книги / Строительная механика и расчеты композитных конструкций на прочность
..pdfрешением которого при ЕХР = сопз! будет
Рх ~Е Р "*
Константу и0 определим из граничного условия ы(0) = 0, и окончательно получим и = Рх/ЕхР. Максимальное осевое пере мещение соответствует и(1) и равно
и |
Р1 |
(3.6) |
|
|
ЕХР ' |
Это значение соответствует абсолютному удлинению стерж ня А/. Из (3.6) можно получить связь растягивающей осевой силы Р с перемещением точки приложения силы
(3.7)
Сравнивая это выражение с соотношением упругости для пружины Р = сА/, где с — коэффициент жесткости, А/ — абсо лютное удлинение, можно заметить, что характеристика жестко сти упругого стержня при растяжении
ЕХЕ
(3.8)
I
Кручение
Получим основные соотношения для оценки жесткостных характеристик композиционных стержней при кручении. Рассмот рим деформирование произвольного замкнутого тонкостенного профиля при кручении (рис. 3.8).
Покажем, что в любой точке поперечного сечения погонные касательные усилия
N ^ .= 1 x ^ 1
А
равны. Для этого воспользуемся уравнением равновесия элемен та стержня. Предположим, что в одной точке сечения касатель ные погонные силы равны а в другой составляют И''у . Тог да, спроецировав все силы на ось Ох, получим
|
Л ^ - Л |
^ . Л = О, |
|
|
что выполняется при |
= Л ^ . |
|
||
|
Определим результирующий |
крутящий |
||
|
момент в сечении стержня от потока каса |
|||
|
тельных усилий. Выберем внутри контура |
|||
|
произвольную точку О (рис. 3.9). |
|
||
|
Вклад в результирующий момент от ка |
|||
|
сательных сил, действующих на участке е!у, |
|||
|
составит |
|
|
|
Рис. 3.9. К опреде |
М ^ - ё у О А - Ы ,,- 2 .5 0ВС, |
|||
где 80вс — площадь треугольника ОВС. Обой |
||||
лению крутящего |
||||
момента |
дя весь контур, получим полный крутящий |
|||
|
момент |
|
|
|
|
М У!9= \Н х>.0А<1у = Мху -25., |
(3.9) |
||
|
г |
|
|
где Г — контур замкнутого профиля; 8, — площадь, охваченная контуром.
При упругом деформировании угол поворота сечения <р (рис. 3.8) пропорционален крутящему моменту М}|ф, длине стер жня / и обратно пропорционален погонной жесткости на круче
ние С1кр, т. е. |
|
|
Ф = |
М кр1 |
(З.Ю) |
|
Определим коэффициент приведенной погонной жесткости на кручение 01^. Для этого воспользуемся принципом возмож ных перемещений и приравняем работу внешнего момента
на величине возможного угла поворота 5<р работе внутренних сил на возможных деформациях:
* » « * - Я * „ * Г (3.11) ог
Воспользовавшись выражениями (3.9), (3.10) и соотношени ем упругости Ыху = # 33уж>., запишем
т кр1
5Ф =
* 23. ’
(3.12)
ЬУху
Д*«р
вП ‘ 25.В»
Подстановка (3.12) в (3.1 1 ) дает
г |
М /кр/ |
^кр ЗЦ ф |
. г 4у |
145 |
С?/ |
23, 23, |
{В 33 |
Отсюда п олзаем значение
С /к |
(3.13) |
В частном случае для тонкостенной трубы (см. рис. 3.6, а) получим
6 ^= 2 * Я > В 1У
Пример 3 ,2
►Для тонкостенного прямоугольного профиля (рис. 3.10) с использованием нитяной модели определить погонную приве денную крутильную жесткость (л/*,,, предельный крутящий мо мент и предельный угол поворота торцевого сечения.
Для вычисления мембранных жесткостей стенок профиля, как и в предыдущем примере, упростим структуру многослойных
пластинок и примем [+45$/0;]. Тогда получим
Л45 = 4А/11; Ль=7й/11.
Рис. ЗЛО. Кручение тонкостенного стержня прямоугольного про филя:
а — схема нагружения; б—структура сечения
Рассмотрим горизонтальную стенку В, вычислим для нее мем бранную жесткость
В ^ 2 Е , 1 , ± ^ е Л .
Для вертикальной стенки А будем иметь
д 4 - в м # = * 1* /н -
Определим погонную жесткость на кручение. Согласно (3.13)
получим |
|
|
л( ^ ( 2 а - П 2&-11У1 |
_ . а2Ь2 |
4 |
ж ) |
= {‘‘ м й |
- |
Вычислим поток касательных погонных усилий |
Соглас |
|
но (3.9) |
|
|
_ " а . . " д .
у2Л ‘ 2аЬ '
Деформация сдвига вертикальной стенки А
ЛА) _ ^ху ^ х р -Н 2аЬЕ1Н '
Для горизонтальной стенки В
(в) _ ^ху _ ^ к р -П 1ху В& 4аЬЕ,А
Проверять на прочность нужно вертикальную стенку А, так как
> у ? . Вычислим деформацию е, в слоях с углами укладки ±45°:
] = УХу 5Ш ф СОЗ ф,
Л/к р 11 1
|е151= з т 45° соз 45° =
Напряжения а, будут равны
1 4аЫг
При заданном уровне допустимых напряжений а, = а, полу чим значение предельного крутящего момента
|
Л/кв |
4 |
аЬИах |
|
|
|
11 |
|
|||
и соответствующий угол поворота |
|
|
|
||
_ |
4аЬНах1 |
о, |
|
1(а + 2Ь) |
‘ |
” |
116/ ф |
~ Т Х |
^ |
И з ги б
Получим основные соотношения для оценки жесткостных характеристик трубчатых стержней при изгибе. Дадим описание кинематики деформирования тонкостенного трубчатого стержня при изгибе. Прогиб стержня обозначим IV; нормальное переме щение стенки стержня — и? (рис. 3.11), касательное перемещение вдоль оси стержня — и, касательное перемещение вдоль оси у обозначим V.
Будем считать, что при изгибе сечение стержня остается плос ким и перемещения по окружной координате а распределяются следующим образом:
и = ©2 = ©К соз а,
V = —IV 81П ОС, |
(3.14) |
и ^Р Г соза, |
|
где 0(х) — угол поворота сечения стержня; Щх) — прогиб оси стержня.
V= -И'япа
Рис. 3.11. К определению кинематики деформирования тонко стенного трубчатого стержня при изгибе:
а — к определению перемещения; 6 — сечение стержня до деформирования; в — сечение стержня при изгибе
Получим выражения для основных деформаций, которые воз никают при изгибе:
Эм |
*/© о |
|
|
|
гх = — =— |
К соза, |
|
|
|
дх |
ёх |
ё№ |
|
(3.15) |
|
Эи |
|
||
|
А . |
|||
|
V— |
= - —— + 0 |
з т а , |
|
|
Ьу |
У ёх |
) |
) |
где ду = Яда . Если известны координаты точки (х, а) и функции Щх), е(х), то по соотношениям (3.15) можно определить в этой точке деформации ех, у*,..
Соотношения упругости запишем с учетом того, что окруж ные усилия равны нулю, т. е. Му = Впгх + В22гу = 0. Тогда
Мх = Вхех, }
(3.16)
Мху = ВпЧху>\
где Вх— жесткость стенки в осевом направлении; Вх = Вп - В\2! В22, Ви — коэффициенты мембранных жесткостей стенки трубчатого стержня.
При получении основных разрешающих уравнений, описываю щих изгиб трубчатого стержня, удобно пользоваться не погонными усилиями Л/р Л/ц, а приведенными силовыми факторами, такими как изгибающий момент М и поперечная сила <2(рис. 3.12).
Определим изгибающий момент М
М = 2[Ы х2Я ёа = 2| |
ЛГ,Л2 со5а.ёо. = У Вх — Кг соз2а ё а , |
|
о |
о |
о |
М = |
|
(3-17) |
Е /= |
пК3Вх |
(3.18) |
— погонная изгибная жесткость трубчатого композиционного стержня.
Определим поперечную силу
(? = - 1 Мху зш а.К<1а. = | В33 |
+© ^зт2 а М у, |
О = (7/ ^ ^ + ©), |
(3-19) |
— погонная сдвиговая жесткость трубчатого композиционного стержня. Как следует из полученных выражений для погонных жесткостей, наибольший вклад в изгибную жесткость (3.18) бу дут давать слои с укладкой <р = 0% наибольший вклад в сдвиго вую жесткость — с <р = ±45°.
Для получения разрешающих уравнений к соотношениям уп ругости (3.17), (3.19) нужно добавить уравнения равновесия. Рас смотрим малый элемент стержня (рис. 3.13), нагруженный рас пределенными погонными силами д Н/м и реакциями отброшен ных частей стержня.
б |
Рис. 3.13. Равновесие элемен |
|
тарного участка балки при |
|
изгибе |
Приравняв нулю сумму проекций сил на вертикальную ось г и сумму моментов относительно точки А, получим
ад_
ёх
(3.21)
ах
Таким образом, относительно четырех неизвестных IV, 0 , 0, М имеем четыре дифференциальных уравнения (3.17), (3.19) и (3.21). Разрешив эти уравнения относительно производных, по лучим разрешающую систему дифференциальных уравнений
*9.
ёх
(3.22)
ёе м_
ёх ~ Её*
ё№ Л 0
------= -0 + — .
ёх СГ
При постоянных жесткостях ЕЛ, ОР и нагрузке я достаточно просто проинтегрировать систему (3.22) и получить обшее решение
<2(х) = -дх + О0>
М (х) = - Ц - + ()0х + М0,
(3.23)
л _ _ |
, 9о*2 . М0х , |
^Ш 2 Ы ' Е1
Константы (?0, М0, ©„, определяются конкретными гра ничными условиями задачи. При х = 0 могут быть заданы два граничных условия:
либо ЩО) = |
либо 6(0) = 0О; |
либо 0(0) = 0 О, либо Л/(0) = Л/0. |
|
Аналогично, при х - I могут быть заданы: |
|
либо Щ1) = К |
либо 0(1) = О,; |
либо ©(/) = 0/, либо М(1) — М
Пример 3.3
►Для консольно защемленного стержня (рис. 3.14), нагружен
ного при х - / поперечной силой 0 и изгибающим моментом М , определить перемещение Щ1) и угол поворота ©(/). Получить матрицу жесткости. Погонные жесткости на изгиб ЕР и сдвиг ОР считаются заданными.
Как следует из расчетной схемы (см. рис. 3.14), граничными условиями задачи будут:
при х = О |
ЩО) = 0; 0(0) = 0; |
|
при х — I |
(?(/) = <2; М(1) = М. |
х |
|
|
|
Рис. 3.14. Изгиб консольно защемленного стержня |
*<г-7 7 7 7 7 |
|
О |
Запишем эти граничные условия с использованием общего решения (3.23) при отсутствии погонной силы (? = 0)
И^о =0; ©о = 0;
0О=0; м 0+<20[ = м.
Полученные четыре уравнения определяют все константы:
Щ = 0, 0 О= 0, (Э0 = 0, М 0 = М - (?/. Подставив эти константы в общее решение (3.23) (при ц = 0), получим
0 (*) =0;
В сечении х = I прогиб и угол поворота будут равны соответ ственно
012 Ш
2ЕГ + Е 1'
или в матричном виде