книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной
..pdfРис. 1.28
Рис. 1.29
Область значений – отрезок [–1;1], т.е. функция ограниченная.
Функция y = cos x периодическая (T = 2π ).
Функция чётная, т.е. cos(–x) = cos(x) (график симмет-
риченотносительно оси OY).
Замечание
График функции y = cos x (рис. 1.28) называется косину-
соидой.
Функция y = tg x определена на всей числовой оси, за ис-
ключением точек вида π + πk
2
(k – любое целое число). Область значений – все
действительные числа. Функция периодическая (T = π ).
Функция нечётная, т.е. tg(–x) = –tg(x) (график симмет-
ричен относительно начала координат).
Замечание
График функции y = tg x (рис. 1.29) называется танген-
соидой.
Функция y = ctg x определена на всей числовой оси, за исключением точек вида π k (k – любое целое число).
Область значений – все действительные числа. Функция периодическая (T = π ).
31
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
нечётная, |
|
т.е. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
сtg(–x) = –сtg(x) |
(график |
сим- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
метричен относительно начала |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
координат). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
График |
функции |
y = ctg x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 1.30) называется котан- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
генсоидой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sec x = |
1 |
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Иногда рассматривают еще |
|||||||||||||
|
|
|
|
(1.21) |
две тригонометрические функ- |
||||||||||
cosec x = |
|
1 |
|
|
ции – секанс и косеканс, кото- |
||||||||||
|
|
|
рые определяются по формулам |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
sin x |
|||||||||||||||
|
|
|
(1.21). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
д) Обратные тригономет- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
рические функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = arcsin x , |
y = arccos x , |
Функция y = arcsin x. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
(1.22) |
|
|
|
||||||||
y = arctg x , |
|
|
|
Область определения: [–1;1]. |
|||||||||||
y = arcctg x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Область значений: |
− |
π |
; |
π |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Функция нечётная, т.е. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arcsin (–x) = –arcsin x. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
График симметричен отно- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сительно |
начала координат |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 1.31). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Рис. 1.32
Рис. 1.33
Рис. 1.34
Функция y = arccos x.
Область определения: [–1;1]. Область значений: [0; π] .
Функция y = arccos x не является чётной и не является не-
чётной, arccos (–x) = π – arccos x (рис. 1.32).
Функция y = arctg x. Область определения:
(−∞ +∞; ) .
Областьзначений − π π
: ; .
2 2
Функция нечётная, т.е.
arctg (–x) = – arctg x.
График симметричен относительно начала координат
(рис. 1.33).
Функция y = arcctg x.
Область определения:
(−∞ +∞; ) .
Область значений: (0; π) .
Функция y = arcctg x не является чётной и не является не-
чётной, arcctg (–x) = π – arcctg x (рис. 1.34).
33
4) Элементарные функции |
Функции, |
построенные из |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
основных элементарных функ- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ций и постоянных с помощью |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
конечного числа арифметиче- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ских операций (сложение, вы- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
читание, умножение, деление) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
и операций взятия функции от |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
функции, называются элемен- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
тарными функциями. |
||
|
2 + 3 x |
|
10x −1 |
|
Формулы (1.23) – примеры |
|||||
y = |
, y = |
, (1.23) |
элементарных функций. |
|||||||
3 − |
|
|
|
|||||||
|
x |
x2 |
|
|
|
|||||
y = lg (x + 1+ x2 ) , |
|
|
|
|||||||
y = arctg |
1+ sin x |
и т.д. |
|
|
||||||
|
1− sin x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = 1 2 3 n = n! |
(1.24) |
Читается: n – факториал. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
(1.24) – пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции, которая не является |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
элементарной, так как количе- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ство операций, которое нужно |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
произвести для получения y, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
увеличивается с увеличением n, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. не является ограниченным. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
О важном значении элемен- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
тарных функций свидетельству- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ет то, что в математическом ана- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
лизе, применяемом в основных |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
задачах физики и техники, упот- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ребляются чаще всего элемен- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
тарныефункции. |
34
Задачи
Задача 1. Для данных функций найти обратные. Построить графики прямой и обратной функций:
а) y = 4 − 3x ; б) y = 2x+1 .
Решение
а) Поскольку данная функция y = f (x) = 4 − 3x определена
и убывает на всей числовой оси, то обратная для нее функция существует и также убывает при всех x. Разрешая уравнение
y = 4 − 3x |
относительно x, получим |
обратную |
функцию |
|||||
x = φ( y ) = |
4 − y |
. Обозначим ее аргумент через x, |
а функцию – |
|||||
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
4 − x |
|
|
через y , |
построим графики функций |
y = 4 − 3x |
и |
y = |
|
|||
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
в одной и той же системе координат (рис. 1.35); они симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.
Рис. 1.35
35
б) Данная функция y = f ( x) = 2x +1 определена и возрастает
при всех x, следовательно, обратная функция существует и возрастает также при всех x. Найдем эту функцию. Логарифмируя
равенство 2x +1 = y по основанию 2, получим x +1 = log2 y , или x = φ( y ) = log2 y −1 . Возвращаясь к общепринятым для аргумента и функции обозначениям и построив графики функций y = 2x +1 и y = log2 x −1, убеждаемся в том, что они симметричны относительно прямой y = x (рис. 1.36).
Рис. 1.36
Задача 2. Сложные функции, заданные цепочкой равенств, записать в виде одного равенства:
а) y = u3, u = 4x – 1;
б) y = 2u, u = sin υ , υ = x .
Решение
а) Исключая из данных равенств промежуточный аргумент u, находим y = (4x −1)3 .
36
б) В данном случае сложная функция y содержит два промежуточных аргумента u и υ . Последовательно исключая их,
получим y = 2sin x ( x ≥ 0) .
Задача3. Показать, что запись y = f (ϕ (x)), где y = f (u) = arcsin u и u = ϕ (x) = x2 + 2, неопределяетсложнойфункции.
Решение
В самом деле, по формуле
y = arcsin (x2 + 2)
не может быть определено ни одно значение y, так как
u = x2 + 2 > 1
и функция y = arcsin u при u > 1 не определена.
Задача 4. Указанные ниже сложные функции записать с помощью промежуточных аргументов:
а) y = (6x − 5)7 ; б) y = lg cos x ; в) y = sin 3 x − 6 ;
г) y = arcsin3 (1− x2 ) .
Решение
а) В данном случае y = (6x − 5)7 с одним промежуточным аргументом u :
y = u7, u = 6x – 5.
б) Аналогичным образом находим cos x > 0 , следовательно,
есть сложная функция
y = lg u , u = cos x при
− |
π |
+ 2πn < x < |
π |
+ 2πn, n Z. |
|
|
2 |
|
|||
2 |
|
|
|
||
в) В данном |
случае рассматривается |
сложная функция |
|||
с двумя промежуточными аргументами u и υ |
: |
37
y = sin u, u = 3 υ |
, υ = x − 6 . |
||||
г) Аналогичным образом находим |
|||||
y = u3, |
u = arcsinυ |
, υ |
= 1− x2 . |
||
Поскольку −1 ≤ |
υ ≤ |
1 |
, то −1 ≤ 1− x2≤ 1 . |
||
Следовательно, |
|
|
|
||
0 ≤ |
x2≤ |
2 , |
|
|
|
− |
2 ≤ |
x≤ 2 . |
|
|
|
38
Глава 2. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
Косновным операциям: сложению, вычитанию, умножению
иделению, которые рассматриваются в элементарной математике, в математическом анализе присоединяют еще одну – операцию перехода к пределу, чем, собственно, и определяют, правда, весьма условно, границу между «элементарной» и «высшей» математикой.
С понятием предела мы встречались еще в средней школе, изучая сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии или определяя длину окружности. Но в курсе элементарной математики понятие предела встречается только эпизодически, а в математическом анализе этим понятием пользуются систематически как основным инструментом исследования переменной величины. Более того, все фундаментальные понятия математического анализа – непрерывность функции, производная, интеграл, сумма ряда и др. – основаны на понятии предела переменной величины.
§1. Числовая последовательность
Основные формулы |
Определения |
||
ирисунки |
|
изамечания |
|
1. Обозначение |
числовой |
Числовой последователь- |
|
последовательности: |
|
ностью называется бесконечное |
|
x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... или |
множество чисел x1 , x2 , x3 ,..., |
||
xn ,... следующих одно за дру- |
|||
{xn} |
|
||
(2.1) |
гим в определенном порядке |
||
|
|
и построенных по определен- |
|
|
|
ному закону, с помощью кото- |
|
|
|
рого xn задается как функция |
|
|
|
натурального (или целочислен- |
|
|
|
ного) аргумента. |
39
|
|
|
Числа x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... на- |
||
|
|
|
зываются |
членами последова- |
|
|
|
|
тельности, |
xn |
– общим или n-м |
|
|
|
членом последовательности. |
||
2. |
xn = f (n) |
(2.2) |
Числовая |
последователь- |
|
|
|
|
ность может быть определена |
||
|
|
|
заданием её n-го члена форму- |
||
|
|
|
лой (2.2), |
позволяющей найти |
|
|
|
|
любой член |
последовательно- |
|
|
|
|
сти простой подстановкой но- |
||
|
|
|
мера искомого члена в эту фор- |
||
|
|
|
мулу (2.2). |
|
|
3. |
x1 = f (1) , x2 = f (2) ,…, |
x1 = f (1) |
– первый член по- |
||
|
xn = f (n) ,…– |
(2.3) |
следовательности, |
||
члены числовой последователь- |
x2 = f (2) |
– второй член |
|||
ности |
|
|
последовательности, … |
||
|
|
|
xn = f (n) |
– n-й член или |
|
|
|
|
общийчлен последовательности. |
||
|
|
|
Замечание |
||
|
|
|
Члены |
последовательности |
|
|
|
|
обычно располагаются в поряд- |
||
|
|
|
ке возрастания аргумента. |
Поскольку всякая числовая последовательность может рассматриваться как функция натурального аргумента, то на число-
вые последовательности |
переносятся |
понятия |
монотонности |
|||||||||
и ограниченности функций. |
|
|
|
|||||||||
4. Последовательность {xn} – |
Последовательность назы- |
|||||||||||
вается |
строго |
возрастающей, |
||||||||||
строго возрастающая, если |
если каждый последующий член |
|||||||||||
|
|
|
|
|
xn+1 > xn , |
|
||||||
|
n |
(2.4) |
последовательности больше сво- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
его предыдущего. |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
n |
(2.5) |
Пример строго возрастаю- |
|||||
|
|
, |
|
, |
|
,..., |
|
,... |
|
|||
2 |
3 |
4 |
n + 1 |
щей последовательности (2.5). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40