книги / Тензорные алгебра и анализ

4.9.Девиаторы и антисимметричные тензоры

Каждому Т можно сопоставить так называемую девиаторную

часть тензора (или просто девиатор) — зависящий только от Т тензор Д для которого spZ) = 0,

D = T - t j , r = T - L (s p T )I	(4.29)
(spZ) = sp 7 - -jJ,sp / = spT - spT =0 из линейности следа).	Шаровой
частью тензора Т е£3 называют тензор
S =~3 (spT)I	(4.30)

Очевидно, что шаровая часть jОи девиаторная часть 5 есть нулевой тензор. Из (4.29)-(4.30) легко показать, что произвольный тензор можно

представить суммой девиаторной и шаровой частей этого тензора,
T = D + S ,	(4.31)
причем такое разложение единственно (покажите).
Введенный в п. 4.7 шаровой тензор представляется в виде
5 = о / ,	(4.32)

что легко проверить. Из разложения (4.24), имеющего место, так как 5 — симметричный, условия и представления единичного тензора (2.23) имеем 5 = X,s,s, + X2s2s2 +X3s3s3 = X(s,st + s,s, + s3s3) = X I.

Для	шарового тензора характеристическое уравнение принимает вид
X -	l- J 1 =0,а тождество Гамильтона Кэли — вид 5 - ~ J ,I =0	[1].
	Для девиатора характеристическое уравнение примет вид
	Xs + J2\ - J 3= 0 y	(4.33)
где
	J! = -sp O ’, J} = jsp D J	(4.34)
	Соответственно тождество Гамильтона-Кэли
	D3 +J3D - J 3I = 0.	(4.35)

Можно показать, что собственные числа X, тензора связаны с собственными числами Х\ девиатора этого тензора следующим образом:

х, =х;+|у,.	(4.36)
Поэтому X' вещественны тогда и только тогда, когда вещественны Х(.
Для любых девиатора D и шарового тензора 5	D o S =S ° D =0, а
если D — симметричен, то кроме того D:S - S:D = 0 .

Два соосных девиатора Т и Q пропорциональны тогда и только тогда, когда

7 i = 7 i = X.		(4.37)
S/	S2
где Х,,Х2	и	— любые соответствующие пары ненулевых

собственных чисел тензоров Т и Q. Рассматривают функцию главных значений симметричного тензора Г (пусть XJ < \ 2 £ \ J9 но X j * X 3t то есть тензор не шаровой)

Иг =	(4.38)
' h - h	’
2

называемую параметром Лоде тензора. Изображая главные значения

Х,,Х2.Х} тензора Т и величину ~ — на действительной оси, легко

увидеть (рис. 4.4), что параметр Лоде является характеристикой относительного положения Х2 на отрезке [XitX3] , и что - / < |хг < У. Можно доказать (сделать самостоятельно), что девиаторы двух соосных тензоров пропорциональны тогда и только тогда, когда параметры Лоде данных тензоров совпадают.

			'	У * ;
			О А./	^			Я,
			Рис. 4.4. Смысл параметра Лоде
Рассмотрим		кососимметричные тензоры					( Г г = - Г ) . Для	любого
такого тензора
s p j = spl,i = 0,			spТ3<0 .					(4.39)
В самом		деле,		Г г = - Г		влечет	( Т т)3= - Т \	откуда
spTr = “ S p r,	sp(Tr /		= - s p r J		Но	для	любого	тензора
sp7r = sp7\	sp(Тт)3= s p r3. С предыдущими эти равенства согласуются

только при spТ = spГ3 = 0 . Далее, поскольку операция полного скалярного произведения (2.22) задает скалярное произведение в пространстве тензоров, из аксиомы положительности следует sp(T-Tr) ^ 0 у откуда, используя условие Т т=- Т , и получаем неравенство (4.39)*.

Из (4.39), следует, что кососимметричный тензор совпадает со своим девиатором. Поэтому совпадают соответствующие характеристические уравнения. Вследствие (4.39) и (4.34) уравнение (4.33) сводится к виду

’Х=0,		(4.40)
где ф2 = -sp7*’,	откуда, с точностью до нумерации	корней,
=0, Х2} = ±/ф	(/ — мнимая единица) для любого антисимметричного
тензора. Тождество Гамильтона-Кэли принимает вид
Г ' + ф - Г = 0.		(4.41)

В заключение приведем без доказательства (которое имеется в [1]) вид тождества, к которому сводится тождество Гамильтона-Кэли для случая произвольного тензора второго ранга с двумя совпадающими собственными числами

(4.42)

где

J' =L(2J, - 4 J ] - 3 J 2) = л 3 + х 3,

J \ - Jj - j , 4 J i - 3 j !)=x!\,.

5.АВТОМОРФИЗМЫ

5.1.Автоморфизмы линейного пространства

Изоморфизм пространства на себя называется автоморфизмом. Рассматривают автоморфизмы линейных и евклидовых пространств. Автоморфизмами &3 как линейного пространства являются такие его обратимые отображения на себя, которые сохраняют линейные комбинации (каждой линейной комбинации аргументов соответствует такая же линейная комбинация их образов), то есть обратимые линейные преобразования. Напомним, что для обратимости линейного отображения

Т:	х - * х Т пространства	в	$3 необходимо и достаточно, чтобы Г
был	невырожденным тензором		(эквивалентно, существовал бы Т *).

Исследуем множество автоморфизмов линейного пространства, то есть невырожденных тензоров.

Для любых невырожденных тензоров T,Q тензор Т -Q также

невырожден,	ибо	(T Q)	( T ■()) ' * (T Q)	Q~'T~' =T (Q Q ' ) Т~' =
_ Т j.-/ _ j	fjyCTb	£(gsj	— подмножество	в £}’, которое образуют

невырожденные тензоры. Как было только что показано, это подмножество замкнуто в отношении операции умножения T.Q 6 £($3)= > T -Q e£(£3)i, кроме того, обратный тензор также является

невырожденным, VT е € (ё 3) Т 1 е £ ($ 3). Поскольку £(£3)<z£3y т.

е.множество невырожденных тензоров есть подмножество полугруппы

тензоров второго ранга, то согласно теореме 1.1 £(&3) есть группа

(ассоциативность операции умножения и существование единицы есть следствия). Группа £(€3) называется полной линейной группой.

Автоморфизм алгебры тензоров	вводимый законом
T ^ Q 1 Г Q	(5.1)
сохраняет алгебраическую структуру	£ j, что можно проверить

непосредственно. Следовательно, можно ожидать, что эти автоморфизмы не изменят состав спектра любого тензора,

W - f i - ' -Г	I Q -Q -'	T Q=Q-' (X I - T ) Q=>
0 = d a (X l-Q -'	T Q)=deKQ-'	( X I - T ) Q)=det(XI - T)

VQ e £ (£ }) (характеристические уравнения совпадают). Из (4.10) следует,

что скаляры для любого тензора Т не изменят своего значения

при автоморфизмах линейного пространства	Из (4.5) следует, что не
изменятся и значения скаляров
sp7\ sPr 2, s p r 3 V r e £ j		(5.2)
Это утверждение легко проверить непосредственно:
sp<Q-' T Q ) =sp(Q ■Q ' ■T) = sp(T) VQ e ff l)		,

аналогично — для двух других скаляров. Зависящие от Г скаляры, не

меняющие своего значения при преобразованиях пространства из

полной линейной группы, называются инвариантами тензора Т относительно преобразований из полной линейной группы.

5.2. Ортогональные преобразования

Рассмотрим теперь автоморфизм £3 как евклидова пространства. Очевидно, что линейные операторы, являющиеся автоморфизмами евклидова пространства, 0(£3) у составляют подмножество €(£3) и

должны удовлетворять условию сохранения скалярного произведения

Ух,у е $ 3 УО	(х 0 )-(y O) =x y t	(5.3)
откуда
х ( О О т- 1 ) -у = 0
и, поскольку это выполняется для любых JC иу,
0 От= 1,		(5.4)
с другой стороны, так как 0(£3) Q £(£3),
0 1 0 = 1 .

Умножая последнее равенство справа на Оти используя (5.4), получаем

O l = 0 T	(5.5)
Автоморфизмы	евклидова пространства называются также

ортогональными преобразованиями. Проверим замкнутость множества ортогональных преобразований. Для любых Ot е0(ё3) и 0 2 еО(ё3) имеет

место О;	0 7 е0 (ё3). Действительно,	так как (О, 0 2) т= 0 ]	О ]у при
Or O j = I	и О2- ОI = /» имеем (О,	0 2) ( 0 r 0 ,) T = Or (0 2	Ot2) O J =

= О, -O j = / . Поэтому подмножестзо 0(ё3) t£ ( € 3) является подгруппой группы £ (ё3). Далее 0(ё3) будем обозначать просто 0.

Из (5.4) де\.(0-0т) = (detO f = / , откуда detO = ±1. Ортогональные тензоры с детерминантом + /, называется собственно ортогональными, а с детерминантом - / — несобственно ортогональными.

Докажем, что все собственные числа любого элемента 0 имеют единичный модуль, \Xk\= 1, к = 1,2,3. Для каждого действительного из этих

чисел существует собственный	вектор	а-О = 0 Г -а = Хка, а * 0 ,		откуда
а -О 'О 7 а = \ 2ка-а, а-а = Х\а-а	=> Х * = ± /. Ранее		было показано, что
\fe\0\=\Js(0)\=\XtX2X3\= 1 V 0 eG(£j).		Поскольку	для любого	тензора

О еО комплексных корней может быть только два (сопряженных), то для

них (считая Хг еЯ ) |Я.2^ |= Л Х2 ~ ^ В любом случае,

все корни действительные или только один, с точностью до нумерации

Х,=1 или - 7, а	Х3 ~ е ^ - cos<p + isiiup и Х3 = е~* = cosq> - isincp, где ф —
некоторое, зависящее только от 0 вещественное число.
Пусть Ог О3 е0		и det0; = det0, = 1. Тогда и	О, -0 , еО имеет
det(0, • 0 2) = 7;	кроме	того, det0_/ = det0 = 7, если	det0 = 7, откуда

множество собственно ортогональных тензоров наделено структурой группы, обозначенной далее 0.

Из свойств (5.5) и (2.11) V 0 еО (О '1)т* 0 , откуда и из диаграмм (1.8) и (1.34) следует, что базисные векторы основного и сопряженного базиса и компоненты вектора в этих базисах преобразуются с помощью одной и той же матрицы компонент

0	->e'J
0 -¥х“	(5.6)

Очевидно, обратные преобразования осуществляются с помощью транспонированной матрицы преобразования.

Ортогональное преобразование тензора запишется в форме (5.1) (так

как является по крайней мере		элементом полной линейной	группы) и
с учетом (5.5) примет вид
Т -* О т Т О	v r e £ 3?,	V 0 e 0 .	(5.7)
Выражение (5.7), записанное в компонентах,
Г е,еу ТЮт•	• 0 = Р е ( Оег О		(5.7')

показывает, что ортогональные автоморфизмы тензора второго ранга преобразуют базис векторного пространства 83. По образцу (5.7') можно определить ортогональные автоморфизмы тензоров произвольного ранга:

Автоморфизмы £(83) на тензоры произвольного ранга обобщать не будем.

Из предыдущего раздела следует, что тензор второго ранга может иметь по крайней мере 3 скаляра, инвариантных относительно преобразований из полной линейной группы. Поскольку при ортогональных преобразованиях евклидова пространства не изменяются

углы между произвольными векторами, не изменятся и углы между парами главных направлений тензора при условии, что эти главные направления существуют. Например, тензор второго ранга, имеющий тройку попарно не ортогональных главных осей, после ортогонального преобразования пространства тензоров сохранит значения тройки углов между этими главными осями. По этой причине любой тензор второго ранга может иметь до 6 скалярных инвариантов, не зависящих от ортогональных автоморфизмов пространства. Будет полезным заметить, что вектор имеет единственный инвариант относительно ортогональных преобразований — свою длину.

5.3. Представления ортогонального тензора

Можно показать, что ортогональный тензор определяется тремя независимыми компонентами. Действительно, записывая условие (5.4) в компонентах ортонормированного базиса, получим

ОщОы=б*.

Отсюда получаем шесть независимых связей на 9 чисел Оу:

®1рч ~	=0,
Q P ?j = Л O2JO3J =О,
Q fls j ~ Л	03JOfj —О,

откуда очевиден сделанный вывод. Рассмотрим представления ортогонального тензора.

1. Диадное		представление. Ортогональный тензор		может	быть
представлен суммой трех диад (базис et — любой):
0 =0	1 = 0 е ,е = е ;е '		(e'^O -eJ		(5.8)
или
О = <?"<»,		(е '^ О - е 1).			(5.9)
2. Представление матрицей в ортонормированном базисе. Используя
формулу Гиббса, найдем компоненты О в ортонормированном базисе					,
OtJ =et	O	ej =<?, е\ек •е1 = еi •е' =cosfeife'.).		(5.10)
Аналогично в базисе е'( = 0 -ег (также ортонормированном)
6 IJ=e'r	O-e'l =e'r e’ter		e’J =er e'J =cos(el,e'J) = Or	(5.11)

Таким образом, мы показали, что ортогональный тензор имеет в двух ортонормированных базисах, е(. и e[-O et, одинаковую матрицу компонент, и, кроме того, компоненты этого тензора в любом из базисов,

e,ej или e ft , есть косинусы углов между соответствующими базисными векторами, ех и е', то есть

09 = 6~= cos(e,ft).

3. Инвариантное представление тензора.

Первые два представления использовали разложение по базисам. Рассмотрим инвариантные, то есть не зависящие от компонентного представления в базисе, свойства ортогонального тензора, выясняющие его геометрический смысл.

Очевидно из доказанного ранее, что ортогональный тензор всегда имеет собственное значение, равное +У или -У. В первом случае тензор О преобразует соответствующий этому числу собственный вектор в себя,

Х 'О - х ,	а	во	втором	—	в вектор,	противоположный	исходному,
х-О ——х .		Таким образом,			для собственно ортогонального тензора
векторы	вдоль		главного	направления,		соответствующего	X = У, не

изменяются; для несобственно ортогонального тензора векторы вдоль

главного	направления,	соответствующего		Х = -У,	изменяются на
противоположные.
Выберем первый элемент е, некоторого ортонормированного базиса
направленным вдоль		такого	главного	направления.		Из (5.10)
е, -e'j =e/	O eJ =±е{-е; = ± 5/у .		Отсюда следует, что		образы		базисных
векторов е2,е3, — векторы е\,			— ортогональны		первому		главному
направлению. Учитывая, что е2 ■е3 = е2 • е3 - 0 , имеем					право	изобразить
конфигурацию этих векторов (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Взаимное положение исходных и повернутых базисных векторов

Из рис. 5.1 и (5.10) можно записать более точное строение матрицы [OtJ ] :

±	1 0	0	'
(о ,] = 0	cos<p	sincp	.	(5.12)

0 -sirup coscp

Итак, ортогональное преобразование, задаваемое собственно ортогональным тензором, представляет собой поворот относительно некоторой оси. Несобственно ортогональный тензор задает преобразование поворота относительно некоторой оси и отражение относительно центра. Последнее преобразование очевидно задается тензором -/, отсюда любой несобственно ортогональный тензор может быть представлен в виде - 1 - 0 , где О — единственным образом

определяемый собственно ортогональный тензор.

Воспользуемся представлениями (5.8) в ортонормированием базисе и (5.12)

О = e\et =	+ (coscpe, + simpe^)e2 + (coscpfj -	siru p e,^ =
= ±e,e, + coscpfe2e2+ e3e3) + siny(e3e2 - e2e3)
или, поскольку' et x (e,et + e2e2+ e3e3) = e3e2- e2e3>
O = cosyl + ("/Tcosq>^e + sin<pex/ ,		(5.13)
где e =et , знак	в (5.13) соответствует собственно ортогональному, а

“+” несобственно ортогональному тензорам. Выражение (5.13) есть инвариантное представление ортогонального тензора, записанное с помощью вектора е (зависящего от О), относительно которого тензор О поворачивает все пространство $3, и угла такого поворота <р. Собственно

ортогональный тензор с инвариантами е и ср логично обозначить как R*, а

несобственно ортогональный			как - R * . Единичный вектор е задается
двумя	независимыми	параметрами,		например,	сферическими

координатами 0 и ц/, а третий параметр есть ф. Это — хорошо известные углы Эйлера, задающие произвольный поворот абсолютно твердого тела в трехмерном евклидовом пространстве.

Для представления собственно ортогональных тензоров помимо (5.13) используют выражения О через вектор поворота q (А.И. Лурье),

0 =(4 +q	q y ‘[ (4 -q -q )I + 2qq -4 1 x q ] ,	(5.13')
а также через кососимметричный тензор поворота Т в форме [ 1],
0 = 1 +Ш	Т + !* Ш .т !	(5.13я )
<Р	Ф

(где ф по-прежнему определяет угол поворота) или через кососимметричный тензор К =^ ( 0 - 0 т) (А.А. Вакуленко):

0 = 1 +К+---------К2,	(5.13"')
1 +СОЭф

причем ф связан с К: бш’ф = - —$рК'. Можно построить аналогичные (5.13')-(5.13'") представления несобственно-ортогонального тензора.

5.4. Изотропные и демитропные тензоры

Ортогональные автоморфизмы тензора

Т - ^ Т О ) 0 ) ...) 0	У Т е $ 'у V 0 еО или О,
р р	р	+

конечно, изменяют этот тензор. Зададимся целью найти тензоры, которые при таких автоморфизмах не изменяются.

Ненулевой тензор Г называется изотропным, если

Т 0 ) 0 . ) 0	=Тг	р
		V 0 6 0 ,	(5.14)
р	р
и демитропным, если
T 0 ) 0 . . ) 0	=T,	VOeQ .	(5.15)

рр *

Обратимся к вопросу существования таких тензоров. Пусть р — нечетное натуральное число (ранг тензора отрицательным быть не может).

Тогда,	полагая О ” -/,	получаем е, • OeJ • 0...em• О =	,	и потому
(5.14)	для ненулевого	Т выполняться не может.	Таким	образом,
		р

изотропных тензоров нечетного ранга не существует. Тензор ранга р=1 не может быть и демитропным, что элементарно проверяется. Для р=3 необходимому свойству демитропности удовлетворяет тензор Леви-

Чивита,	ибо из последнего равенства (3.29) с учетом		detO = 1 VO eG
следует	£ JJk=С//Ч 0 / 0 / 0 / , откуда следует (5.15) для		G. Таким образом,
множество демитропных тензоров		исчерпывается	подпространством

абсолютно кососимметричных тензоров, которые согласно (3.12) представляются в виде

Т = с € , G eft.

Пусть теперь р — четное число. При р=2 равенство От• Т • О = Т означает, что каждая главная ось Т преобразуется в его главную ось; если О еО, то Т — такой тензор, главные оси которого при любом ортогональном преобразовании преобразуются в главные же его оси. Это возможно только тогда, когда для Т каждое направление в &3 является главным, то есть когда Т — шаровой тензор (4.32)

Т - Ы , a eft.

При произвольном четном р линейно независимые изотропные тензоры могут быть получены перестановкой базисных векторов в записи

II_^I = e(e’eJeJ...er:e’ ,

Р

причем следует учесть очевидное / = ete‘ = eiel .

Пустьр=4, тогда имеем три таких тензора: