книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной
..pdf
|
|
|
|
|
|
3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
= 3 ; |
|
|||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= 0 ; |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x + |
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
→∞ |
4x2 + 5 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|||||||||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3x +1 |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
= 0 |
3 |
= 0. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x→∞ |
4x2 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4x + 5 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Задача 3. Найти |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Решение |
|
x→∞ |
8x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На основании формулы (2.72) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4x + |
5 |
x3 |
|
|
|
|
4x + |
|
|
|
|
lim x3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x→∞ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8x |
− |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
8x −1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
4x + 5 |
= |
1 |
(неопределенность |
|
∞ |
|
|
; все члены раздели- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
8x −1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ли на x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x3 = ∞ ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4x + 5 x3 |
|
|
1 |
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= 0 . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2∞ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
→∞ |
8x |
−1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6x2 + 5 x
Задача 4. Найти lim .
x→±∞ x2 +1
Решение
Рассмотрим отдельно два случая:
|
|
6x2 + 5 |
|
|
lim x = +∞ , |
|
1. lim |
|
|
= 6 ; |
|||
x2 +1 |
||||||
x→+∞ |
|
|
|
x→+∞ |
101
поэтому
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x2 + 5 |
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 6+∞ |
= +∞ . |
|
|||||
|
|
|
|
x2 +1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
6x2 |
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. lim |
|
|
= 6 ; |
lim |
|
x = −∞ , |
|
|
|
|
|||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→−∞ |
|
+1 |
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x2 |
+ 5 |
|
x |
= 6−∞ |
= |
1 |
= |
|
||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
6+∞ |
|||||||||||
|
|
|
x→−∞ |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
||||
Задача 5. Найти lim 1+ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как lim |
3 |
=1 и lim x = ∞ |
, имеем неопределенность |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
x |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
{1∞ } . На основании формулы (2.73) |
«строим» второй замеча- |
тельный предел:
|
|
|
3 x |
|
|
|
1 |
3 3 |
|
|
|
1 |
3 |
3 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
lim 1 |
+ |
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
= e . |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
→∞ |
x |
||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
x |
→∞ x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 x |
|
Задача 6. Найти |
lim |
1 − |
|
. |
||
|
||||||
Решение |
|
x→∞ |
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как lim 1 − |
4 |
|
= 1 и lim 2x = ∞ , имеем неопределен- |
|||
|
||||||
x→∞ |
|
x +1 |
|
x→∞ |
ность {1∞ } . На основании формулы (2.73) «строим» второй замечательный предел
102
|
|
|
4 |
2 x |
|
|
|
|
1 |
x+1 |
|
−4 |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
−4 x+1 |
|
|||||||||||
lim 1 |
− |
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
x +1 |
|
→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4x |
|
|
|
|
|
|
1 |
x+1 |
x+1 |
|
|
−4x |
|
||
|
|
−4 |
|
x→∞ |
x+1 |
−4 |
||||
= lim |
1+ |
|
|
|
|
|
= e |
lim |
|
= e (наоснованииформулы2.72). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x +1 |
|
|
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 |
2 x+5 |
|
|
Задача 7. Найти lim |
|
|
. |
||||
3x − 4 |
|||||||
Решение |
x→∞ |
|
|
|
|||
3x −1 |
|
|
|
|
|
||
Так как lim |
|
=1 |
и lim (2x + 5) = ∞ , имеем неопреде- |
||||
3x − 4 |
|||||||
x→∞ |
|
x→∞ |
|
|
ленность {1∞ } . На основании формулы (2.73) «строим» второй замечательный предел. Перепишем наш пример так:
|
3x −1 |
2 x+5 |
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 |
|
2 x+5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 x+5 |
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
−1 |
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||
|
|
|
− 4 |
3x − 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
3x |
|
|
→∞ x |
|
|
|
|
|
→∞ |
x |
|
|
|
|
3x − 4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x−4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x−4 |
|
6 x+15 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 x+5) |
|
|
|
|
|
3x−4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= lim |
1 + |
|
|
1 |
|
3 |
3x− |
4 |
|
= lim |
1 + |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
3x − 4 |
|
|
|
|
→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
6 x+15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= ex→∞ |
|
3x−4 = e2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Задача 8. Найти lim (cos x)1 sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Так |
как lim cos x = 1 и lim |
1 |
|
= ∞ |
, |
имеем |
неопределен- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
x→ 0 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность {1∞ } .
103
Обозначим:
|
|
f ( x) = cos x ; φ(x) = |
|
|
|
|
|
|
1 |
; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
||||||||
|
|
lim f (x) = lim cos x = 1 ; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
→x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
lim φ(x) = lim |
1 |
|
|
= ∞ . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
→x |
0 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Воспользуемся формулой (2.75): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
lim (cos x)1 sin x |
|
lim φ( x)[ f ( x)−1] |
|
|||||||||||||||||||
|
|
= ex→ 0 |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) −1 = cos x −1 = −2sin2 |
x |
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
lim φ(x) [ f (x) −1] = lim |
|
|
|
|
|
|
−2sin |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
→x |
0 sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
−2sin2 |
x |
|
|
|
−sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= lim |
|
2 |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→ |
0 2sin |
x |
cos |
x |
→x |
0 |
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Поэтому lim (cos x)1 sin x = e0 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9. Найти lim x[ln ( x +1) − ln x] .
x→+∞
x =
2
Решение |
lim [ln ( x +1) − ln x] = [∞ − ∞ |
] , имеем |
|
Так как lim x = +∞ и |
|||
x→+∞ |
x→+∞ |
] . |
|
неопределенность вида +∞ |
∞[− ∞ |
|
|
Выполним алгебраические |
преобразования |
данной |
|
функции: |
|
|
|
104
x [ln ( x +1) − ln x] = x ln |
x +1 |
|
a |
|
||
|
|
= ln a − ln b = ln |
|
|
= |
|
x |
|
|||||
|
|
b |
|
x +1 |
x |
|
k |
|
|
1 x |
|||
= ln |
|
|
|
= (k ln a = ln a |
|
) = ln 1 |
+ |
|
. |
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
Тогда
lim x[ln( x +1) |
−ln x] = lim ln 1+ |
1 |
x |
= ln lim 1+ |
1 |
x |
(§5, формула2.67). |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x→+∞ |
|
|
→+∞x |
|
|
x |
|
→+∞ x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Учитывая, что lim |
1 + |
|
|
|
= e , получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
lim x[ln |
( x +1) − ln x] = lim ln e = 1 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→+∞x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 10. Найти lim (1 + sin x) x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как |
|
lim (1 + sin x) = 1 , |
lim |
1 |
= ∞ |
, имеем неопределен- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ность {1∞ } . |
|
x |
→ 0 |
|
|
|
|
|
|
x→ 0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учитывая, |
что x → |
0 используем для решения задачи фор- |
|||||||||||||||||||||||||||
мулу (2.74). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
sin x |
|
( |
|
1 |
|
sin x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
( |
|
|
|
) x |
( |
|
|
) |
sin x |
x |
|
|
) |
sin x |
x |
= |
|||||||||||||
lim 1 + sin x |
|
= lim 1 + sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
1 + sin x |
|
|
|
|
||||||||||
x→ 0 |
|
|
→x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ex→ 0 x = e1 = e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 11. Найти lim (4x −11) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как |
|
lim (4x −11) = 1 и |
lim |
|
5 |
= ∞ |
, |
имеем неопреде- |
|||||||||||||||||||||
|
|
− x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ |
3 |
|
|
|
|
|
|
x→ 3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ленность вида {1∞ } .
105
Для решения используем формулу (2.74). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Так как |
x → 3 |
|
(а в формуле x → 0 ), |
выполняем замену: |
||||||||||||||||||||
t = x − 3 . Тогда t → |
0 , x = t + 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5 |
|
= lim[4(t + 3) − |
11] |
5 |
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||
lim (4x −11) |
|
|
|
|
−t |
= lim[1+ 4t ] |
|
= |
||||||||||||||||
3− x |
|
−t |
||||||||||||||||||||||
x→ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
→t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
t |
0 |
|
|
|||
= lim[1 + 4t ] |
1 |
4t ( |
5 |
) |
= lim (1 + 4t ) |
1 |
4t ( |
5 |
) |
|
|
|
||||||||||||
−t |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4t |
−t |
4t |
|
|
||||||||||||||||||||
t → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
lim 4t (−5t |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
|
|
)4t |
t → 0 |
|
= e |
−20 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim 1 + 4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t → |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 9. Сравнение бесконечно малых функций
Если две бесконечно малые величины стремятся к нулю, то это еще не значит, что они одинаково быстро уменьшаются. Если рассматривать бесконечно малые x и x3, то не трудно обнаружить, что x3 быстрее убывает, чем x, и скорее приближается к нулю. Поэтому иногда полезно при одновременном рассмотрении нескольких бесконечно малых величин установить разделение их на бесконечно малые различных порядков.
Для сравнения двух величин мы в математике имеем два действия: вычитание и деление. При помощи действия вычитания мы не в состоянии уловить различия между бесконечно ма-
лыми в точке x0 величинами α( x ) и β( x ) , так как
lim [β( x) − α( x)] = lim β( x) − lim α( x) = 0 − 0 = 0 . |
||||
x→ x0 |
|
→x x0 |
→ x x0 |
|
Следовательно, желая сравнить две бесконечно малые вели- |
||||
чины α( x) и β( x ) |
при x → |
x |
, необходимо рассмотреть предел |
|
|
|
|
0 |
|
их отношения, т.е. |
lim |
α( x ) |
. |
|
|
|
|||
|
x→ x0 β( x ) |
|
|
106
Основные формулы |
|
|
Определения |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
и рисунки |
|
|
|
и замечания |
|
|
||||||||||||||
1. lim |
α( x) |
|
= A, A ≠ |
0 (2.76) |
|
α( x) и |
β( x ) |
– |
бесконечно |
|||||||||||||
β( x) |
малые функции при |
x → |
x , т.е. |
|||||||||||||||||||
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim α( x) = 0 , lim β( x ) = 0 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
x0 |
|
x→ x0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α( x) и β( x ) называются бес- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конечно малыми одного порядка |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
малости, если предел отношения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этих бесконечно малых равен ко- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нечному числу, отличному отнуля. |
|||||||||
2. |
lim |
α( x ) |
= 0 |
(2.77) |
|
В |
этом |
случае |
бесконечно |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
α( x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
β |
( |
x |
) |
малая |
при |
x → |
x |
|
называ- |
|||||||||||||
|
x→ |
x |
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ется бесконечно малой высше- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го порядка, чем бесконечно ма- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лая β( x ) при x → |
x . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3. |
lim |
|
α( x ) |
= ∞ |
(2.78) |
|
В |
этом |
случае |
бесконечно |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
малая α( x) при x → |
|
|
|
|
||||||||||||
|
β |
( |
x |
) |
x |
|
называет- |
|||||||||||||||
|
x→ |
x |
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ся |
бесконечно |
малой |
|
низшего |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка, чем бесконечно малая |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β( x ) при x → |
x0 . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
lim |
|
|
α |
( x ) |
= 1 |
(2.79) |
|
В этом случае α( x) и β( x ) на- |
|||||||||||||
|
β |
( x ) |
зываются эквивалентными беско- |
|||||||||||||||||||
|
x→ |
x0 |
|
|
||||||||||||||||||
Обозначение эквивалент- |
нечномалыми при x → |
x0 . |
||||||||||||||||||||
ныхбесконечно малых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
α( x ) β( x ) |
(2.80) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
при x → |
|
x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
lim |
|
|
|
α |
( x ) |
не |
сущест- |
|
Когда предел отношения двух |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
бесконечно |
малых |
функций при |
||||||||||||||
|
β |
( x ) |
||||||||||||||||||||
|
x→ |
x0 |
|
|
||||||||||||||||||
вует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.81) |
x → |
x0 |
не |
существует, |
говорят, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что бесконечно малые не срав- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нимы. |
|
|
|
|
|
|
|
107
Для раскрытия неопределенностей вида 0 часто бывает по- 0
лезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными.
6. Если α( x ) α1 ( x ) |
|
Следует запомнить: |
||||||||
при x → |
x0 , β( x ) β1 ( x ) |
|
предел отношения двух бесконеч- |
|||||||
|
|
|
|
|
α ( x) |
|
но малых функций равен пределу |
|||
при x → |
x0 и lim |
|
|
отношения эквивалентных им бес- |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
β ( x) |
|
конечно малых. |
|||||||
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
существует, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
α( x) |
= lim |
α1 |
( x) |
|
(2.82) |
|
|||
|
β |
( x) |
|
|||||||
x→ x0 β( x) |
→x x0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. Таблица эквивалентных |
бесконечно малых функций ( α( x) – |
|||||||||
бесконечномалаяпри x → |
x0 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
а) sin α( x) α( x), |
|
|
|
|
||||||
б) tg α( x ) α( x ), |
|
|
|
|
в) arcsin α( x ) α( x),
г) arctg α( x ) α( x ), д) ln [1 + α( x )] α( x ),
е) 1 − cos α( x) |
[α( x)]2 |
, |
|
2 |
|||
|
a > 0 |
||
ж) aα( x ) − 1 α( x )ln a, |
|||
з) eα( x ) −1 α( x ) |
|
Задачи
Задача 1. Сравнить данные бесконечно малые α( x) и β( x ) при x → 0 .
а) α( x ) = 5x − 6x2 и β( x ) = 8x + 9x3 ; б) α( x ) = x3 + 4x2 и β( x ) = x2 − x ;
108
в) α( x ) = x3 и β( x ) = x5 ;
|
г) |
α( x) = sin x и β( x ) = x ; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
д) |
α( x ) = x sin |
1 |
и β( x ) = x . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
α( x) |
|
|
|
x (5 − 6x) |
|
|||||
|
а) |
Так |
как |
lim |
= lim |
5x − 6x2 |
= lim |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 β( x) |
→x 0 8x + 9x3 |
→ x 0 x (8 + 9x2 ) |
|
||||
= lim |
5 − 6x |
|
= |
5 |
. Согласно формуле (2.76) следует, |
что эти рас- |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
x→ |
0 8 + 9x2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сматриваемыебесконечномалыеодногоитогожепорядкамалости. б) В этом случае
lim |
α |
( x) |
= lim |
x3 |
+ 4x |
2 |
|
= lim |
|
x2 ( x + 4) |
|
= lim |
x ( x + 4) |
|
= |
0 4 |
= 0. |
||||||||||||||||||
|
|
( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
(−1) |
|||||||||||||||
x→ 0 β |
|
→x 0 x2 − x |
|
|
→ |
x 0 x ( x −1) |
→ |
|
x 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Поэтому α( x ) = x3 + 4x2 |
бесконечно малая высшего порядка |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
посравнениюсбесконечно малой β( x ) = x2 − x |
(формула(2.77)). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) Найдем lim |
α( x) |
= lim |
x3 |
= lim |
|
1 |
= ∞ , |
т.е. согласно фор- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 β( x) |
|
→x 0 x5 |
|
→ x 0 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
муле (2.78) |
α( x ) = x3 |
бесконечно малая низшего порядка, чем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
бесконечно малая β( x ) = x5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
г) Так как lim |
α( x ) |
= lim |
sin x |
= 1 , то α( x) = sin x и β( x ) = x – |
|||||||||||||||||||||||||||||||
β( x ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
→x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
эквивалентные бесконечно малые, т.е. sin x x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
д) |
Так как x |
– бесконечно малая при x → 0 , |
а функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
1 |
|
ограничена, то произведение |
|
x sin |
1 |
есть бесконечно |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
малая, |
а это значит, |
что |
|
lim x sin |
1 |
= 0 (глава 2, |
§4, |
форму- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ла (2.41)), т.е. α( x ) = x sin |
1 |
|
|
– бесконечно малая. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
109
|
|
|
|
|
|
α( x) |
|
x sin |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
Найдем lim |
= lim |
x |
= lim sin |
1 |
– не существует, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x→ |
0 β( x) |
→x 0 x |
|
|
|
→ x 0 |
x |
||||||||||||
следовательно, |
|
α( x ) = x sin |
1 |
|
и β( x ) = x |
не сравнимы (фор- |
|||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||
мула 2.81). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 2. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
lim |
|
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
tg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) |
lim |
|
arctg2 5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→ 0 1 − cos5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) lim |
ln (1 − 3x) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→ 0 |
|
e4 x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
lim |
|
|
ex − e− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→ 0 |
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) При x → |
0 числитель и знаменатель дроби – функции бес- |
конечно малые. Воспользовавшись таблицей эквивалентных бес-
x |
|
|
x |
|
|
||
конечно малых функций (п. 7), имеем arcsin |
|
|
|
|
, |
tg 2x 2x . |
|
3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
Следовательно, по формуле (2.82), получим:
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim |
3 |
|
= lim |
3 |
= |
1 |
. |
|||||||
|
tg 2x |
|
|
|
|||||||||||
|
x→ |
0 |
|
→x 0 2x 6 |
|||||||||||
б) lim |
arctg2 (5x) |
(неопределенность |
|
0 |
, т.е. числитель и зна- |
||||||||||
x→ 0 |
1 − cos 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
менатель– бесконечно малые при x → |
0 ). |
|
|
|
|
|
110