировании необходимо отражать одновременно поступательное и вращательное движение каждого тела [13, 20].

Причиной одновременного поступательного и вращательного движения твердых тел в пространстве является несовпадение точек приложения связей или усилий с центрами масс, что приводит к возникновению вращательных мо­ ментов. Для отражения этих явлений необходимо учесть взаимодействие по­ ступательных и вращательных движений с помощью уравнений приведения линейных и угловых перемещений центра масс (/) к точке контакта твердых тел

(к) [20]. В общем случае при моделировании в пространстве эти уравнения бу­ дут иметь вид

** = Xj +(zt - Z j )фй + (yj - у кypZJ, Ук = y j +(zj ~ zk)<Pxj +(xk - Xj )<p9 ,

2к = 2j + (y k - y j )(pxj +(Xj - Xk)(pw ,

Фд* = фд,> фyk =Ф»> Фг*=Фг>.

где xkiy k,zk- линейные перемещения точки к по осям JC, у, z соответственно; Ф*а »Ф2* - угловые перемещения точки к относительно осей х, у, z соответ­

ственно;

xj ’?j>zj ~ линейные перемещения центра масс твердого тела j по осям х,у, z соответственно;

WxjWyjWzj - угловые перемещения центра масс твердого тела j по осям х,у, z соответственно.

Обратное взаимодействие отражается с помощью уравнений приведения сил и моментов, действующих в точке к, к центру массj.

(3.4)

Фч = Ф,* +(zj ~ 2к)Ук +(Ук -yj)4>

Фyj = Фук+(2к~ 2J)хк + (Xj - хк )zk,

Фу - Фг* + 0 ', ~ Ук )хк +{хк -X j)yk.

Обычно при взаимодействии двух твердых тел необходимо учесть упру­ гость в точке контакта, при этом сами твердые тела считают абсолютно жест­ кими (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Взаимодействие двух твердых тел при учете упругости контакта

Взаимодействие двух твердых тел с упругим контактом приводит к де­ формации контакта согласно (3.3) и воздействию появляющейся упругой силы на поведение центра масс согласно (3.4). То есть усилия упругого контакта на точки ки убудут следующими:

Fjk\~(Xkl

Xk2^x ~

+(y, - y tiY9„CK~X,C, - ( z

= x , C , + ( z 4 ,

- z , ) < p „ C ,

,

2

-

z , ) < p „ C , - ( J

' , -

у

4 2 ) Ф , С

' , ,

■—~Fxk\ ~~(xn ~хигУ~х =

= -*,C, -(z„ -г,)ф„С, -(У, - у 4 |)Ф..,С, + xyC, + (z42

- г у)фяС, +(y, -

y t l )<f>:,C,,

Fyki = ( . V * I ~ Ук1 ) ^ - 'y =

= > / , 0 , + ( z , - г 4 | ) ф „ С , + ( x 4 l - х , ) ф „ С , - y y C , - ( z ; - z t j ) < p , c , - ( x 42 - х , ) ф , С ,

,

Pyk2 = ~Fyk\ = ~(УкI ~ y*2

=

(3.5)

— ~У,Су ~ ( z ,

~ z 4 , ) ф к С

' у

— ( x

ki

‘~

X / ) (P

у+ > ' Л ' , +

( z

y

“

Z y j J ^ ^ C y +

( x 42

— x ,

^ Ф . / ^

i •

^ г *1 = ( z » | — Z 4 2 ) C . =

-ZjC. - ( y

-yj)<pvC. - ( *

= z , C , + 0 4 l

- y , X P . , C .

+

( * ,

- х

4

| ) ф „ С г

4 2

, - х

4 2 ) ф

„ С . ,

^i42 ~~FA\ = —(**l _ Z*2 )Cj =

= - z , C . - ( y 41 - у , ) ф „ С . - ( x , - x 4 l ) V > i C . + z y C . + ( y 42 - у у ) ф „ С . + ( x y - х , 2 ) ф и С . .

Моменты от упругих сил в контакте будут определяться выражениями:

= ( z t l - z , ) ^ ,	+ ( х , - х , , ) / ^ ,			=
= (Z 4I - z , )x,Ct + ( z „	- г , ) 2 ф „	С	,	+ ( z 4 l - z , ) ( y , - у 4 1 ) ф . , С д -
" ( z * , - г , ) х у С д —( z 4 l - z , ) ( z 4 2		-	z ; ) ф „ С д - ( z 4 l - z , ) ( y , - у 4 2 ) ф , С д +

+(x, - x 4 ,)z(C. +(x, - x41 )(ytl -y ,)v „C . +(x, - x 4 l)2 Vy,Cy -

“<*. -x „)zyC. -(x, -x„)(y 12 - y , )<pvC. -(x, - x 4 ,Xx; - х ,2 )фиС„

M ~, =(z, - z*. )JF>, + (y t , - y ,)F M =

= ( z , - z 4 l ) y , C , , + ( z , - г	4 | ) 2 ф „ С , + ( z , - z 4	l X	x 41 - x , t	o , C , -
" ( z . - z 4 , ) y y C v - ( z , - z	„ ) ( z , - г 4 2 ) ф „ С , -	( z	, - z 4 l X	x 12 - х у ) ф а С , +

+(Уп ~ У,)z,С. + (у4| - у ,) 2Ф„С. + (y4, - у ,Xx, - х 4,)ф„С. -

”(Л| “ Л)г,С. - ( у 4| -y ,)(y 42 -У,)<РЧС. - ( у 4, -у,)(х, - х 42)фиС.,

w *.-. = (У, - Л |) ^ | +(*ti - * ,) /> =

= 0 ' .

- ^ » i ) z , C

,

+ ( у , - y 4 l X z 4 , - z , X p „ C , + ( У , - у 4 | ) ! ф . , С , -

~<У

~ УкI ) Z 4 C

4

-

( у ,

- у

4 ,

X

z

, 2

-

г у ) ф „С, - (у, -

у 4 , Х

у у

-

у 4 2 Х р „ С д

+

+ ( z „

~ xi)y,Cy +

( х 4 |

- x

, X

z

(

-

z

4 l X p „ C y + ( х 4 | - х

, ) 2 ф

„ С

,

-

" ( z 4 , - x , ) y y C

y

- ( х 4 | - х , Х г у - г 4 2 ) ф „ С , - ( х 4 | - х , Х х 42 - x y X f > , C y. ,

j

Мщ#- (zk2 - Zj )Fjk2 +(Xj xk2)F*2 -

~ ~ i z 4 ~ Z J ) X I C J ~ ( z t2 ~ Z j X Zkl ~~Zl X ? y i ^ x + ( Zk2 ~ Zj X y , ~ У к \ № * С х +

+ (zk2- ZJ)* £ X ~(zk2- Zj) 2V*Cx + (Zk2~ ZjXyj “ Л,)ф*Сж-

“(*, - Xk2)ztc x -{Xj - x k2Xykt - y t)Vx>Cx - ( Xj - x k2Xx, -х А1)ф^С, +

+(x; - x k2)ZjCz + ( X j - x k2Xyk2 - уJXVJ C; +(Xj - х н )2ф^Сх,

=(Z7	+ &k2 - y j) F * 2 =
= ~ ( Z y ~~Zk 2 ) y ^ y	~ ( Z J ~ Zk 2 X Z!	“ ( Z y ~ z t 2 X Xtl “ X ^ j C y +
+ (zj ~ 2кг)УjCу + (zy _z«)		+(zy “ Z«X*M ~Xy>p„C, -
-O'M - y j)* iC g -(Ук2 - УjXy»		-(>„ -УуХ*, - x ^ C , +

+0*2 ~ y ^ ZJCz +(>'« - ^ ) 2Ф Л +(У« -> iXxi "*И)ф*С,.

=(.Уу —^*2 )^J*2 +(Хк2 ~ Ху )Fyk2=

= - О о - Л 2 ) * Л	- O ' ,	- y „ X z * , - ^ ) Ф ^ С Х - ( у ,	- у „ Х у , -у„у?„С, +
+0 ; - Ук2) х £ х +(yj		Уt2Xzk 2 - zjXPytCx +( уJ - у к2) \ 9Сх -
-(* «	-(*«	-XyX*, - Z*,>P*C, -(x A2	-XyXx4I - x,)<p*Cr +

+(*« - Xj )yj Cy +(xk2-X JXZJ - г к2)^^Су +(xk2Xj)2<?9Cy.

Для частных случаев выражения усилий и моментов, отражающих взаи­ модействие двух твердых тел, могут быть получены из общего случая путем вычитания отсутствующих координат. Метод прямой аналогии позволяет вы­ борочно подходить к процессу моделирования и отражать только те усилия и моменты, которые существенно определяют динамические процессы в системе. Это позволяет значительно сократить размерность задачи и число уравнений. Рассмотрим некоторые, наиболее часто встречающиеся на практике, случаи.

3.2.2, Моделирование твердого тела на абсолютно жесткой опоре

Принципиальная схема твердого тела на абсолютно жесткой опоре пред­ ставлена на рис. 3.6.

Если рассматривать колебания твердого тела в плоскости хОу, в которой действует возмущающая сила, то для характеристики достаточно трех уравне­ ний, которые описывают колебания по осям х у и вокруг оси z.

Уравнения преобразований (3.5), (3.6) с учетом указанных координат бу­ дут иметь следующий вид:

Fxki =xiCJ +(yi - y kl)^xiCxt

F —У,Су +(х*, хх)<р#СуУ

(3.8)

=(>, ->»,)х,С, + (> ,- у „ ) '* аС, +

(х*1 —х( Ху(Су + (х4) —*|) ФлСу.

Рис. 3.6. Принципиальная схема твердого тела на абсолютно жесткой опоре

Механическая цепь твердого тела на абсолютно жесткой опоре представ­ лена на рис. 3.7, где элементы преобразования к ^ отражают взаимодействие между координатами, выраженное уравнениями преобразования (3.8).

Рис. 3.7. Механическая цепь твердого тела на абсолютно жесткой опоре

Эквивалентная схема твердого тела на абсолютно жесткой опоре показана на рис. 3.8.