книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях
..pdfПример.
Рассмотрим цилиндрический сосуд радиусом г = 1 м, находящийся под дейст вием внутреннего давления q. Считая нагрузку нормальным стационарным процес сом с корреляционной функцией типа (2.10), найдем толщину оболочки, при кото
рой ее надежность Н = 0,99. При этом т„ = 5 • 106 Па; о„ = 5 • 105 Па; mR = 5 х X 10* Па; oR = 0; Т = 10 лет = 315 ■10* с; а = 0,1 с ' 1; 0 = 0,7 с ' 1.
Подставляя все исходные данные в выражение (2.15), найдем
, |
^ 10 ■2 ■3,14 ( —1п0,99) |
= 2 2 ; |
|
А |
= -щ ■ — - |
■ ■■ |
|
|
315 • 10‘ |
s / W |
|
|
5 • 10» |
|
= 60. |
К = |
|
||
|
5 • 10‘ + 5 • 10s |
|
|
Для рассматриваемого сосуда К = |
r f t . |
||
Отсюда |
|
|
|
Л = г / К = 1 /60= 1,67 • 10-* м. |
Пример 2.
Пусть прямоугольная пластина длиной 2 м, шириной 1 м нагружена равномер но распределенной нагрузкой q, величина которой случайна и представляет собой
нормальный стационарный процесс с корреляционной функцией Kq (r) = oq е |
“I т' X |
X (1 + а| т| ). Концы пластины защемдены по всему контуруНадо так подобрать |
|
толщину пластины А, чтобы ее надежность// = 0,99. Задано: m„ = 1 • 10* Па; |
aq = |
= 1 • 10s Па; mR = 5 • 10* Па; oR = 0 ; Т = 10л ет= 315 ■10* с; а = 0,707 с"1; ц = |
|
= 0,3. |
|
Для рассматриваемой корреляционной функции |
|
°S ~ K°qa’
следовательно,
2 т г ( - 1 п Я ) _ |
, |
2 - З . М М п О . Э Э ) |
|
Та |
|
" " |
= 22. |
|
315 ■10* -0,707 |
||
mR |
■___ ■= |
5 • 10* |
|
Отсюда К = -------- |
----------------- ---------- = 300. |
||
mq + oq V 2 T |
|
10‘ + 10s V T H |
|
Для рассматриваемой пластины [2 ] |
|||
К = саV А2, где с = 0,497. |
|
||
/ с Р ~ |
/0 ,497 • 1 |
||
Отсюда А = \ f - g ~ = |
V ~ |
2QQ----- = 4>0 7 ' 10-2 м - |
Полученное решение легко распространить на случай проектирова ния элементов конструкций заданной надежности по жесткости. Следует лишь провести замены с учетом w = K*q. Следовательно, в формулах надо везде поменять К на К*, S на vv, R на w3afl и считать ow = 0. В частности, выражение (2.9) примет вид
Н —ехр | - |
ТOfa |
("■"зад m w) |
( |
2 |
. ) |
|
-ехр[ |
2оЪ |
|
21 |
|
|
2да. |
|
|
|
а формула (2.12) соответственно
61
Н = exp |
Т у /о ? * 02 |
г |
(и-зад-АГ’т ,,)2 |
(2-22) |
27Г |
- е х р [ - |
^ |
||
|
|
2K*2Oq |
|
|
Откуда |
|
|
|
|
К* = |
Зад |
|
|
(2.23) |
if/ + |
CTf/ ч/ТТ |
|
|
|
|
|
|
Пример 3.
Рассмотрим круглую пластину радиусом 1 м, нагруженную в центре сосредо точенной силой Р, величина которой описывается стационарным нормальным слу
чайным процессом с корреляционной функцией типа |
(2.10). Концы пластины за |
|
щемлены по всему контуру. Надо подобрать толщину пластины А |
так, чтобы ее |
|
надежность по жесткости равнялась 0,99, Пусть w3an |
= 0,5 ■10"3 м; |
Т = 10 лет = |
= 315 ■10‘ с; тр = Ю Н; ар = 1 Н; а = 0,1 с’ 1; 0 = 0,7 с ' 1; Е = 2 ■10м Па. По |
||
(2.15) найдем, что А = 22 |
|
|
Тогда |
|
|
_ |
''’зад |
0,5 • 10"* |
|||
|
, + О0 724" |
|
= 0,3 • 10-3 м/Н. |
||
|
10 + 1 • 7 г • 22 |
||||
Согласно [2] для рассматриваемой пластины |
|
||||
К* = |
сЯ3 |
где с = 0,2174. |
|
||
|
£7F , |
|
|||
Тогда А - |
J I E L |
, |
103 |
= 3,31 10 -3 м. |
|
2 10" •0,3 |
|||||
|
v ЕК* |
v |
|
Аналогично решается задача проектирования элементов конструк
ций заданной надежности по устойчивости. В этом случае, когда q (г) - нормальный стационарный процесс, выражение (2.6) примет вид
// = |
ехП |
I |
^аЯ |
г |
(■Якр~тд)2 -} |
(2.24) |
||
|
[ |
" |
21ГОд |
exp t -------- 1 Г |
J |
|
||
|
|
|
|
2Од |
|
|||
Если корреляционная функция типа (2.10), то |
|
|||||||
Н -- ехр( |
|
Т \ / 0L + ($ |
г |
(9 цр ~ д |
(2.25) |
|||
|
2тт |
ехр[- |
20п |
|||||
|
|
{- |
|
|
||||
Отсюда для qKp имеем |
|
|
|
|
||||
Якр |
^ д |
* |
Oq |
. |
|
|
(2.26) |
Пример 4.
Рассмотрим прямоугольную пластину длиной 2 м и шириной 1 м, равномерно сжатую вдоль длинной стороны. Нагруженные края защемлены, два других свобод но оперты. Нагрузка - нормальный стационарный процесс с корреляционной функ
цией вида (2.10), у которой Шд = 103 |
кН/м; а„ = 10* кН/м; а = 0,3 с ' 1; 0 = |
= 0,4 с" '. Срок службы пластины Т = |
10 лет = 315 ■10‘ с. Заданная надежность |
Н - 0,99; м = 0,3; Я = 2 ■10” Па. |
|
62
По (2.IS) найдем А: |
|
2 • 3,14 ■0,01 |
|
А = -In |
2тг(-InН) |
= - In |
|
------ - — |
= 21,64. |
||
|
Т yj а1 + р2 |
|
315 ■10‘ 04 |
Тогда $ кр = |
103 + 10* V 2 - 21,64 |
= 1668 кН/м. |
|
По найденному qKр легко найти значение А [ 2 1 |
|||
= |
12(1 -ма)А3(?Кр |
(1 -0 .3 1) • 1 • 1668 ■10* |
|
|
сп'Е |
|
= 1,23 ■10-1 м, |
|
|
4 ■3,142 ■2 ■10“ |
где с = 4.
В общем случае действующие нагрузки могут быть произвольными стационарными процессами. В этом случае можно, как и в разд. 1.7, воспользоваться приближенной заменой произвольного закона распреде ления вероятностей взвешенной суммой нормальных законов распре деления.
Пусть одномерные заменяющие законы распределения несущей спо собности R, нагрузки q и максимальных напряжений S соответственно будут
/зам (Я ) —
/зам (Я) ~ |
2 |
^ Pffn (m qj\ °qj) \ |
(2.27) |
|
/зам С*) = |
. 1 |
1 Pffn |
K% ) ■ |
|
Можно показать [20, 42], что по (2.1) с учетом (П. 96) для стационар ных процессов среднее число превышений уровня R за время Т равно
V(R/T)= J L |
Y |
PifV(Ri/T), |
(2.28) |
|
zli |
i = 1,/ = 1 |
|
|
|
где Рц = P^Pj; |
|
|
|
(2.29) |
V{Ri!T)-------exp[ - |
a \ . |
]; |
(2.30) |
|
J |
K2a2j + |
2 (К2о ^ + а%.) |
|
|
"I s, — |
|
|
|
<2-3l > |
Kqj(T) - корреляционная функция нагрузки.
Тогда надежность, представляющая собой вероятность Л> того, что за Время Т не произойдет ни одного выброса за уровень R , по (2.2) будет
63
t |
r |
rn.n |
% |
___ r_ |
( mR t ~ K m Qj> |
|
|
' ---- |
. |
^ |
PU —7= |
^ |
2(*о2/ + о£.) |
|
2л |
1 - |
1./ - 1 |
Ч / + 4 , |
||
|
У * |
|
|
(2.32)
Для корреляционной функции нагрузки в виде (2.10) после несложных преобразований получим
2лЬЯ |
т^л |
У а 2 + 02 Кoe/ |
r |
(.mR i - ^ m q .)2 ^ |
--------= |
£ |
V * 2o2/ + о^ . |
ехр| |
----------------;— J- |
Г |
* - 1./ - 1 |
|
2 (К2»^. + оЛ|.) |
|
|
|
|
|
(2.33) |
Решив это уравнение, получим искомое АГ, которое обеспечивает задан ную надежность. Зная АТ, по табл. 1.1 легко найти искомые размеры по перечного сечения.
В случае детерминированного уровня, выбросы за который запреще ны, уравнение (2.33) примет вид
2я( -ЬпЯ) |
л |
„ |
( т в - К т а .)г |
(2.34) |
___ _______ - = |
2 |
PJexP i- — 5------ 2г— ]. |
||
Т у а2 + р 2 |
/ - 1 |
1 |
2 К 2 Oqj |
|
Если проектируется элемент конструкции заданной надежности по жесткости, формула для определения К* будет иметь следующий вид
2л(-1пЯ) |
л |
_ |
(^зап ~К*та •)* |
|
‘ |
2 |
P W |
- — 25----------------------------------- |
(2.35) |
Г У а 2 + 02 |
/ = 1 |
7 |
2К |
«2.2 |
|
|
|
|
°4/ |
При проектировании на заданную надежность по устойчивости для опре деления <?Кр используют формулу
I |
Я « р [ - |
(2.36) |
Г У о 2 + 02 / = 1 |
7 |
20^ |
2.3.УЧЕТ НАКОПЛЕНИЯ УСТАЛОСТНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ
Впредыдущем разделе задача определения размеров поперечного сечения, обеспечивающих заданную надежность, рассматривалась в пред положении ’’внезапного” механизма отказа, т.е. под мерой надежности понималась вероятность непревышения действующим напряжением не сущей способности. Но очень часто характер действия нагрузок таков, что разрушение наступает в результате постепенного накопления уста лостных повреждений.
Поставим следующую задачу. Пусть на элемент конструкции дейст-
64
вует нагрузка q(t), которая представляет собой случайную функцию времени, но* характер ее изменения таков, что силами инерции при определении напряжений можно пренебречь, т-е. напряжения определя ются по уравнению (2 .7 ). Предел выносливости /?_, материала конструк ции - случайная величина с известным законом распределения. Тре буется определить размеры поперечного сечения элемента конструкции, при которых надежность его равна заданной.
Рассмотрим общий случай, когда нагрузка и, следовательно, напря жения меняются по асимметричному циклу.
Приведенную амплитуду напряжений асимметричного цикла будем
определять по формуле Серенсена - |
Кинасашвили [35] |
“^а.прив = ^а.экв + Фт $-> |
(2.37) |
где ф - коэффициент приведения асимметричного цикла к симметрич ному; экв - амплитуда симметричного цикла, эквивалентная по пов реждаемости действующим случайным нагрузкам.
Воспользовавшись линейной теорией накопления усталостных пов реждений, в предположении, что нагрузка q (t) - нормальный-стацио нарный процесс, можно записать для определения 5а экв следующее вы ражение [ 3, 35]:
S а.экв — aS |
Т |
*(m + 2 ) P ( y lm + 2) , |
(2.38) |
|
где N0, m - параметры кривой усталости; Р(у\, m + 2) - функция ^-распределения Пирсона; Ф(ш + 2) - функция, выражаемая через полную гамма-функцию
Ф(от + 2) = 2т /2Г ( ^ - 1 -1 ); |
(2.39) |
||
для целых положительных значений (т + 2) |
|||
|
|
(m - |
нечетное), |
(w + 2) |
- |
(ш - |
(2.40) |
|
2" « ( = > ! |
четное), |
|
(#и!! = 1 |
• 3 ■5 ... (»! -2 ) |
- т ) ; |
|
Т - срок службы; Те - ’’эффективный” период. Для нормальных стационарных процессов
(2.41).
Для различных видов корреляционных функций Те приведены в табл. П.4.
Предположим, что у 0 достаточно мало, чтобы при заданном m можно
3 3dK 356 |
65 |
было принять P ( y l ,т + 2) ** 1. Это означает высокий уровень напряжен ности и идет, вообще-то, в запас долговечности.
Тогда |
,— |
------------------- |
|
5л.Э1а= о5 У — |
<Пт + 2) . |
(2.42) |
Учитывая выражение (2.37), найдем предел выносливости материала, при котором будет обеспечен срок службы Т,
R - 1= os V |
— Ф (т +2) + Ipms . |
(2.43) |
|
1 е" о |
|
Очень часто для описания статистического распределения предела вынос ливости применяют формулу Вейбулла
(Я_, -у)Р Р = е х р [ - ------ (2.44)
где Р —вероятность того, что предел выносливости не менее R- t ; а, 0, у - параметры распределения.
Подставим уравнение (2.43) в (2.44) и получим формулу для опре
деления надежности |
|
|
|
|
(as |
» (и + 2) + фт5 - у ) р |
|
Н = ехр [ ------------- --------------------------------------- J. |
(2.45) |
||
Так как ms = Kmq; |
as = Koq , то, подставив их в уравнение |
(2.45) и |
|
разрешив его относительно К, получим |
|
||
К = |
у + |
- a ln Н |
(2.46) |
|
|
'И(m + 2) + *m ,
Зная К, по табл. 1.1 легко определить размеры поперечного сечения эле мента конструкции, которые и обеспечат заданную надежность.
Пример.
Прямоугольная пластина длиной 2 м, шириной 1 м нагружена равномерно рас пределенной нагрузкой q (f), величина которой случайна и представляет собой нор
мальный стационарный процесс с корреляционной функцией типа |
(2.10). Концы |
|||||
пластины защемлены по всему контуру. |
|
|
|
|
||
Найти толщину пластины h, при которой ее надежность Н = |
0,99. |
|
|
|||
Известно, что mq = |
0,5 МПа; Од = |
0,25 МПа; а = 0,3 с- 1 ; 0 = |
0,4 |
с -1 . Срок |
||
службы Т = 2 года = |
63 • 10* |
с. Для |
материала пластины |
у = |
220 |
МПа; а = |
= 50* МПа* ; д = 0,3; 0 = 6 ; * = |
28. |
|
|
|
|
|
Параметры кривой усталости: m = 10; N„ = 101. |
|
|
|
|||
По уравнению (2.39) ф (и + 2) = |
Ф(12) = 3840. Подставляем все данные в |
|||||
(2.46) |
|
|
|
|
|
|
66
к = |
220 + 50 V "bi0,99 |
|
|
= 360. |
|
|
63 ■10‘ |
• 0,5 • 3840 |
|
0,25 У |
+ 0,28 0,5 |
|
6,28 • 10’ |
Для рассматриваемой пластины [2]
со1
К = - j - , где с = 0,497.
Т1
Тогда
= |
0,497 |
= 1 У 360 |
|
|
= 3,72 ■10-* м. |
2.4. ПРОЕКТИРОВАНИЕ УПРУГИХ СИСТЕМ ЗАДАННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
В предыдущих разделах размеры элементов конструкций заданной
надежности определяли |
в |
предположении, |
что |
силами |
инерции |
при |
|
определении напряжений |
можно |
пренебречь. В |
данном |
разделе |
эта |
||
задача решается для |
варианта |
случайных |
колебаний |
конструкций |
с учетом возникающих сип инерции. Предлагаемая ниже методика применима для различных типов элементов конструкций, размеры сечений которых определяются одним параметром (стержни, плас тины, оболочки с постоянным сечением, либо переменным, но зави сящим от одного параметра).
Воспользуемся некоторыми уже известными результатами [27].
Пусть колебания упругой системы описываются уравнением |
|
ЦР. w (х, у, г, 0] - m 1 — = q (х, у, z, t ) , |
(2.47) |
где vv (х, у, z, t) —перемещение точек системы; от —масса элементарного объема; q{x, у, z, t) - внешняя случайная нагрузка, L[p,w(x, у , г, Г) ] — линейный дифференциальный оператор в частных производных.
Для стержня
L[p.w(х, Г)] = — |
[EJ(и + /V) |
]; |
|
(2.48) |
Эх |
ах |
|
|
|
для прямоугольной пластины |
|
|
|
|
L\р. и- (х. г. 0] = D (и + /V) V 2 V 2vv; |
|
|
(2.49) |
|
для цилиндрической оболочки |
|
|
|
|
Цр- w ( x . y . 0 \ = [ j |
V 2 V 2V 2V 2lv+ - j r |
К" + /v) • |
(2-5°) |
|
где EJ - жесткость стержня; D - цилиндрическая жесткость; h - |
толщи- |
3* |
67 |
|
на оболочки; R |
- |
радиус; |
и и v — параметры затухания по гипотезе |
||
Е.С. Сорокина |
|
|
|
|
|
4.2 |
|
4у |
£ |
|
|
U = 4 “ 7 |
v = |
(2.51) |
|||
----— |
7 = — ; |
||||
4 + 7 * ' |
|
4 + 7 |
я |
|
£ —логарифмический декремент затухания.
Как и обычно, представляя решение в виде разложения по формам
собственных колебаний упругой системы |
|
||
w (х, у, z, |
г) = |
2 ^ f/ ( 0 W/ (*, .У,z) . |
(2.52) |
где Wj(x, у, z) |
- |
главные формы собственных незатухающих колебаний; |
$7(О - обобщенная координата, его можно свести к системам обыкно венных дифференциальных уравнений. При этом для обобщенной коор динаты f/(f) получено уравнение [27]
$7(Г) + |
(и + /V) <Jf if (f) = |
± - Qj (Г), |
(2.53) |
|
гдеMj = JJJ mwj(x, у, z)dV\ |
|
(254) |
||
(У) |
1 |
|
|
|
6 /( 0 = |
/ Ж |
* . .У- z, r)w |
(jc, y,z)dS ; |
(255) |
|
(S) |
|
|
|
coy - частота собственных колебаний no /-й форме. Формы собственных колебаний определяются из уравнений
L\p,Wj(x,y,z)]-mufw (х, у, z) = 0 |
(256) |
при v = 0; и = 1.
В результате этого система уравнений распадается на отдельные уравне ния и становится возможным исследовать поведение каждой обобщен ной координаты независимо от остальных.
Известно [9], что для линейных систем связь между спектральными плотностями ’’входа” и ’’выхода” системы, а в нашем случае между спектральными плотностями обобщенной силы Q/(t) и обобщенной координаты f /( 0 определяется формулой
Ф?/Г/ («) = |
IЩ |
O'w)12 ФQj Q j (оо), |
(2.57) |
где ФQ/Qf{<*>) |
- |
спектральная плотнрсть обобщенной нагрузки 6 /( 0 ; |
|
Ф?/ f/(w) “ спектральная плотность обобщенной координаты |
?/(0 ; |
Hj (гео) - передаточная функция системы при колебаниях по /-й форме, которая для рассматриваемого случая имеет вид
Hj(ioj) = _________ 1___________ |
(2.58) |
Mj[- со2 + («+ iv)tjy| |
|
68
1 |
(2.59) |
а |Я /(/а>)|2 = |
|
Mj (LO 4- 2 UCO?CO2 + ojy4) ’ |
|
Запишем выражение для дисперсии обобщенной координаты |
( t ) : |
= |
. (2.60) |
Для нахождения дисперсии перемещений w (х, у, z, t) воспользуемся уравнением (2.52) и операцией осреднения по ансамблю реализаций (3]
^ Д ! К*/*к(** *г)”1(х'У '2> к ( х ,у ,2 ) , |
(2.61) |
где Ку (f,, t2) - корреляционная функция второго порядка для обоб щенных координат f/(f), которая при t x = t2 = t, т.е. т = 0, определяется ПО формуле [27]
К,.., |
|
|
|
*QjQk {b>)du> |
(2.62) |
|
|
^ |
M j [ - со2 + (и + »v)tdy ]ЛГ*1 -ц>* + (и + /v)td£l |
||||
|
|
|
||||
Бели корреляция |
между обобщенными силами отсутствует, |
то все |
||||
*QfQk |
н 0 ПРИ / ^ |
и формула (2.62) принимает вид |
|
|||
JK |
,«Ч _ |
„2 |
_ Г |
*QiQ/<Wb, |
(2.63) |
|
K * f i № |
{i |
<f |
Л / ? ( с о 4 - 2 u c o ? c o 2 + c o y 4) ’ |
|||
|
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
<й = |
2 |
obv?(x, y, z). |
(2.64) |
|||
|
/ = 1 |
7 |
|
|
|
Аналогично для среднеквадратичного отклонения, например изгибаю щего момента в сечениях стержня, получаем формулу
|
d 2Wj(x) |
d 2wk (x) |
/ =^ l * = l ЛS/ik' |
d x l |
(2.65) |
d x ‘ |
Которая в случае отсутствия корреляции между обобщенными силами принимает вид
|
|
-± |
( 2.66) |
|
|
" ......................... |
|
а дисперсию напряжении определяют по выражению |
|||
|
(EJ)2 |
п , |
d 2Wj(x) 2 |
°S = |
W |
|
(2.67) |
|
d x ‘ |
||
|
|
где W - момент сопротивления.
69
Из уравнения (2.67) видно, что Og зависит от вероятностных харак теристик нагрузки и размеров поперечного сечения элемента конст рукции.
Поставим задачу: подобрать размеры поперечного сечения таким об разом, чтобы надежность элемента конструкции была заданной. Под ме рой надежности будем понимать вероятность того, что ни разу за срок службы Т максимальное напряжение не превысит несущей способности.
Для определения надежности воспользуемся уравнением (2.2). Выразвив входящие в это выражение сомножители через известные вероят ностные характеристики нагрузки, размеры поперечного сечения и про интегрировав, получаем выражение
Н = F(h), |
(2.68) |
где h - искомый размер поперечного сечения, который и обеспечивает заданную надежность.
Для случая, когда 5(f) - нормальный стационарный процесс, надеж
ность определяют по формуле (2.9). |
|
|
Уравнение (2.68) |
удобно решать графически, для чего перепишем |
|
его в вцде |
|
|
ГПр "М с |
2 7Г у / о \ + Ор ( ” \лИ) |
(2.69) |
= - In ---- ^ - 1 ----- L 1 -------L |
||
2 (as + aR ) |
Tog |
|
Полученное решение легко распространить на случай проектирова ния элементов конструкций заданной надежности по жесткости. При этом под мерой надежности принята вероятность того, что максималь ное перемещение tv в течение срока службы Т ни разу не превысит задан
ного |
и'зад. В этом случае |
для определения |
надежности используют |
|
уравнение (2.21). |
|
|
|
|
Для удобства |
графического решения перепишем уравнение в виде |
|||
К |
„ |
, |
2тг ( - inH)aw |
(2.70) |
а д - т » )2 = |
2 < й [-1 п ------= - ------ ] . |
|||
|
|
|
i aw |
|
Пример.
На шарнирно опертую по концам балку постоянного прямоугольного попе речного сечения действует в середине пролета случайная нагрузка P(t), представ ляющая собой стационарный нормальный случайный процесс, корреляционная функция которой определяется выражением (2.10). Математическое ожидание и дисперсия нагрузки соответственно равны тр = 20 кН, ор = 5 кН. Параметры кор реляционной функции о = 1 с ' 1; (3 = 2 с ' 1.
Определить высоту сечения балки Ипри заданной ширине b = 0,1 м такую, что бы надежность по жесткости Н — 0,99. При этом примем w3afl = 0,001 м. Срок службы Т = 10 лет = 315 • 106 с.
Для решения воспользуемся формулой
2ir(-lnff)ow
(w3afl-m w)J = 2 o & [ -ln ------— -------- ). iow
70